2017届全国100所名校高考数学冲刺卷（理科）（3）（解析版）

1、2017年全国100所名校高考数学冲刺卷（理科）（3）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|（x6）（3x+8）0，B=x|y=，则AB等于（）A1，6）B（1，6）C（，1D（，1）2已知实数a，b满足（a+2i）bi=3i+6（i为虚数单位）则在复平面内，复数z=a+bi所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知函数f（x）=2cos（x+）（0）的最小正周期为2，则函数f（x）图象的一条对称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=4已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3

2、），P4（x4，y4）是抛物线C：y2=8x上的点，F是抛物线C上的焦点，若|PF1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=20，则x1+x2+x3+x4等于（）A8B10C12D165已知各项均不相等的等比数列an中，a2=1，且a1，a3， a5成等差数列，则a4等于（）AB49CD76如图所示，已知菱形ABCD是由等边ABD与等边BCD拼接而成，两个小圆与ABD以及BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（）ABCD7已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x0时，f（x）=1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|3的解集为（）A（，2）（2，+）B（，4）

3、（4，+）C（2，2）D（4，4）8名著算学启蒙中有如下题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”这段话的意思是：“松有五尺长，竹有两尺长，松每天增长前一天长度的一半，竹每天增长前一天长度的两倍”为了研究这个问题，以a代表松长，以b代表竹长，设计了如图所示的程序框图，输入的a，b的值分别为5，2，则输出的n的值为（）A3B4C5D69（x2+y）5的展开式中，含x3y2的项的系数为（）A60B60C80D8010一个放置在水平桌面上的正四棱柱的俯视图如图所示，其中为锐角，则该几何体的正视图的面积的最大值为（）A2或3B2或3C1或3D2或211已知双曲线C：（a0，b0）的

4、左、右焦点分别为F1，F2，第二象限的点P（x0，y0）满足bx0+ay0=0，若线段PF2的垂直平分线恰为双曲线C的过一、三象限的渐近线，则双曲线C的离心率为（）AB4CD212如果x0是函数f（x）的一个零点，且在这个零点两侧函数值异号，则称x0是函数f（x）的一个变号零点，已知函数f（x）=ax2+1+lnx在（，e）上有且仅有一个变号零点，则实数a的取值范围为（）A，0）B，0）eC，0）D，0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13面积为4的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则=14已知实数x，y满足约束条件，则z=x3y的最大值为15已知数列an的前n项和

5、为Sn，且a1=1，an+1=，则S3n=16三棱锥DABC中，AB=CD=，其余四条棱均为2，则三棱锥DABC的外接球的表面积为三、解答题（共5小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知在ABC中，角AB，C所对边分别为a，b，c，C=2A（1）若c=a，求A的大小；（2）若a，b，c依次为三个连续自然数，求ABC的面积18已知在一次全国数学竞赛中，某市3000名参赛学生的初赛成绩统计如图所示（1）求a的值，并估计该市学生在本次数学竞赛中，成绩在的80，90）上的学生人数；（2）若在本次考试中选取1500人入围决赛，则进入复赛学生的分数应当如何制定（结果用分数表示）； （

6、3 ） 若以该市考生的成绩情况估计全省考生的成绩情况，从全省考生中随机抽取4名考生，记成绩在80分以上（含80分）的考生人数为X，求X的分布列和期望19如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，GAD为等边三角形，GDC=90，点E是线段GC的中点（1）若点P为线段GD的中点，证明：平面APE平面GCD；（2）求平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值20已知椭圆：（ab0）的离心率为，圆x2+y22y=0的圆心与椭圆C的上顶点重合，点P的纵坐标为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为2的直线l与椭圆C交于A，B两点，探究：在椭圆C上是否存在一点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，

7、请说明理由21已知函数f（x）=ax（1）若a=，求曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）ax+blnxax在（0，+）上恒成立，求实数a，b的值选考部分（请在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分10分）22已知直线l的参数方程为（ t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的坐标方程是sin26cos=0（1）求曲线 C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程； （2）求直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=2|x2|+3

8、|x+3|（1）解不等式：f（x）15；（2）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足4a+25b=m，证明： +2017年全国100所名校高考数学冲刺卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|（x6）（3x+8）0，B=x|y=，则AB等于（）A1，6）B（1，6）C（，1D（，1）【考点】1E：交集及其运算【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式解得：x6，即A=（，6）；B=x|y=1，+），则AB=1，6），故选：A2已知实

