2020_2021学年新教材高中数学第二章平面向量及其应用2.6.1三第2课时解三角形的实际应用举例作业含解析北师大版必修第二册20201214228.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册作业含解析打包28套北师大版必修第二册
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第2课时解三角形的实际应用举例(15分钟30分)1.某船从a处向北偏东60方向航行2千米后到达b处,然后朝南偏西30的方向航行6千米到达c处,则a处与c处之间的距离为()a.千米b.2千米c.3千米d.6千米【解析】选b.设a处与c处之间的距离为x千米,由余弦定理可得x2=+62-226cos(60-30)=12,则x=2.【补偿训练】在相距4千米的a,b两点处测量目标c,若cab=75,cba=60,则a,c两点之间的距离是()a.4千米b.2千米c.2千米d.2千米【解析】选b.由于cab=75,cba=60,所以acb=180-75-60=45,由正弦定理得=,即=,解得ac=2.2.某建筑物上有一根长为20 m的旗杆,由地面上一点测得建筑物顶点的仰角为45,旗杆顶端的仰角为60,则此建筑物的高度最接近于()a.25 mb.27 mc.29 md.31 m【解析】选b.设建筑物高度为h米,根据题意画出图形:由图可得ab=h,则tan 60=,解得h=10(+1)27.3.如图,已知a,b,c是一条直路上的三点,ab与bc各等于1 km,从三点分别望塔m,在a处看见塔在北偏东30方向,在b处看见塔在正东方向,在c处看见塔在南偏东60方向,则塔到直路abc的最短距离为()a.b.c.1d.【解析】选b.由已知得ab=bc=1,amb=60,cmb=30,所以cma=90,所以ab=bc=1=mb,amb=60=a,所以am=1,cm=,设ac边上的高为h,则塔到直路abc的最短距离为h,所以amcm=ach,解得h=.4.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30,则甲、乙两楼的高分别为米、米.【解析】如图,过点c作cmab,垂足为依题意有甲楼的高度为ab=20tan 60=20(米),又cm=db=20米,cam=60,所以am=cm=米,故乙楼的高度为cd=20-=(米).答案:205.如图,要测出山上石油钻井的井架bc的高,从山脚a测得ac=60 m,井架顶b的仰角45,井架底的仰角15,则井架的高bc为m.【解析】由题意得bac=45-15=30,abc=45,且ac=60 m.在abc中,由正弦定理得=,即=,解得bc=30.答案:306.一海轮以20海里/小时的速度向正东航行,它在a点时测得灯塔p在船的北偏东60方向上,2小时后船到达b点时测得灯塔p在船的北偏东45方向上.求:(1)船在b点时与灯塔p的距离;(2)已知以点p为圆心,55海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么船继续向正东航行,有无触礁的危险?【解析】(1)如图:在abp中,pab=30,abp=135,所以apb=15.由正弦定理得=,所以bp=20(+).(2)过p作pdab,d为垂足.pd=bpsin 45=20+2055,故继续航行有触礁危险.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知a,b两地距离为2,b,c两地距离为3,现测得abc=,则a,c两地的距离为()a.b.c.d.【解析】选d.因为ab=2,bc=3,abc=,所以由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccosabc=4+9-223cos=19,即ac=.2.如图,在限速为90 km/h的公路ab旁有一测速站p,已知点p距测速区起点a的距离为0.08 km,距测速区终点b的距离为0.05 km,且apb=60,现测得某辆汽车从a点行驶到b点所用的时间为3 s,则此车的速度介于()a.6070 km/hb.7080 km/hc.8090 km/hd.90100 km/h【解析】选c.由余弦定理得ab=0.07,则此车的速度为=712=84 km/h.3.(2020天津高一检测)雕塑成了大学环境不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体ad和底座cd两部分组成.如图,在rtabc中,abc=70.5,在rtdbc中,dbc=45,且cd=2.3米,则像体ad的高度为()(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin 70.50.943,cos 70.50.334,tan 70.52.824)a.4.0米b.4.2米c.4.3米d.4.4米【解析】选b.在rtbcd中,bc=cd=2.3(米),在rtabc中,ac=bctanabc2.32.8246.5(米),所以ad=ac-cd=6.5-2.3=4.2(米).4.刘徽是我国魏晋时期著名的数学家,他编著的海岛算经中有一问题:“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高几何?”意思是:为了测量海岛高度,立了两根表,高均为5步,前后相距1 000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123步,人恰观测到岛峰,从后表退行127步,也恰观测到岛峰,则岛峰的高度为(注:3丈=5步,1里=300步)()a.4里55步b.3里125步c.7里125步d.6里55步【解析】选a.如图.由题意bc=de=5步,设ah=h步,bf=123,dg=127,=,hf=,由题意,(hg-127)-(hf-123)=1 000,即-4=1 000,解得h=1 255步=4里55步.【误区警示】不能正确作出图示是本题最易犯的错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.某人在a处向正东方向走x km后到达b处,他向右转150,然后朝新方向走3 km到达c处,结果他离出发点恰好 km,那么x的可取值为()a.b.2c.3d.3【解析】选ab.由题意得abc=30,由余弦定理得cos 30=,解得x=2或x=.6.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,数书九章中记录了秦九昭的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即s=.