第三讲一阶导数应用

1、导数的应用一. 微分中值定理1、罗尔定理若满足：（1）在闭区间上连续,（2）在开区间内可导,（3），则在内至少存在一点，使得.2、拉格朗日中值定理若满足（1）在闭区间上连续,（2）在开区间内可导,则在内至少存在一点，使得.3、柯西定理设函数，满足：（1）在上连续，（2）在内可导，（3），则在内至少存在一点，使得 .4、泰勒定理设函数在点的某个邻域内具有直到阶导数，则对该邻域内异于的任意点，在与之间至少存在一点存在，使得其中称为在点的阶泰勒余项.二.洛必达法则1、“”型:若，且存在或为，则 .2、“”型:若，且存在或为，则 .3、其它类型的未定式 先化为“”型或“”型，再用求极限.函数单调性的判

2、别方法、函数极值与最值的求法1、函数单调性的判别法设在上连续，在内可导，则有（1）如果，则在上单调增加;（2）如果，则在上单调减少.2、函数极值的判别法（1）第一判别法设在点的邻域内连续，在及内可导，则有+0或不存在-极大及-0或不存在+极小显然，若经过点时不变号，则不是极值.（2）第二判别法若，则当时，为极小值；当时，为极大值.3、函数的最值（1）闭区间上的最值求法：比较的驻点，导数不存在但有定义的点，以及区间的端点这三类点的函数值即可.（2）开区间内的最值求法：若在开区间内连续，且只有唯一一个极值点，则可断定就是相应的最值.函数图形凹凸性与拐点的判定：函数图形凹凸性的判定（1）如果，则曲线

3、在内凹；（2）如果，则曲线在内凸.拐点：曲线上凸与凹的分界点称为曲线的拐点.渐近线水平渐近线：或；铅直渐近线：或；斜渐近线：，其中，.弧微分（1），；（2），；（3），；（4）空间曲线：，.平面曲线的曲率与曲率半径（1）定义：.（2）曲率公式：若，则 ；若，则.典型例题1、函数的极值 驻点 极值点极小值极大值(1)可能极值点:不存在的点与的点。（驻点）(2)判别方法:、一阶导数变号。 、二阶，例1.设满足，且,， 则在点处 A A、取得极大值 B、取得最小值 C、在某邻域内单增D、在某邻域内单减例3. 设函数在的某邻域内可导，且， ，则是的极 大 值。2、函数的最大值与最小值例8 在椭圆的第一

4、象限上求一点，使该点的切线、椭圆及两坐标轴所围平面图形的面积最小. 解 椭圆在处的切线方程为： 或 令时，;令时， 所围平面图形的面积为： 令 ， 令得：（唯一），此时，.故所求的点为.3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点和不存在的点4证明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例4.当,证明: 证: 设,则 令 , 驻点唯一 , 当, 在上最大值为,最小值为 例4、 设，证明 证明：即证 设 , , 时单减 例5、 设在上可导，且单调减， 证明： ，证： 令; 单调减, ， ， ，即单调减 ，即三、中值定理（泰勒公式放入泰勒级数中讲）例1 设，则在（-1，0）内，方程有2个实根；在（-1，1）内有2个根例2 设在0，1可导，且, 证明存