2020与名师对话椭圆

1、第六节椭圆 (二)高考概览： 1.能够把直线与椭圆位置关系问题转化为研究方程的解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题； 2.进一步体会数形结合的思想 知识梳理 1点与椭圆的位置关系(1)点0，y0 在椭圆内?x02y02；a2b2P(x)<1(2)点 P(x0，y0)在椭圆上 ?x02y021；a2b2(3)点 P(x0，y0)在椭圆外 ?x02y02>1.a2b22直线与椭圆的位置关系y kxm联立 x2y2得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20，设a2b21，一元二次方程的判别式为，则>0? 有 2 个交点 ? 相交；0? 有一个交点 ? 相切；<0

2、? 无交点 ? 相离3弦长公式设 AB 为椭圆的一条弦， A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的斜率为，则 2 x 1yk|AB|1k |x1 2|1k2|y12|.辨识巧记 1椭圆中的 3 个结论(1) ac 与 ac 分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值2b2(2)椭圆的通径 (过焦点垂直于长轴的弦)长 a ，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值x2y2(3)在椭圆 a2b21 中，以点 M(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜2b x0率 k 2· . 双基自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)过椭圆中心的弦中，长轴最长

3、，短轴最短()b2(2)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为a .()(3)直线1与椭圆 x2y21 总有公共点 ()ykx3以2xy(4)为中点的椭圆 x y21 的弦所在直线的方程为P(2,1)230.()答案 (1)(2)×(3)(4)×222直线 y2x1 与椭圆 x y1 的位置关系是 ()94A 相交 B相切C相离D不确定y2x1得 4x29(2x1)236，即 40x236x27解析 x2y29 410， 3624×40×27>0，故直线与椭圆相交，故选 A.答案 A3(2019 ·洛阳统考 )已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点

4、为 F(15，0)，直线 yx 与椭圆的一个交点的横坐标为 2，则椭圆方程为 ()x222y2A. 16y 1Bx 1612x2y2x2 y2C.205 1D.52012222解析 依题意，设椭圆方程为 x2y21(a>b>0)，则有2222abab1 且 c 15，由此解得 a220，b25，因此所求的椭圆方程是x2y2205 1.故选 C.答案C2y24如图， F(c,0)为椭圆 x221(a>b>0)的右焦点， A，B 为椭圆ab的上、下顶点， P 为直线 AF 与椭圆的交点，则直线PB 的斜率 kPB()cbbcbcA. a2B.a2C. a2D.a222解析

5、x ybx2y2直线 AF 的方程为 cb1，把 y cxb 代入 aba2c21，得 22x22x0，a cc2a2cc2b a2bxPa2c2，yP a2c2 ，c2ba2b22bacbckPB2a2c a2.故选 D.a2c2答案 D325已知斜率为 1 的直线过椭圆 x4 y21 的右焦点交椭圆于 A、 B 两点，则弦 AB 的长为 _2 解析 x y21 的右焦点为 F( 3，0)，故直线方程为 yx 3，4yx 3得 5x28 3x 80， x1设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x24y240838112 x1x224x1x2x25，x1x25，由弦长公式得 |AB|85.答

6、案 85考点一直线与椭圆的位置关系x2y2【例 1】已知直线 l ：y2xm，椭圆 C： 4 2 1.试问当 m取何值时，直线l 与椭圆 C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点联立直线与消去 y得关于 x思路引导 椭圆方程的二次方程利用判断 解 将直 线 l的方程与 椭圆C 的方程联 立， 得方 程组4y2xm，x2y2将代入，整理得9x28mx2m240.4 21，方程根的判别式(8m)24×9×(2m24) 8m2144.(1)当 >0，即 3 2<m<3 2时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解

7、 这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点(2)当 0，即 m±3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解 这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(3)当 <0，即 m<3 2或 m>3 2时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点直线与椭圆位置关系的2 种判断方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点对点训练 x2y2已知对

8、kR，直线 ykx10 与椭圆 5 m1 恒有公共点，5求实数 m 的取值范围 解kR，ykx10，即直线 ykx1 恒过定点 (0,1)，x2y2若直线与椭圆 5 m1 恒有公共点，则 (0,1)在椭圆内或椭圆上，m1，且 m 5.考点二弦长问题【例 2】(2018 ·云南昆明一中月考 )已知中心在原点O，焦点在2x 轴上的椭圆 E 过点 C(0,1)，离心率为2 .(1)求椭圆 E 的方程；(2)直线 l 过椭圆 E 的左焦点 F，且与椭圆 E 交于 A，B 两点，若2OAB 的面积为 3，求直线 l 的方程设直线 l的方程并思路引导待定系数法求方程与椭圆方程联立利用根与系数的关

9、系及弦解方程得出结果长公式表示OAB的面积22 解 (1)设椭圆 E 的方程为 x2y21(a>b>0)，abb1，c222由已知得a2 ，解得 a 2，b 1，a2b2c2，x22所以椭圆E 的方程为 2 y1.(2)由已知，直线 l 过左焦点 F(1,0)当直线 l 与 x 轴垂直时， A 1，2，B 1，2，226此时2，则1×2×12，不满足条件|AB|S OAB22当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)yk x1 ，得 (12k2)x24k2x 2k220，由 x22 y214k22k22

10、所以 x1x2 12k2，x1x212k2.11因为 SOAB2|OF| |y·1y2|2|y1y2|.24由已知 SOAB3得|y1y2|3.4k2因为 y1y2k(x11)k(x2 1)k(x1x2)2kk·22k12k2k，12k2k2y1y2k(x11) ·k(x21)k2(x1x2x1x21)12k2，所以 |y1y2|y1y2 24y1y24k24k242 223，12k12k所以 k4k22 0，解得 k±1，所以直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.7(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1， y1)，B(x2，y2)，则 |AB|1

