小学数学学习论 李光树 人民教育出版社 文本版143-150

页 60 t J 解题思路就比较明确了 整个问题也就不难解决了 上述讨论表明 按照一定顺序把综合性的数学问题分解成若干个简单数学问题的过 程 实际上就是一个理清解题思路 确立解题步骤的过程 在这个过程中 要注意从整体 上明确综合性数学问题的基本结构 把握问题中起主导作用的基本数量关系 这样有助于 学生在解决问题的过程中把握主攻方向 确立正确的解题思路 第三节思维定势和负迁移引起的学习障碍 一 思维定势对小学数学学习的影晌 一 什么是思维定势 思维定势是指 思维主体在思维活动中形成的一种稳定性的倾向或习惯性的思维方 式 思维定势是由一定的心理活动所形成的倾向性准备状态 它决定着同类后续心理 活动的趋势 数学学习活动中的思维定势是指学生在先前的数学学习活动中经过反复经验 而形成的一种相对稳定的思维模式 这种模式成为后续数学学习活动思维定向的预备状 态 即在后续相应数学知识的学习中 学生总是试图用他们头脑里已形成的某种思维模式 去识别 理解所面临的数学问题 并总是倾向于用同样的行为方式去解决面临的问题 如 在 求一个数的几分之几是多少 的分数乘法问题学习中 学生逐渐形成了把一个数看作 单位 1 用单位 1 乘要求的数所对应的分率的思维模式和解题方法 经过反复练习 这种方法将成为学生解决这类数学问题稳定的准备状态 在后续同类分数问题解决及 求 一个数的百分之几是多少 的百分数问题学习中 学生总是倾向于用这种方法去分析 解 决面临的问题 这就是思维定势的反映 在小学数学学习中 思维定势不仅对数学概念 命题的学习和理解有很大的影响 同 时对数学问题解决策略的选用也有着强烈的定向作用 如学生在三角形面积计算公式推导 中用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形 然后根据平行四边形的面积公式推导出 三角形的面积计算公式 经过练习逐渐成为一种定势 这种定势会为后面学习梯形面积计 算公式作出策略上的准备 届时学生会主动用同样的方法去探索梯形面积的计算方法 二 思维定势的积极作用 在数学学习中 思维定势反映为一种数学思维活动的趋向性 面对新的数学问题 学 田运主编 思维辞典 M 杭州g浙江教育出版社 1996 413 第五章小学教学学习障碍 143 生总是试图用过去已形成的解题思路或模式去寻求问题的解决办法 如果新旧内容之间有 共同要素 那么原有解题思路或模式就会在新知识学习中形成正迁移 对新知识的学习产 生积极的促进作用 如学生在整数的加法学习中 经过反复练习在头脑里形成了 相同数 对齐 从个位加起 哪一位上的数相加满十就向前一位进1 的运算法则 在后续的小 数加法的学习中 他们就会将这种运算法则直接用于小数加法的计算 小数加法和整数加 法在算理及算法上的共同要素保证了整数加法法则在小数加法计算中的正迁移 整数加法 法则为学生总结小数加法法则提供了依据 它对小数加法的学习起着强有力的促进作用 有研究表明 思维定势的积极作用表现在帮助思维者确定思考的方向上 起着直觉 定向的作用 正是这种定向作用减少了学生数学学习过程中的试误成分 让学生将面 对的新问题直接纳入到他们头脑里已有的模式 使问题迅速获得解决 从而提高学习效 率 思维定势可以增进同类数学知识之间的联系 有利于学生在一定数学知识体系中更好 地理解各部分内容的意义 明确数学知识的适用范围 另外 思维定势还有助于学生积累 并提炼出一些在一定范围内具有普遍造用性的解题策略 促进学生在头脑里形成一些基本 的数学模型 如学生一旦形成了 工作效率 工作时间 工作量 速度 时间 路程 单价 数量 总价 等数学模型之后 就可以获得解决相应问题的基本策略 在小学数 学教学中充分利用思维定势的积极作用 促进学生已有知识经验在新知识学习中的正迁 移 提高学生的数学学习效率 这正是我们努力追求的价值取向 三 思维定势引起的学习障碍 思维定势具有双重性z一方面它对学生的数学学习能产生积极的促进作用F另一方面 