高中直线与方程知识点解析及经典例题

1、高中数学必修2 知识点直线与方程一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 ktan(900 ) 。斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。当0 ,90 时， k0； 当90 ,180时， k0； 当90 时， k 不存在。过两点的直线的斜率公式：ky2y1 (x1x2 )x2x1注意下面四点： (1)当 x1x2 时，公式右边无意义，直线的斜率

2、不存在，倾斜角为90；(2) k 与 P1、P2 的顺序无关； (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例 .如右图，直线l1 的倾斜角= 30，直线 l 1 l2，求直线 l 1 和 l 2 的斜率 .y解： k1= tan30 =3l 1 l2 k1 k2 = 1l13 k2 = 321x例： 直线 x3y50 的倾斜角是 ()ol 2A.120 B.150 C.60D.30 （3）直线方程点斜式： yy1k( xx1 ) 直线斜率 k，且过点 x , y11注意：当直线的斜率为0时， k=0，直线的方程是 y=

3、y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式： ykxb ，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为 b两点式：yy1xx1（ x1x2 , y1y2 ）即不包含于平行于x 轴或 y 直线两点轴的直y2y1x2x1线，直线两点x1, y1， x2 , y2 ，当写成 (x2x1 )( y y1 )( y2y1 )( x x1 ) 的形式时，方程可以表示任何一条直线。截矩式： xy1ab其中直线 l与 x 轴交于点 ( a,0) , 与 y 轴交于点 (0,b) , 即 l与 x 轴、 y 轴的截距分别为a

4、,b 。对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。一般式： AxByC0 （ A， B 不全为 0）12注意： 各式的适用范围 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：yb （ b 为常数）；平行于 y 轴的直线： x a （ a 为常数）；例题： 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是1 ，经过点 A(8 ， 2)；.2(2)经过点B(4,2) ，平行于 x 轴；.(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3 , 3 ；.2.4)经过两点 P (3， 2)、 P (5， 4)；12例 1：直线 l 的方程为A x+B y+C = 0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（）

5、A C=0， B0B C= 0， B0 ， A0C C= 0， AB0例 2：直线 l 的方程为A x By C= 0，若 A 、 B、 C 满足 AB.0且 BC0 ，则 l 直线不经的象限是（）A 第一B 第二C第三D第四（ 4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线A0 xB0 yC00（ A0 , B0是不全为0 的常数）的直线系：A0 xB0 yC0 （ C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系：yy0kxx0 ，直线过定点x0 , y0；（）过两条直线l1:A xB yC0， l2: A2xB2 y C20 的交点的直线111系方程为A x

6、 B yCA xB yC0（为参数），其中直线 l2不在直线系中。111222（三）垂直直线系垂直于已知直线AxByC 0 （ A, B 是不全为0 的常数）的直线系：Bx AyC0例 1：直线 l： (2m+1) x+(m+1) y7m 4= 0 所经过的定点为。 (m R)（5）两直线平行与垂直当 l 1 : y k1 xb1 ， l2 : y k2 xb2 时，（ 1） l1 / l2k1k2 , b1b2 ；（ 2） l1l 2k1 k21注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（3） k1k2 ,b1b2l1 与 l2 重合；（ 4） k1k2l1 与 l 2 相

7、交。另 外 一 种 形 式 ： 一 般 的 ， 当 l1: A1 x B1 yC10( A1, B1不全为 0) ，与l 2 : A2 xB2 yC20( A2 , B2 不全为 0) 时，（1） l1 / / l 2A1 B 2A2 B10A1B2A2 B10，或者。AC1 2A2 C10B1 C2B 2C10（2） l1l 2A1 A2B1B20。（3） l1 与 l 2 重合A1 B2A2 B1 = B1C2B2 C1 = A1C 2A2C1 =0。（4） l1 与 l 2 相交A1 B2A2 B10 。例 .设直线l1 经过点 A( m，1)、 B( 3，4) ，直线l2 经过点 C(

8、1，m)、 D( 1， m+1)，当 (1) l 1/ / l2(2)l1 l1 时分别求出 m 的值例 1.已知两直线l1： x+(1+ m) y = 2 m 和 l2： 2mx+4y+16= 0， m 为何值时l 1 与 l2 相交平行例 2. 已知两直线 l 1： (3a+2) x+(1 4a) y + 8= 0 和 l 2： (5a2)x+( a+4) y 7= 0 垂直，求 a 值（6）两条直线的交点l1 : A1 x B1 y C10 l2 : A2 x B2 y C20 相交交点坐标即方程组A1xB1 yC10A2 xB2 yC2的一组解。0方程组无解l1/ l 2 ；方程组有无

