2020_2021学年新教材高中数学第二章平面向量及其应用2.6.1一余弦定理作业含解析北师大版必修第二册20201214229.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册作业含解析打包28套北师大版必修第二册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册作业含解析打包28套北师大版必修第二册,文本
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6平面向量的应用6.1余弦定理与正弦定理一、余弦定理(15分钟30分)1.在abc中,a,b,c分别为a,b,c的对边,a=60,b=1,三角形的面积为,则a=()a.2b.c.2d.【解析】选d.依题意s=bcsin a=1csin 60=,解得c=4,由余弦定理得a=.【补偿训练】在abc中,a,b,c分别是角a,b,c的对边,若2b=a+c,b=30,abc的面积是,则b=()a.1+ b. c. d.2+【解析】选a.由已知s=acsin b=acsin 30=ac=,得ac=6,所以b2=a2+c2-2accos 30=(a+c)2-2ac-ac=4b2-6(2+),解得b=+1.2.满足a=60,c=1,a=的abc的个数记为m,则am的值为()a.3b.c.1d.不确定【解析】选b.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos a,即3=b2+1-b,解得b=2或b=-1(舍去),所以满足条件的abc只有一个,即m=1,所以am=.3.在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,bc=a2,则abc的形状是()a.等腰三角形b.直角三角形c.等边三角形d.等腰直角三角形【解析】选c.由b2+c2=a2+bc,可得b2+c2-a2=bc,故cos a=,因为0a,所以a=.又因为bc=a2,所以b2+c2=2bc,即(b-c)2=0,即b=c,所以abc为等边三角形.4.已知abc的三内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若b=2,a=2,b=60,则边c=.【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos b=4+c2-2c=12,解得c=-2(舍去)或c=4.答案:45.在abc中,a,b,c为角a,b,c的对边,且b2=ac,则b的取值范围是.【解析】cos b=+,因为0b,所以b.答案:6.在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知=c2+3ab.(1)求c的值;(2)若abc的面积为,c=,求a,b的值.【解析】(1)将等式(a+b)2=c2+3ab变形为a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos c=,因为0c,故c=.(2)由题意有整理得解得或(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.钝角abc的面积是,ab=1,bc=,则ac=()a.5b.c.2d.1【解析】选b.由面积公式得sin b=,解得sin b=,所以b=45或b=135,当b=45时,由余弦定理得ac2=1+2-2cos 45=1,所以ac=1,又因为ab=1,bc=,所以此时abc为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以b=135,由余弦定理得ac2=1+2-2cos 135=5,所以ac=.2.abc的三内角a,b,c所对边的长分别为a,b,c.设向量p=, q=.若pq,则c=()a.b.c.d.【解析】选b.因为向量p=,q=,pq,所以-b=0,整理得b2+a2-c2=ab.所以cos c=,解得c=.3.在abc中,a2+b2+c2=2bccos a+2accos b,则abc一定是()a.锐角三角形b.钝角三角形c.直角三角形d.等边三角形【解析】选c.因为a2+b2+c2=2bccos a+2accos b,所以a2+b2+c2=2bc+2ac所以a2+b2+c2=b2+c2-a2+a2+c2-b2=2c2,即a2+b2=c2,所以abc一定是直角三角形.4.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是()a.(2,4)b.(2.5,3.5)c.(2,)d.(2,4)【解析】选c.只需让3和a所对的角均为锐角即可,故解得2a.【误区警示】本题容易默认a为最大边,从而造成错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,若acos a=bcos b,且c=2,sin c=,下列可以是abc面积的为()a.3b.c.d.6【解析】选ac.因为在abc中,acos a=bcos b,所以由余弦定理得a=b,整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0,即a=b或c=(舍去).因为c=2,sin c=,a=b,所以cos c=,即=,解得a=b=或a=b=.当a=b=时,sabc=absin c=3;当a=b=时,sabc=absin c=.6.若abc为钝角三角形,且a=2,b=3,则边c的长可能为()a.2b.3c.d.4【解析】选ad.由三角形的边长能构成三角形,有1c5,又ab,所以在abc中钝角可能为角b或角c.则cos b=0或cos c=0,所以4+c2-90或4+9-c20,解得1c或c5,所以选项a,d满足.【光速解题】本题直接求解略显复杂,可以直接利用余弦定理验证即可.本题a选项较易验证cos b=-0,故最大角c为锐角,从而abc为锐角三角形,故此选项不符合题意;d选项不需要验证即可判断(多选题至少有两项满足,则d项必定成立).三、填空题(每小题5分,共10分)7.在abc中,a,b,c所对的边分别为a,b,c.若c=b,cos b=cos c,a=,则sabc=.【解题指南】先根据余弦定理得b2+c2=a2,再根据直角三角形求结果.【解析】因为cos b=cos c,所以=,结合c=b,化简得a=b,从而有b2+c2=a2,即abc为直角三角形,将c=b,a=代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=,所以sabc=bc=.答案:【补偿训练】在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若c=,c=2,则abc面积的最大值为.【解析】由c=及c=2可得4=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=4,由不等式a2+b22ab可得2ab-ab4,即ab4,当且仅当a=b=2时取等号.所以s=absin c=ab4=,故abc面积的最大值为.答案:8.在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos a+accos b+bccos c的值是.【解析】因为cos a=,所以bccos a=(b2+c2-a2),同理accos b=(a2+c2-b2),abcos c=(a2+b2-c2),所以bccos a+accos b+abcos c=(a2+b2+c2)=.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.设向量m=,n=(b-2,a-2),在abc中,a,b,c分别为角a,b,c的对边,且2c2=(2b-a)b+(2a-b)a.(1)求角c;(2)若mn,边长c=2,求abc的周长l和面积s的值.【解析】(1)由已知可得c2=b2+a2-ab,所以cos c=,所以c=.(2)由题意可知mn,可得a+b=0,所以a+b=ab,由余弦定理可知4=a2+b2-ab=-3ab,则-3-4=0,即a+b=4,故周长为4+2=6,面积s=absin c=4sin=.10.在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,c=2acos b.(1)判断abc的形状;(2)若c=1,c=,求abc的面积.【解析】(1)因为c=2acos b,所以c=2a,所以a2+c2-b2=c2,即a2=b2,所以a=b,abc为等腰三角形.(2)由(1)知a=b,所以cos c=,解得a2=2+,所以sabc=absin c=a2sin c=.1.在abc中,d在线段ab上,且ad=5,bd=3,若cb=2cd,coscdb=-,则下列说法错误的是()a.abc的面积为8b.abc的周长为8+4c.abc为钝角三角形d.sincdb=【解析】选d.设cd=a,则bc=2a,在bcd中,bc2=cd2+bd2-2bdcdcoscdb,解得a=,所以sdbc=bdcdsincdb=3=3,所以sabc=sdbc=8,故a正确;因为adc=-cdb,所以cosadc=cos(-cdb)=-coscdb=,在adc中,ac2=ad2+cd2-2addccosadc,解得ac=2,所以cabc=ab+ac+bc=+2+2=8+4,故b正确;因为ab=8为最大边,所以cos c=-0,即c为钝角,所以abc为钝角三角形,故c正确.因为coscdb=-,所以sincdb=,故d错误.2.如图,abc的顶点坐标分别为a(3,4),b(0,0),c(c,0).(1)若c=5,求sin a的值;(2)若a为钝角,求c的取值范围.【解析】(1)因为a(3
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