如果处理不当 也会给学生的数学学习带来诸多消极影响 思维定势容易使学生在数学学 习中陷入一种固定的思维模式 用已习惯的思路去解决与旧知识并没有多少共同要素的新 问题 造成已有知识在某些新知识学习中的错误迁移 根据思维定势的涵义和它在小学数 学学习中的反映 它主要会给小学生的数学学习造成以下一些障碍 1 抑制学生解决数学问题的思路 由于过去的反复经验 学生对某类问题的解决方式形成了比较固定的认识 当遇到与 之相类似的新问题时 他们首先想到的是这种固定的解题思路 并且顽强地固守这一思 路 即使行不通也不愿意放弃 从而抑制新的解题思路的发现 如学生在长期的学习中形 成了根据四则运算意义分析数量关系二并按照特定的数量关系列算式解决问题的思维模 式 他们面对列方程解决问题的学习任务时 一些学生宁可先根据四则运算意义列出算 式 然后用所设的未知数Z和这个算式构成 方程 也不愿意改变解题思路 根据一定 的等量关系将未知数z赋予与已知数同等地位 让其参与列方程和解方程的运算 很明 显 在这一问题解决的过程中 由于学生对列算式解决问题思路的固守 阻碍了列方程解 田万海主编 数学教育学 M 杭州g浙江教育出版社 1992 107 144 I 小学数学学习论l 决数学问题这一新思路的及时形成 导致了学生列方程解决问题学习的障碍 强烈地反映 出思维定势对数学学习的干扰 2 造成学生数学学习上的错觉 在小学数学教学中我们经常发现这样的情况z学生长时间接触同一类问题情境 对一 些事物或现象形成了比较固定甚至刻板的知觉 面对某些新的问题情境来不及适应其变 化 沿袭原有的认识去对待新问题而形成错觉 因错觉导致学习失败 笔者曾全程观察过 一组学生判断 7894 是不是7的倍数的学习过程 面对这一问题 不少学生不假思索地 这样解决 7 8 9 4 28 28 7 4 所以7894是7的倍数 显然 在这里学生对判 断一个数是不是7的倍数的问题产生了错觉 误将其当成了判断一个数是不是3的倍数的 问题 因此作出了错误的判断 小学数学学习中这样的情况大量存在 如小学低年级学生 解决有关加减法的简单数学问题时 常常出现见题中有 多 字就用加法计算 见题中有 少 字就用减法计算的现象 其原因是学生在长期解决 求比一个数多几的数是多少 和 求比一个数少几的数是多少 问题的学习中 形成了分别用加法和减法计算的定势 在后续学习中误将所有有 多 字的问题都看成是加法问题 所有有 少 字的问题都看 成是减法问题 并习惯性地分别用加法和减法计算 其结果导致学习失败 3 导致学生形成某些习惯性错误 小学数学学习中有一种司空见惯的现象z学生作业中出现某种错误 在老师的提示下 他们也发现并改正了错误 但下次学习中同样的错误又会发生 有时甚至反复出现 如前 面谈到的解决加减法问题时见 多 就加 见 少 就减的问题就是一种习惯性错误 在 学习中反复出现 从表面上看 这是学生作业不认真 不仔细造成 但问题并非这样简 单 这实质上是强烈的思维定势干扰所引起的 因为在有关加减法问题的学习中 学生经 历了太多用加法解决求比一个数多几的问题 用减法解决求比一个数少几问题的学习活 动 这种解题思路已经在学生头脑里形成了一种固定的模式 在过度的练习中学生的思维 模式和行为方式已经变得呆板了 所以尽管在前面的学习中经历了失败的教训 但是只要 一旦出现比多 比少的问题 学生又会不由自主地用早已根植于他们头脑里的固定思路去 解决面临的问题 由此表明 思维定势对小学数学学习的干扰是普遍的 有时甚至是非常 顽固的 需要老师引导学生经过必要的矫正和反复的练习才能消除其障碍 二 负迁移对小学数学学习的影晌 一 什么是负迁移 负迁移是与正迁移相对的一种迁移 其实质在这里是指一种数学知识技能的学习对另 一种数学知识技能学习的干扰 负迁移现象在小学数学学习中十分普遍 数学学习中的许 多问题都是由负迁移引起的 如在分数乘法学习中 对于两个分母相同的分数相乘 有的 学生用分子相乘 分母不变的方法计算 