高考数学一轮复习人教A版第47课椭圆的几何性质学案(江苏专用)

1、名校名 推荐第 47 课椭圆的几何性质1. 熟练掌握椭圆的几何性质，会利用几何性质解决简单的问题.2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系，并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题.1. 阅读：选修11 第 3234 页 (理科阅读选修21 相应内容 ).2. 解悟：椭圆中的基本量 a，b，c 满足关系 a2 b2 c2，在图形中分别对应着什么？有怎样的几何关系？离心率是反映了椭圆形状的一个重要量，它与ba之间满足一个什么关系？求离心率关键要寻找何种等式？a c，a c 是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？3.践习：在教材空白处完成选修11 第 34 页练习第1、2、 4

2、题 (理科完成选修21 相应任务 ).基础诊断22x y 1 的离心率为 1，则 m3.1. 若焦点在 x 轴上的椭圆 2m22解析：因为焦点在x 轴上的椭圆 x2 y2 1 的离心率为 1，所以 2 m 1，得 m3.2m22422. 已知椭圆 g 的中心在坐标原点，3，且椭圆 g 上一点到两长轴在 x 轴上，离心率为 2x2y2个焦点的距离之和为12，则椭圆g 的方程为369 1 .解析：由题意知 e3，2a 12，所以 a6，c 3 3，所以 b 3，所以椭圆方程为 x2236y2 1.93. 若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2 倍，则椭圆的中心到其准线的距离是43.3解析：由题意知2b

3、 2，2a 4b，所以 b 1， a 2，所以 ca2 b23，则椭圆的中心到其准线的距离是a2 4 43c33 .224. 过椭圆 x2 y2 1(ab0) 的左焦点 f1 作 x 轴的垂线交椭圆于点p，f2 为其右焦点， 若abf1pf2 60，则椭圆的离心率为3.322解析：由题意知点 p 的坐标为 c， b或 c， b ，因为 f1pf2 60，所以 2c23，aaba即 2ac 3b23(a2 c2)，所以3e2 2e3 0，所以 e3或 e3(舍 ).3范例导航1名校名 推荐考向 ?通过几何性质探求椭圆基本量2 2例 1 设 a ，b 是椭圆 c： x3 ym 1 长轴的两个端点

4、.若椭圆 c 上存在点 m 满足 amb 120 ，求实数m 的取值范围 .解析：若椭圆的焦点在x 轴上，则有a23，b2 m(0 m 3)，当点 m 为椭圆短轴的端点时， 此时 amb 最大，根据椭圆的对称性，只需满足 tanamo atan 603(其b中 o 为坐标原点 )，即3 3，得 0 m 1；若椭圆的焦点在 y 轴上， 则有 a2 m(m 3)，mb2 3，同理可得m 9.故 m 的取值范围是 (0， 1 9， ).如图，设椭圆x2y2f1，f2，且点 d 在椭圆上，df 1 f1f2 ，a2 b2 1(ab0)的左、右焦点分别为f1f222， df1f2的面积为2，则该椭圆的标

5、准方程为x2y2 1 .df 122222f1f2f1f22解析：设 f1( c，0)，f2(c，0)，其中 ca b .由 df1 22，得 df 1 2 22 c，所以12221222sdf1 f2 df 1f1f2c，故 c1，所以 df2.由 df1 f1f2，得 df2 df1222f1f22 9，因此 df2 3 2，所以 2a df1 df2 22，故 a2，b2 a2 c2 1，因此所22求椭圆的标准方程为x2 y2 1.2考向 ?求椭圆离心率22例 2如图， x2y2的左、右焦点分别为， f ，过点 f 的直线交椭圆于p，qa b 1(ab0)f122两点，且 pqpf1.(

6、1) 若 pf1 2 2， pf2 2 2，求椭圆的标准方程；(2) 若 pf1 pq，求椭圆的离心率 e.解析： (1) 由题意得2a pf1 pf2 (22)(2 2) 4，所以 a2.2名校名 推荐设椭圆的半焦距为c，由已知 pq pf1 ，所以 2cpf21 pf22（ 22） 2（ 22） 2 23，所以 c3，所以 ba2 c2 1，2故所求椭圆的标准方程为x y2 1.4(2) 方法一：连结 f1 q，设椭圆上点p(x0， y0 )， pf1 pf2，x02y022 2 1，所以有 abx20 y20 c2，a解方程组，得x0 c2 2b2b2a， y0 ，c由 pf1 pqpf

