高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

1、推理与证明一、核心知识1. 合情推理（ 1）归纳推理的定义： 从个别事实 中推演出一般性 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体 ，由个别到一般 的推理。（ 2）类比推理的定义： 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同， 这样的推理称为类比推理。 类比推理是由特殊到特殊的推理。2. 演绎推理(1) 定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论 （包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。(2) 演绎推理的主要形式：三段论“三段论”可以表示为： 大前题：M 是 P小前提： S

2、是 M 结论：S 是 P 。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。3. 直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接 推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。（ 1）综合法就是 “由因导果” ， 从已知条件出发， 不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。（ 2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者 一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A ，只要证 B ，B 应是 A 成立的充分条件 . 分析法和综合法常结合使用，不

3、要将它们割裂开。4 反证法（ 1）定义：是指从否定的结论出发， 经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。（ 2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。（ 3）反证法的思维方法 : 正难则反5数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1) 证明：当 n 取第一个值 n0 （n0 N*）时命题成立；(2) 假设当 n=k (k N*，且 kn0) 时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立由 (1) ，(2) 可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数

4、 n 都正确。二、典型例题例 1.已知f (x1)2 f ( x)1（xN *，猜想）的表达式为（ B）f ( x), f (1)）f ( x2A. f (x)2x4； B.f ( x)2；C.f ( x)1；D.f (x)2.2x1x12x1例 2.已知 f ( n )111L1( nN *) ，计算得f (2)3 ， f (4)2 ，23n2f (8)5 ， f (16)3， f (32)7 ，由此推测：当 n 2 时，有22f (2 n )2n 1 (n N * )2例 3.已知： sin2 30sin 2 90sin2 1503 ； sin 2 5sin 2 65sin2 125322

5、通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：3）并给出（ * ）式的证明 ._=（ *23解：一般形式 :sin 2sin 2 (60 )sin 2 (120 )2证明：左边 =1cos 21cos(2120 )1cos( 2240 )222=31 cos 2cos(2120 )cos(2240)22=31cos2cos2cos120sin2 sin120cos2cos240sin2sin240 22=31 cos 21 cos23 sin 21 cos 23 sin 2 =3右边2222222（将一般形式写成sin2 (60o ) sin 2sin 2 (60o )3 ,2sin 2 (

6、240)sin 2 (120 )sin23 等均正确。）2例 4若 a, b, c 均为实数，且 ax22y, by2 2z, c z 22x。236求证： a,b, c 中至少有一个大于0。答案：（用反证法）假设 a,b, c 都不大于 0，即 a0, b 0, c 0，则有 a bc0 ，而 a b c ( x22 y) ( y 22z) (z 22 x) ( x 1)2( y 1)2( z 1)2(3) 323626= ( x 1) 2 ( y 1)2(z 1)23 ( x 1)2 , ( y 1) 2 ,( z 1)2 均大于或等于0，30 ， ab c0 ，这与假设 ab c 0矛盾

7、，故a, b, c 中至少有一个大于0。例 5. 求证： 1+3+5+ +（2n+1）=n2 （ n N*）三、课后练习1数列 1,3,6,10,15， 的递推公式可能是(B)a1 1，A.* an 1an n( nN)a1 1，C.* an 1an ( n1)( nN)a1 1，B.*an an 1n( nN， n2)a1 1，D.*an an 1( n 1)( nN，n2)解析记数列为an ，由已知观察规律：a2 比a1 多 ，a3 比 a2 多 ，a4 比 a3 多23a1 ，*， ，可知当 n2时，an 比 an 1 多 n，可得递推关系14(n ，nN 2)an an 1n用数学归纳

8、法证明等式 n( n3)( n4)*2(3)(nN 时，验1 2 32)证 n1，左边应取的项是 (D)A1 B 12C 123D1234解析当n1时，左 (13) ，故应选D.1 21 243已知fn1111，则(D ) 2( )nn1n2nfn中共有 n 项，当 n2时， f(2)11 A( )23fn中共有 n1项，当 n2时， f(2)111B()234fn2n 项，当n时， f11中共有 n2(2) C()23fn2n项，当n时， f111中共有 n12(2) D()234解析项数为n2n1)n2n ，故应选D.(14已知 abc ，则 abbcca 的值(D)0A大于 0 B小于

9、0C不小于 0D不大于 0 解析 解法 1： abc0， a2b2c22ab 2ac2bc0， abacbca2b2c220.5已知 c ，a c c，b cc ，则正确的结论是( B )111abBa bC a bDa、b 大小不定A解析a c c1，bc c 1c，1c c1c11因为c1 c0， cc10，所以c 1 c c c10，所以 a0a2a答案：证明：要证 a212 a12 ，a2a只需证 a 212a12 。a2aa，两边均大于零，因此只需证 ( a 212)2(a12) 2 0a 2a只需证 a2144 a21a21 2 222( a1 ) ，a2a 2a2a只需证 a 212 (a1 ) ，只需证 a211(a 212) ，a22aa22a2即证a212，它显然成立。原不等式成立。a 214.ABC 中，已知3b23a sin B ，且 cos AcosC ，求证：ABC 为等边三角形。解 :分析：由3b23a sin B3sin B23 sin A sin Bsin A3A3, 223由 cos AcosCAC AC3B所以ABC 为等边三角形222115已知： a、b、cR，且 ab