其错误就是由同分母分数加法法则的负迁移引起 的 即分数加法法则对分数乘法计算产生了干扰作用 负迁移在小学数学学习中有着多样 第五章小学数学学习障碍 145 化的表现形式 1 从学习内容看 一个数学概念 公式 法则的学习都可能对另一个数 学概念 公式法则的学习产生干扰 如分数意义的学习就有可能对百分数意义的学习形成 负迁移 导致学生片面地根据分数的意义去理解百分数的意义 认为百分数就是分母是 100的分数 2 从负迁移发生的时间顺序来看 有顺向负迁移也有逆向负迁移 有时在 同一知识的学习中这两种负迁移还交替出现 造成前后内容的互相干扰 如求两个数的最 大公因数的方法和求两个数的最小公倍数的方法 就可能形成两种负迁移的相互干扰 一 方面在求两个数的最小公倍数的学习中 出现用求最大公因数的方法求最小公倍数的错 误 另一方面学习求两个数的最小公倍数之后再去求两个数的最大公因数 又可能出现用 求最小公倍数的方法求最大公因数的错误 尽管负迁移在小学数学学习中的表现形式是多样的 但它们的实质都是一种知识的学 习对另一种知识学习起干扰破坏作用 其结果都会造成学生数学学习的障碍 二 负迁移与思维定势的联系和区别 负迁移与思维定势是两个既有密切联系 又有根本区别的不同概念 其联系表现为 1 思维定势是学生先于当前所要进行的数学学习活动同时又指向该项活动的一种动力准 备 它使学生倾向于用以往已经形成的思维模式或行为方式去反应面临的数学问题 其实 质是先前的认识对后续数学学习的影响 这种影响可能是积极的 也可能是消极的 负迁 移也是一种内容的学习对另一种内容学习的影响 只不过其影响全是消极的 2 小学数 学数学学习中的许多负迁移本身就是由思维定势引起的 人们倾向于把思维定势看成负迁 移产生的一个基本因素 或者说思维定势是形成负迁移的一个条件 思维定势与负迁移又是两个具有严格区别的不同概念 它们的区别主要表现在两个方 面z一是负迁移是一种数学知识学习对另一种数学知识学习的消极影响 并且只会产生消 极影响 它不会对学生的学习形成积极的促进作用 而思维定势对后续学习会产生消极的 影响 也会形成积极的影响F二是思维定势的消极影响是先前获得的认识对后续学习的影 响 是一种顺向的消极影响z而负迁移的方向则可能是双向的 即先前获得的某一数学知 识可能对后续数学学习形成负迁移 也可能是后续获得的数学知识对先前已掌握的某些数 学知识形成干扰 如一些学生学习分数除法计算以后 可能把 颠倒除数分子和分母的位 置 再与被除数相乘 的计算法则 错误地用于分数乘法计算 从而造成分数除法学习对 分数乘法计算的逆向负迁移 三 负迁移造成的学习障碍 根据负迁移对小学数学学习干扰的双向性特点 我们从两个方面讨论负迁移给小学数 学学习造成的障碍 1 JI院向负迁移引起的学习障碍 先前掌握的数学知识对后续相关数学知识学习的干扰是负迁移在小学数学学习中的主 要表现 小学数学学习中的许多障碍都是由顺向负迁移引起的 这种障碍几乎存在于小学 各年级各领域数学知识的学习中 如一些学生在质数 合数的学习中 误认为奇数都是质 146 小学教学学习论l 数 偶数都是合数 分析其原因 可以发现这主要是由于先前学习的奇数高偶数概念在质 数 合数学习中产生了顺向负迁移 造成了这些学生在质数 合数意义理解上的模糊 又 如 部分学生在认识小数的学习中 将小数 32 89 读作 三十二点八十九 其原因是 这些学生直接用整数的读法读小数 造成了整数读法在小数读法学习中的负迁移 根据顺向负迁移在小学数学学习中引起学习障碍的过程 我们可以从两个方面对其形 成机制作出解释 一方面是在先前的学习活动中 学生虽然获得了相应的数学知识 但他 们对这些数学知识在后续学习活动中的适用范围并不清楚 面对新的数学知识特别是那些 与旧知识貌似相同实际上却存在本质差别的数学知识的学习 学生没有对其差异作深入分 析 就盲目地将原有知识迁移到新知识的学习中来作为解决新问题的依据 由此导致新知 识学习的失败 如前面提到的小数读法的错误就是这样产生的 