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,第一章,二、无穷大,三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,1.2.3,无穷小量与无穷大量,当,一、无穷小,定义1.若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小.,时为无穷小.,说明:,除0以外任何很小的常数都不是无穷小!,因为,当,时,显然C只能是0!,C,C,时,函数,(或),则称函数,为,定义1.若,(或),则,时的无穷小.,其中为,时的无穷小量.,定理1.(无穷小与函数极限的关系),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证.,二、无穷大,定义2.若任给M0,一切满足不等式,的x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将式改为,则记作,(正数X),记作,总存在,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,例.证明,证:任给正数M,要使,即,只要取,则对满足,的一切x,有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,渐近线,说明:,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.,定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:,内容小结,1.无穷小与无穷大的定义,2.无穷小
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