现有abc满足sin asin bsin c=23,且abc的面积sabc=6,则运用上述公式判断下列命题正确的是()a.abc周长为10+2b.abc三个内角a,c,b满足a+b=2cc.abc外接圆直径为d.abc中线cd的长为3【解析】选abc.由正弦定理可得:abc=23,设a=2m,b=3m,c=m,所以s=m2=6,解得:m=2,所以abc的周长为a+b+c=4+6+2=10+2,a正确;由余弦定理得:cos c=,所以c=,因为a+b+c=,所以a+b=,即a+b=2c,b正确;由正弦定理知外接圆直径为2r=,c正确;由中线定理得a2+b2=c2+2cd2,即cd2=19,所以cd=,d错误.【光速解题】本题b中可以直接令a=2,b=3,c=,从而可快速判断.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,一栋建筑物ab高(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔cd.在它们之间的地面m点(b,m,d三点共线)测得对楼顶a、塔顶c的仰角分别是15和60,在楼顶a处测得对塔顶c的仰角为30,则通信塔cd的高为m.【解析】由题意可知cam=45,amc=105,由三角形内角和定理可知acm=30.在rtabm中,sinamb=am=.在acm中,由正弦定理可知:=,所以cm=.在rtdcm中,sincmd=,所以cd=cmsin 60=sin 60=60.答案:60【补偿训练】如图,为了测量山坡上灯塔cd的高度,某人从高为h=40的楼ab的底部a处和楼顶b处分别测得仰角为=60,=30,若山坡高为a=32,则灯塔高度是.【解析】如图,bndc于n,dc延长线交地面于m,则dn=bntan ,dm=amtan ,而bn=am,所以bntan -bntan =h,即bn(tan 60-tan 30)=40,bn=20,所以dc=amtan 60-cm=bntan 60-32=20-32=28.答案:288.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径a,b两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点c,d,测得cd=80,adb=135,bdc=dca=15,acb=120,则a,b两点的距离为.【解析】由已知,acd中,acd=15,adc=150,所以dac=15,由正弦定理得ac=40(+).bcd中,bdc=15,bcd=135,所以dbc=30,由正弦定理,=,所以bc=40(-).在abc中,由余弦定理ab2=ac2+bc2-2acbccosacb=1 600(8+4)+1 600(8-4)+21600(+)(-)=1 60016+1 6004=160020=32 000,故ab=80,即a,b间的距离为80.答案:80四、解答题(每小题10分,共20分)9.某船在海面a处测得灯塔c在北偏东30方向,与a相距10海里,测得灯塔b在北偏西75方向,与a相距15海里,船由a向正北方向航行到d处,测得灯塔b在南偏西60方向,这时灯塔c与d相距多少海里?c在d的什么方向?【解析】作aebd于e,cfad于f,由题意得ab=15海里,ac=10海里,bad=75,adb=60,则b=45,所以ae=ab=15海里,因为adb=60,所以dae=30,所以ad=30海里.因为dac=30,ac=10海里,所以cf=ac=5海里,af=15海里,所以df=15海里,又fc=5海里,所以cd=10海里,则cdf=30,所以灯塔c与d相距10海里,c在d南偏东30方向.10.如图,甲船以每小时30n mile的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于a1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的b1处,此时两船相距20 n mile,当甲船航行20分钟到达a2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2处,此时两船相距10 n mile,问乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,连接a1b2,由题意知,a2b2=10 n mile,a1a2=30=10 n mile,所以a1a2=a2b2.又a1a2b2=180-120=60,所以a1a2b2是等边三角形.所以a1b2=a1a2=10 n mile.由题意知a1b1=20 n mile,b1a1b2=105-60=45,在a1b2b1中,由余弦定理得b1=a1+a1-2a1b1a1b2cos 45=202+-22010=200,所以b1b2=10 n mile.因此,乙船速度的大小为60=30(n mile/h).答:乙船每小时航行30 n mile.根据国际海洋安全公约规定:两国军舰正常状况下(联合军演除外)在公海上的安全距离为20 mile(即距离不得小于20 mile),否则违反了国际海洋安全规定.如图,在某公海区域有两条相交成60的直航线xx,yy,交点是o,现有两国的军舰甲,乙分别在ox,oy上的a,b处,起初oa=30 mile,ob=10 mile,后来军舰甲沿xx的方向,乙军舰沿yy的方向,同时以40 mile/h的速度航行.(1)起初两军舰的距离为多少?(2)试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定?并说明理由.【解析】(1)连接ab,在abo中,由余弦定理得ab=10.所以,起初两军舰的距离为10 mile.(2)设t小时后,甲、乙两军舰分别运动到c,d,连接cd,当0时,cd=10,所以经过t小时后,甲、乙两军舰距离cd=10.因为cd=10=10,又t0,所以当t=时,甲、乙两军舰距离最小为20 mile.又2020,所以甲、乙这两艘军舰不会违反国际海洋安全规定.【补偿训练】为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西千米有一条北偏东60方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持
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