这是一种主动性的顺向负 迁移 它常常是由学生不由自主地将旧知识用错地方而引起的 另一种方面是面对新的学 习任务时 学生一时在头脑里找不到合适的旧知识去同化新知识 只好被迫在认知结构里 提取一些与所学新知识并不完全吻合的旧知识作为学习新知识的依据 结果导致新知识学 习失败 这是一种为了完成新的学习任务 被动地将不恰当的旧知识用于新知识学习活动 所引起的负迁移 相对于前一种情况而言 它是一种被动型的顺向负迁移 无论是主动的 负迁移 还是被动的负迁移 其结果都是对新知识学习产生干扰 造成数学学习的障碍 2 逆向负迁移引起的学习障碍 逆向负迁移是后续学习掌握的数学知识对先前已获得的某些数学知识形成干扰 在小 学数学学习中 这种负迁移虽然不像顺向负迁移那样普遍 但也存在于各类数学知识的学 习活动中 并且有时对学生的数学学习还产生着极其严重的干扰破坏作用 如学生学习求 一个数的近似数和解决问题时 根据需要给得数取近似数之后 就有可能对他们前面已经 掌握的估算产生逆向负迁移 即面对需要用估算解决的问题 学生不用估算而是先用笔算 或计算器算出得数 然后用 四舍五入 的方法取得数的近似数 很明显 学生在这里既 模糊了先计算后取得数的近似数和用估算解决问题两种不同的计算思路 同时也混淆了两种 不同的学习要求 这种模糊和海淆的实质是取近似数的学习对估算知识掌握的逆向负迁移 逆向负迁移对数学学习的消极影响主要表现为学生的后续学习对他们头脑里已形成的 数学认知结构的干扰 这是因为后续学习的数学知识纳人数学认知结构后 降低了学生头 脑中相关知识内容之间的清晰性和可辨别性 破坏了学生数学认知结构的稳定性 其结果 不仅造成学生对过去已掌握的数学知识产生错误的认识 而且还在整体上破坏了数学认知 结构的组织 混淆了不同数学知识之间的区别 造成不同内容之间的错误联系 从而破坏 了学生良好数学认知结构的建立 我们从顺向和逆向两方面分别讨论了负迁移给小学数学学习造成的障碍 一是因为小 学生在数学学习中的许多障碍确实来自这两个方面 二是为了研究的方便 事实上 小学 数学学习中负迁移的表现并不一定这样单纯 有些数学知识的学习可能形成双向负迁移 即先前的学习干扰后续学习 反过来后续的学习又干扰对先前已获得的某些数学知识的理 第五章小学数学学习障碍 147 解 双向负迁移容易造成学生新旧知识理解上的提淆 导致学生数学认知的混乱和某些学 习障碍的反复出现 这是我们引导学生数学学习时需要特别注意的问题 三 克服思维定势和负迁移障碍的主要措施 一 提高学生思维的灵活性和敏捷性 深人分析思维定势和负迁移造成小学数学学习障碍的原因 可以发现这种障碍与学生 的思维品质有密切的关系 因此我们认为克服思维定势和负迁移引起的数学学习障碍的一 条重要途径是培养学生良好的思维品质 特别是提高他们思维的灵活性和敏捷性 思维的灵活性 这里是指学生在数学学习中思维活动的灵活程度 思维灵活的学生在 数学学习中思维不固于固定的解题思路或模式 能够根据具体的问题情境选择合适的方法 分析问题 解决问题 如遇障碍他们会及时调整自己的解题思路 寻找新的解决办法 从 而避免思维定势的干扰 如面对 987 0 025 40 的计算任务 思维灵活的学生会及 时发现算式中的两个除数 0 025 和 40 之间的特殊关系 并根据除法的运算性质采 用987 0 025 400 987 0 025 400 的简便方法计算 从而避免用过去所掌握的连 除运算顺序计算带来的复杂笔算过程 培养学生思维灵活性的方法很多 其中最重要的途径是沟通数学知识间的联系 在广 泛的联系中加深对各部分数学知识实质的理解 为此 在教学中不要片面强调数学知识的 分类 要防止学生在头脑里形成一个个封闭的数学知识系统 具体可采用一题多变 一题 多解 从不同角度分析问题等措施提高学生思维的灵活性 克服其思维的呆板性 增强他 们分析问题 解决问题的应变能力 思维的敏捷性是指学生思维活动的反应速度 它以准确性为基本前提 要求记忆清 晰 牢固且有条理性 这样才能保证在 