7、2， 得 x00，从而22pf21 aa 2b c c2 4b22 2c2 (aa 2b) .由椭圆定义，得pf1 pf22a， qf1 qf2 2a，由 pf1 pqpf2 qf2，得 qf1 4a 2pf1.又 pf1 pq，pf1 pq，所以 qf1 2pf1，所以 (2 2)pf1 4a，所以 (2 2)(a a2 2b2) 4a，所以 (2 2)(1 2e21) 4，解得 e 6 3.方法二：由椭圆定义，得pf1 pf2 2a， qf1 qf2 2a，由 pf1 pqpf2 qf2，得 qf1 4a2pf1.又 pf1 pq，pf1 pq，所以 qf1 2pf1，所以 2pf1 4a

8、 2pf1 ，所以 pf12(2 2)a，从而 pf2 2a pf1 2a 2(22)a 2(2 1)a.由 pf1 pf2，知 pf21 pf22f1f22 (2c) 2，cpf12 pf222（2 9 6 2 6 3.所以 e （22）2 1）a2a已知直线 l 经过椭圆短轴的一个端点和一个焦点. 若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的1，4则该椭圆的离心率为1 .4解析：根据题意，设椭圆的方程为x2y2a2 b21(ab0) ，设直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则直线的方程为 x y 1.若椭圆中心即(0 ， 0) 到直线 l 的距离为其短轴长的1，则有cb43名校名 推荐| 1|b2222

9、221114，得 b 15c，则 ab c 16c，即 a 4c，所以椭圆的离心率为4.2 2cb考向 ?椭圆离心率的取值范围问题例 3已知 f1， f2 是椭圆的两个焦点，p 为椭圆上一点，f1pf2 60.(1) 求椭圆离心率的取值范围；(2) 求证： f1pf2 的面积只与椭圆的短轴长有关.x2y2解析： (1) 设椭圆方程为a2 b2 1(ab0) ， pf1 m， pf2 n.在 pf1f2 中，由余弦定理得4c2 m2 n2 2mncos60.因为 m n 2a，2222所以 m n (m n) 2mn 4a 2mn，2222所以 4c 4a 3mn，即 3mn4a 4c .2又

10、mn m n a2(当且仅当 mn 时取等号 ) ， 22所以 4a2 4c2 3a2 ，所以 ca2 14，即 e 12，所以 e 的取值范围是1， 1 .222242，(2) 由 (1) 知 3mn 4(a c ) 4b，则 mn b3所以 s pf1 f2132 mnsin603b ，2所以 pf1f2 的面积只与短轴长有关.22如图，椭圆c： x2 y2 1(ab0) ，圆 o： x2 y2 b2 ，过椭圆 c 的上顶点 a 的直线 l ：aby kx b 分别交圆 o、椭圆 c 于不同的两点p， q，设 ap pq.(1) 若点 p(3， 0)， q(4， 1)，求椭圆 c 的方程；

11、(2) 若 3，求椭圆 c 的离心率 e 的取值范围 .解析： (1)由点 p 在圆 o： x2 y2 b2 上得 b 3，点 q 在椭圆 c 上得（ 4）2（ 1） 2221，a322解得 a2 18，所以椭圆 c 的方程是 x y 1.1894名校名 推荐(2)联立y kx b，解得 x 0 或 xp2kb2.x2 y2 b2，1 ky kx b，2联立222kba2.xy解得 x 0 或 xq 2 2 1，a k ba2 b2 3 因为 ap pq， 3，所以 ap aq ，4所以2kba232kb2，2 221kk a b4231即 2a2，22 1ka k b423a2 4b22所以

12、 k 2 4e 1.a221因为 k 0，所以4e 1，即 e .21又 0e1，所以 2eb0) ，因为 ca b 1，所以 a b 1 .因为93314直线 ab 经过右焦点 f2 且垂直于 x 轴，所以 a 1，2 ，b1， 2，代入椭圆方程得a2 b222c 的方程为x2y21 .联立解得 a 4，b 3，所以椭圆4 1.3x2y24. 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆 a2 b2 1(ab0) 的左焦点为 f，右顶点为 a， p 是椭圆上一点， l 为左准线， pq l，垂足为 q，若四边形pqfa 为平行四边形，则椭圆的离心率 e 的取值范围是( 2 1，1) .2解析：设点 p(x，y).因为 pq l ，四边形 pqfa 为平行四边形， 所以 pq a x a c，c可得 x a ca2.因为椭圆上点p 的横坐标满足x a，a，且 p， q， f， a 不在一条直c线上，所以 axa，即 aa ca20