9、数解l1 与 l2 重合例 3.求两条垂直直线 l 1： 2x+ y +2= 0 和 l 2： mx+4y2= 0 的交点坐标例 4. 已知直线 l 的方程为 y11 ，x2(1)求过点（ 2， 3）且垂直于 l 的直线方程；(2)求过点（ 2， 3）且平行于 l 的直线方程。例 2：求满足下列条件的直线方程(1) 经过点 P(2， 3)及两条直线 l 1： x+3y 4= 0 和 l 2：5x+2y+ 1=0 的交点 Q；(2)经过两条直线12：x 2y+ 1= 0 的交点且与直线 4x3y 7= 0平行；l ：2x+y 8= 0 和 l(3)经过两条直线12：3x+4y2= 0的交点且与直

10、线l ：2x 3y+10= 0 和 l3x 2y+4= 0 垂直；（7）两点间距离公式：设A(x1 , y1 )，（Bx2 , y2）是平面直角坐标系中的两个点，则 | AB |( xx )2( yy )22121（ 8 ） 点 到 直 线 距 离 公 式 ： 一 点 P x0 , y0到 直 线 l1: Ax By C 0 的 距 离dAx0 By0CA 2B 2（ 9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。对于 l1 : A1 xB1 y C10 l 2 : A2 x B2 y C2 0 来说：C1C2。dB2A2例 1：求平行线l 1：3x+ 4y 12

11、= 0 与 l 2： ax+8y+11= 0 之间的距离。例 2：已知平行线 l1： 3x+2 y 6= 0 与 l 2： 6x+4y 3= 0，求与它们距离相等的平行线方程。(10) 对称问题1) 中心对称 A 、若点 M ( x1 , y1) 及 N (x, y) 关于 P(a, b) 对称，则由中点坐标公式得x2ax1,y2by1.B 、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 l1 / / l2 ，由点斜式得出所求直线的方程。2) 轴对称 A 、点关于直线的对称：若 P1( x

12、1 , y1) 与 P2 ( x2 , y2 ) 关于直线 l : AxBy C 0 对称，则线段 P1 P2 的中点在对称轴 l上，而且连结 P1 P2 的直线垂直于对称轴 l，由方程组A x1x2B y1y2C 0,22可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标 ( x2, y2 ) （其中y1y2Bx1x2,AA0, x1x2 ) 。B 、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决，若已知直线l1 与对称轴 l 相交，则交点必在与 l1 对称的直线 l2 上，然后再求出 l1上任一个已知点P1 关于对称轴 l 对称的点 P2 ，那么经过交点及点 P2 的直线就是

13、l 2 ；若已知直线 l1 与对称轴 l平行，则与 l1 对称的直线和 l1 到直线 l 的距离相等， 由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1 的对称直线。例 1：已知直线 l ： 2x 3y+1=0 和点 P( 1， 2).(1) 分别求：点 P(1， 2)关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标(2) 分别求：直线 l ：2x 3y+1=0 关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x 、原点 O 的对称的直线方程 .(3) 求直线 l 关于点 P(1， 2)对称的直线方程。(4) 求 P( 1， 2)关于直线 l 轴对称的直线方程。例 2：点 P(1， 2)关于

14、直线l： x+y 2= 0 的对称点的坐标为。11. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1， y1)、 P1(x1， y1)，则线段的中点M 坐标为 ( x1x 2 ，y1y222)例 .已知点 A(7 ， 4)、 B( 5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程直线方程练习题1过点 (1,3) 且平行于直线x2y30 的直线方程为 _2若直线x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则a=_3、直线 2x+3y-5=0 关于直线y=x 对称的直线方程为_4、与直线2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是 _5、过点 P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0 垂直的直线方程是_6.过点（ 1， 2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程_7 两直线 2x+3y k=0 和 x ky+12=0 的交点在y 轴上，则k 的值是 _8、两平行直线x3y40与 2x6 y90的距离是 _9、已知三角形ABC的顶点坐标为A（ -1 ，5）、B（ -2 ， -1 ）、C（ 4，3），