思维过程中能迅速地检索知识 实现知识的正确而 有效的应用 思维敏捷的学生能够准确地把握数学问题的实质 根据问题解决的需要在 认知结构中准确地检索出与所面临的数学问题具有共同要素的已有知识 并将其迅速地迁移 到新的问题情境中去 实现原有数学知识在新知识学习中的正迁移 避免其负迁移的干扰 思维的敏捷性要经过长期的训练才能形成 在小学数学学习中要加强这方面的训练 通过训练促进学生良好思维品质的形成 减少思维定势和负迁移的干扰 训练的重点有 二z一是在准确理解数学知识的基础上增进知识之间的联系 努力实现数学知识掌握的融 会贯通 二是训练学生对数学问题的快速反应 可采用选择正确答案 判断正误等形式进 行专项练习 以此提高学生思维的反应速度和敏锐水平 二 提高原有观念的稳定性和新旧内容的可辨别性 学生已掌握的数学知识是否会形成定势在后续学习中产生负迁移 对新的数学知识学 曹才翰 章建跃著 中学数学教学概论 M 北京g北京 师范大学出版社 2008 208 148 小学数学学习论i 习起干扰破坏作用 在很大程度上取决于这些内容在他们认知结构内的组织特征 特别是 学生数学认知结构中原有观念的稳定性和这些内容与所学新知识之间的可辨别性更是直接 影响旧知识在新知识学习中的应用 因此 我们把提高学生数学认知结构中原有观念的稳 定性和新旧知识的可辨别性作为克服思维定势和负迁移障碍的一条重要措施 在学习中可 以从以下几方面去具体落实这一措施 1 让学生获得内容相对完善 结构清晰的数学认知结构 首先 要正确理解数学知识结构的各部分内容 确保学生对所学数学概念和命题的准 确理解 其次 要突出在结构中起统帅作用的基本概念和基本原理的学习 把它们置于数 学学习的中心地位 让学生切实掌握这些概念的本质属性和原理的普遍规律 以此获得对 所学数学知识结构主干内容的正确理解和熟练掌握 最后 以这些核心内容为中心去联结 其他内容 并按照一定的逻辑顺序将各部分内容组织起来 让学生在头脑里获得结构化的 数学知识系统 2 搞好数学知识的系统整理 整理数学知识的过程既是一个给已有数学知识分类 并通过分类准确理解数学知识 防止不同内容之间发生棍淆的过程 同时也是一个进一步沟通数学知识之间联系 提高不 同内容之间的可辨别性的过程 不难发现 加强数学知识的整理能够防止数学知识理解上 的泛化 减少产生负迁移的风险 引导学生整理数学知识要注意将整理与复习巩固有机地 结合起来 通过整理促进数学知识的条理化 提高不同内容之间的区分度 通过复习巩固 加深对各部分数学知识的理解 增强数学认知结构内部各部分内容的稳定性 同时 在数 学知识的整理复习中还应鼓励学生用自己的方式去对所学数学知识进行编码 让他们在头 脑里建立起既便于储存又容易检索的数学认知结构 确保学生在后续学习中能够准确提取 相应的数学知识形成正迁移 从而避免负迁移的发生 3 避免干扰 适当加强对比练习 引导学生在对比中深刻揭示不同内容之间的联系和区别 增强数 学认知结构的稳定性和内容的清晰 性 避免不同数学知识之间的相互干扰 如组织学生对 用 四舍五入 法省略万位后面的尾数与把一个数改写成用万作单位的数进行对比练习 让学生在对比练习中明确求近似数和用万作单位表示数的实质 避免因两者的混淆而导致 学习障碍的发生 三 适当开展变式练习 变式 在这里是指变换数学学习材料的表现形式 改变所学数学知识的非本质属性 保留数学知识的本质属性恒常不变 变式练习有利于学生全面了解所学数学知识在不同情 境中的表现形式 深刻理解数学知识的内涵 防止思维定势和负迁移所引起的学习障碍 如在梯形的学习中 就应提供不同形状 不同大小 不同放置位置的梯形供学生观察 辨 认 让学生在多样化的图形辨认中加深对梯形 只有一组对边平行的四边形 的本质特征 的认识 这样可以避免学生在后续解决有关梯形问题的学习中 因图形形状和放置位置的 第五章小学数学学习障碍 149 干扰而引起的学习障碍 在小学数学学习中进行变式练习 要注意处理好以下几个问题 1 把握好变式练习的时机 变式