9、数a，b满足（a+2i）bi=3i+6（i为虚数单位）则在复平面内，复数z=a+bi所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】根据复数的代数形式的运算，利用复数相等求出a、b的值，再判断复平面内z所对应的点位于第几象限【解答】解：（a+2i）bi=3i+6，abi2b=3i+6，解得a=1，b=3；复平面内，复数z=a+bi=13i；z所对应的点（1，3）位于第三象限故选：C3已知函数f（x）=2cos（x+）（0）的最小正周期为2，则函数f（x）图象的一条对称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】H1：三角函数的周期性及

10、其求法【分析】通过函数的周期，可求出，然后求出函数的对称轴方程，即可得到选项【解答】解：函数f（x）=2cos（x+）（0）的最小正周期为2，所以=1，函数f（x）=2cos（x+）=2sinx，它的对称轴为：x=k+，kZ，当k=0时，可得，x=，显然B正确故选：B4已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4）是抛物线C：y2=8x上的点，F是抛物线C上的焦点，若|PF1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=20，则x1+x2+x3+x4等于（）A8B10C12D16【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义分别求得|PF1|+|PF2|+

11、|PF3|+|PF4|=x1+x2+x3+x4+2p，由2p=8，即可求得x1+x2+x3+x4=12【解答】解：由抛物线C：y2=8x焦点在F（2，0），由抛物线的性质可知：|PF1|=x1+，|PF2|=x2+，|PF3|=x3+，|PF4|=x4+，|PF1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=x1+x2+x3+x4+2p=x1+x2+x3+x4+8=20，则x1+x2+x3+x4=12，故选C5已知各项均不相等的等比数列an中，a2=1，且a1，a3， a5成等差数列，则a4等于（）AB49CD7【考点】8M：等差数列与等比数列的综合【分析】由题意可得q1，运用等比数列的通项公式和等

12、差数列中项的性质，解方程可得q2，再由a4=a2q2，计算即可得到所求值【解答】解：设各项均不相等的等比数列an的公比为q（q1），a2=1，可得a1q=1，a1，a3， a5成等差数列，可得2a3=a1+a5，即为2a1q2=a1+a1q4，由解得q2=（1舍去），则a4=a2q2=故选：C6如图所示，已知菱形ABCD是由等边ABD与等边BCD拼接而成，两个小圆与ABD以及BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（）ABCD【考点】CF：几何概型【分析】设等边三角形的边长为a，则内切圆的半径为a，求出相应的面积，以面积为测度可得结论【解答】解：设等边三角形的边

13、长为a，则内切圆的半径为a，往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为=，故选：D7已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x0时，f（x）=1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|3的解集为（）A（，2）（2，+）B（，4）（4，+）C（2，2）D（4，4）【考点】R5：绝对值不等式的解法【分析】利用f（0）=0，求出b，确定f（2）=3，函数在R上单调递增，利用函数的单调性，即可求出|f（x）|3的解集【解答】解：由题意，f（0）=1+b=0，b=1，f（x）=1og2（x+2）+x1，f（2）=3，函数在R上单调递增，|f（x）|3，|f（x）|f（2），f（x）2或f（x）2

14、，x2或x2，故选：A8名著算学启蒙中有如下题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”这段话的意思是：“松有五尺长，竹有两尺长，松每天增长前一天长度的一半，竹每天增长前一天长度的两倍”为了研究这个问题，以a代表松长，以b代表竹长，设计了如图所示的程序框图，输入的a，b的值分别为5，2，则输出的n的值为（）A3B4C5D6【考点】EF：程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，a，b的值，当a=，b=32时满足条件ab，退出循环，输出n的值为4【解答】解：模拟程序的运行，可得a=5，b=2，n=1a=，b=4不满足条件ab，n=2，a=，b=8不满足条件ab，

15、n=3，a=，b=16不满足条件ab，n=4，a=，b=32满足条件ab，退出循环，输出n的值为4故选：B9（x2+y）5的展开式中，含x3y2的项的系数为（）A60B60C80D80【考点】DC：二项式定理的应用【分析】根据乘方的意义，求得x3y2的项的系数【解答】解：由于（x2+y）5的表示5个因式（x2+y）的乘积，故其中有2个因式取y，2个因式取x2，一个因式取，可得含x3y2的项，故含x3y2的项的系数为（2）=60，故选：B10一个放置在水平桌面上的正四棱柱的俯视图如图所示，其中为锐角，则该几何体的正视图的面积的最大值为（）A2或3B2或3C1或3D2或2【考点】L7：简单空间图形

16、的三视图【分析】根据正四棱柱的底面边长是1还是，分两种情况计算【解答】解：由俯视图可知正四棱柱的底面边长为1，高为或底面边长为，高为1，由俯视图可知主视图矩形的一边长为cos+sin=2sin（+），（1）若正四棱柱的底面边长为1，高为，则正视图的面积S=12sin（+）=2sin（+），当=时，正视图的面积最大，最大面积为2（2）若正四棱柱的底面边长为，高为1，则正视图的面积S=2sin（+）=2sin（+），当=时，正视图的面积最大，最大面积为2故选D11已知双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，第二象限的点P（x0，y0）满足bx0+ay0=0，若线段PF2的垂直平分线恰

17、为双曲线C的过一、三象限的渐近线，则双曲线C的离心率为（）AB4CD2【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由题意， =， =， =，由此可得双曲线的离心率【解答】解：由题意， =， =， =，x0=，y0=，=，=，e=2，故选D12如果x0是函数f（x）的一个零点，且在这个零点两侧函数值异号，则称x0是函数f（x）的一个变号零点，已知函数f（x）=ax2+1+lnx在（，e）上有且仅有一个变号零点，则实数a的取值范围为（）A，0）B，0）eC，0）D，0【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】分类参数得a=，判断右侧函数的单调性，作出函数图象，根据方程只有1解得出a的范围【解答】解：

18、令f（x）=0得a=，令g（x）=，则g（x）=，令g（x）=0得x=e，当x（，e）时，g（x）0，当x（e，e）时，g（x）0，g（x）在（，e）上单调递增，在（e，e）上单调递减，且g（）=0，g（e）=，g（e）=作出g（x）的大致函数图象如图所示：f（x）在（，e）上只有一个零点，a=g（x）在（，e）上只有1解，0a或a=，解得a0或a=故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13面积为4的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则=【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据题意画出图形，先求出ABC的边长a，再利用平面向量的线性运算与数量积运算法则，计算

19、即可【解答】解：如图所示，等边三角形ABC的面积为S=a2sin=4，边长为a=4；又D是AB边上靠近B的三等分点，=，=；=（）=4244cos=故答案为：14已知实数x，y满足约束条件，则z=x3y的最大值为2【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由z=x3y得y=xz，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=xz，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=xz的截距最小，此时z最大，由，得，即C（1，1）代入目标函数z=x3y，得z=13（1）=2，故答案为：215已知数列an的前n项和为Sn，且a1

20、=1，an+1=，则S3n=9n2+3n【考点】8H：数列递推式【分析】由题意可得：a3n1=a3n2+3，a3n=a3n1+3，可得a3n2+a3n1+a3n=3a3n2+9a3n+1=a3n=a3n1+3=a3n2+6，又a1=1，可得：a3n2=1+6（n1）=6n5分组求和即可得出【解答】解：由题意可得：a3n1=a3n2+3，a3n=a3n1+3，可得a3n2+a3n1+a3n=3a3n2+9a3n+1=a3n=a3n1+3=a3n2+6，又a1=1，a3n2=1+6（n1）=6n5S3n=（a1+a2+a3）+（a3n2+a3n1+a3n）=3（a1+a4+a3n2）+9n=3+9

21、n=9n2+3n故答案为：9n2+3n16三棱锥DABC中，AB=CD=，其余四条棱均为2，则三棱锥DABC的外接球的表面积为7【考点】LG：球的体积和表面积【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，再求球的表面积【解答】解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=，BC=AC=AD=BD=2，可知ABC与ADB，都是等腰三角形，AB平面ECD，ABEF，同理CDEF，EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（AGBCGD）DE=，DF=，EF=1，GF

22、=，球半径DG=，外接球的表面积为4DG2=7故答案为：7三、解答题（共5小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知在ABC中，角AB，C所对边分别为a，b，c，C=2A（1）若c=a，求A的大小；（2）若a，b，c依次为三个连续自然数，求ABC的面积【考点】HR：余弦定理【分析】（1）由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可求cosA=，即可得解A的值（2）由正弦定理可得c=2acosA，设a=b1，c=b+1，利用余弦定理可求cosA=，进而求得b，a，c的值，利用余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】（

23、本题满分为12分）解：（1）C=2A，c=a，由正弦定理，可得：，A（0，），sinA0，cosA=，A=（2）C=2A，由正弦定理可得：，由sinA0，可得c=2acosA，a，b，c依次为三个连续自然数，可设a=b1，c=b+1，cosA=，由可得：b+1=2（b1），整理解得：b=5，可得：a=4，c=6，cosA=，可得：sinA=，SABC=bcsinA=18已知在一次全国数学竞赛中，某市3000名参赛学生的初赛成绩统计如图所示（1）求a的值，并估计该市学生在本次数学竞赛中，成绩在的80，90）上的学生人数；（2）若在本次考试中选取1500人入围决赛，则进入复赛学生的分数应当如何制定

24、（结果用分数表示）； （3 ） 若以该市考生的成绩情况估计全省考生的成绩情况，从全省考生中随机抽取4名考生，记成绩在80分以上（含80分）的考生人数为X，求X的分布列和期望【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由题意可得：（2a+2a+3a+6a+7a）10=1，解得a（2）70+=（3）该市成绩在80分以上（含80分）的概率P=，可得XB即可得出X的分布列与数学期望【解答】解：（1）由题意可得：（2a+2a+3a+6a+7a）10=1，解得a=0.005成绩在的80，90）上的学生人数=60.005103000=900（2）70+=初试成绩大于

25、或等于的进入决赛（3）该市成绩在80分以上（含80分）的概率P=，XBP（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=X的分布列为： X 0 1 2 3 4 PEX=1.619如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，GAD为等边三角形，GDC=90，点E是线段GC的中点（1）若点P为线段GD的中点，证明：平面APE平面GCD；（2）求平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值【考点】LY：平面与平面垂直的判定；MT：二面角的平面角及求法【分析】（1）易得CD面ADG只需PECD，即可得PE面ADG，平面APE平面GCD；（2）如图以AD的中点

26、O为原点，DA为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系设AD=2，则B（1，2，0），D（1，0，0），C（1，2，0），G（0，0，），E（，1，），利用向量求解【解答】解：（1）证明：底面ABCD为正方形，GDC=90，且ADDG=D，CD面ADG点E是线段GC的中点点P为线段GD的中点，PECD，PE面ADG，又因为PE面GCD，平面APE平面GCD（2）如图以AD的中点O为原点，DA为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系设AD=2，则B（1，2，0），D（1，0，0），C（1，2，0），G（0，0，），E（，1，）设面BDE的法向量为，由可取由（1）得CDAP，GAD为等边三角形，APGD，

27、即可得AP面GCD，可取为面GCD的法向量，P（，0，），A（1，0，0）=（，0，），cos=，平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值为20已知椭圆：（ab0）的离心率为，圆x2+y22y=0的圆心与椭圆C的上顶点重合，点P的纵坐标为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为2的直线l与椭圆C交于A，B两点，探究：在椭圆C上是否存在一点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程【分析】（1）由题意可知a=c，求得圆心与半径，即可求得b=1，则a=，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，根据向量相等，表示出x

28、0=mp，y0=m，将直线方程代入椭圆方程，由0，即可求得m的取值范围，将Q代入椭圆方程，由韦达定理，根据20，求得m的取值范围，由无交集，因此不存在Q，使得【解答】解：（1）由椭圆的离心率e=，则a=c，b2=a2c2=c2，由x2+y22y=0的标准方程x2+（y1）2=1，则b=1，c=1，a=，椭圆的标准方程：；（2）假设存在Q，使得满足，设A（x1，y1），B（x2，y2）直线l：y=2x+m，则Q（x0，y0），P（p，），则=（x1p，y1），=（x0x2，y0y2），由，则，则，整理得：9x2+8mx+2m22=0，则=（8m）249（2m22）=8（9m2）0，解得：3m3，

29、则x1+x2=m，y1+y2=2（x1+x2）+2m=m，则x0=mp，y0=m，由Q（x0，y0）在椭圆上，则x02+2y02=2，（mp）2+2（m）2=2，整理得：9p2+16mp+8m2m+32=0有解，则2=（16m）249（8m2m+32），=64832（m）20，解得：3m12，无交集，因此不存在Q，使得21已知函数f（x）=ax（1）若a=，求曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）ax+blnxax在（0，+）上恒成立，求实数a，b的值【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出f（

30、x）的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，求出切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；（2）由ax+blnxax在（0，+）上恒成立，即为blnx2ax的最大值，显然a0，设g（x）=lnx2ax，求出导数和单调区间，可得最大值，进而得到bln（2a）1，再由f（x）ax+b恒成立，运用配方法，可得b2ea2，由题意可得ln（2a）1=2ea2，即为ln（2a）+12ea2=0，可令h（a）=ln（2a）+12ea2，求出导数和单调区间，可得最值为0，即可得到a的值，进而得到b的值【解答】解：（1）a=时，f（x）=x，导数为f（x）=，可得曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线斜率为k=f（e）=1=，切点为（e，0），则曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程为y0=（xe），即有x2ye=0；（2）ax+blnxax在（0，+）上恒成立，即为blnx2ax，设g（x）=lnx2ax，g（x）=2a，若a0，g（x）0恒成立，g（x）在（0，+）递增，无最值；故a0，则当x，g（x）0，g（x）递减；当0x，g（x）0，g（x）递增可得g（x）在x=处取得极大值，且为最大值ln（2a）1；则bln（2a）1由f（x）ax+b，即为b2ax的最小值，由2ax=（x2ea）22ea2，当x=2e