11、k2 x1x2 24x1x2 1 1 y y 24y y (k 为直线斜率 )k2121 2(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式对点训练 x2y2(2019 ·北京海淀区期末 )已知椭圆 C：3mm1，直线 l：xy20 与椭圆 C 相交于两点 P，Q，与 x 轴交于点 B，求 P，Q 与点B 不重合(1)求椭圆 C 的离心率；(2)当OPQ2 时，求椭圆 C 的方程Sc226 解(1)a23m，b2m，c22m，e2a23，故 e 3 .(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 x y20 代入椭圆 C 的方程并整理得 4x212

12、x123m 0，依题意，由(12)24×4×(12x1x23，3m)>0 得 m>1.且有123mx1x24，|PQ|1k2|x1x2| 2· 9 123m 6m 1，原点到直线l的距离d，所以 1·1× 6· m12SOPQ2|PQ| d 2×22，87x23y2解得 m3>1，故椭圆方程为7 7 1.考点三中点弦问题22【例 3】 (1)已知椭圆 E：x2y2 1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，ab过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为 (1， 1)，则E的方程

13、为()x2y2x2y2A. 45361B.36271x2y2x2y2C.27181D.189 12(2)(2018 新·乡模拟 )已知椭圆x y21，则斜率为 2 的平行弦中2点的轨迹方程为 _思路引导 设出弦的两代入椭圆方程，端点坐标两式作差 求出直线的斜率 得出结果x12y12a b 1，22解析 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得x22y22a2b21，x12 x22y12y22两式相减得a2 b20，x1x2y1y2 y1y2a2·20.x1x2 b101x1x2 2，y1y2 2，kAB 13 2， 2 2 × 2 0，即 a2

14、2b2. a 2 b219又 c3 a2b2，a218，b29.x2y2椭圆E 的方程为189 1.故选 D.(2)设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x12x22中点为 M(x，y)，则有2 y121， 2 y221.x2x1 x2x1(y2y1)(y2y1)0.两式作差，得2y2y1x1x2 2x，y1y22y，kAB，x2x1x代入后求得 kAB 2y.x由题意得 2 2y，x4y0.又点 M(x，y)在椭圆内部，44故所求的轨迹方程为x4y0 3<x<3 .44 答案 (1)D(2)x4y0 3<x<3弦及弦中点问题的类型及解决策略10对点训练

15、·合肥质检已知椭圆221(2019：x y 1，直线 l 交椭圆于 A，)E42B 两点，若 AB 的中点坐标为1， 1 ，则 l 的方程为 ()25A 2xy0Bx2y20C 0D4y902xy2x2x12y12x22y22解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则4 21，4 21，两式作差并化简整理得y1y21 x1x2 ·，而 x1x21，y1y2 2，x1x22 y1y2y1y2的方程为 1 x1，即9故选所以1，直线lx0.x1 x24y1424y2D.答案 D·沧州二模过点22(2018作斜率为 1的直线与椭圆 C：x2)M(1,1)2ay2b

16、21(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于 _11x12 y12 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 a2b21，x22y22a2b 12、两式相减并整理得y1y2b2 x1x22·.x1x2a y1y21 b2 2把已知条件代入上式得， 2 a2×2，b2 1b22a22，故椭圆的离心率 e1a22 .答案 22考点四直线与椭圆的综合问题x2y2【例 4】(2019 ·河南郑州联考 )已知椭圆C：a2b21(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2 为直径的

17、圆与直线 ax2by 3 ab0 相切(1)求椭圆 C 的离心率；(2)如图，过 F1 作直线 l 与椭圆分别交于两点P，Q，若 PQF2的周长为，求 的最大值4 2F2P·F2Q12|3ab| 解(1)由题意，得c，a24b23a2b2c2(a24b2)，化简得 (a22b2)(a22b2)0.2222b2 1，e1b22.a 2b ， a2a 2(2)PQF2 的周长为 4 2，4a42，a2，b21.x2椭圆C 的方程为2 y21，且焦点 F1(1,0)，F2(1,0)若直线 l 的斜率不存在，则l 的方程为 x 1.，x 1，x 1，x1解方程组 x22得2或22 y 1，y

18、 2y 2 .13设P1，2，Q 1，2，2222，2，则 F2P 2，2，F2Q2 7F2P·F2Q2.若直线 l 的斜率存在，设直线l 的方程为 yk(x1)yk x1 ，由x2消去 y 并整理，得2 y21(2k21)x24k2x2k220.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，22k22则 x1x2 4k，x1x22k2.2k211F2P·F2Q(x11，y1) ·(x21，y2) (x11)(x21)y1y2 (k21)x1x2(k21)(x1x2)k212k224k2k21 (k21)(k21)22k212k 127 9 2k2122 2k21 .7

19、k127k >0，1<F2P·F2Q<2. 7综上， 1<F2P·F2Q2. 7F2P·F2Q的最大值是2.14求解有关直线与椭圆综合问题的3 个关键点一是公式意识， 即会利用三角形的面积公式，把所求的三角形的面积转化为求距离、求角的问题；二是方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；三是不等式意识，需认真审题，寻找关于参数的不等式对点训练 x2(2019 ·东北三省四市一模 )在平面直角坐标系中，椭圆C：a223y21(a>b>0)的离心率为1，点 M 1，在椭圆 C 上2b2(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 P

20、(2,0)与 Q(2,0)，过点 (1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B两点，求四边形APBQ 面积的最大值c1，a2c，解 (1) a2b2c2a2，b23c2，22则椭圆 C 的方程为 x 2 y 21，4c3c313将 1，2 代入椭圆 C 的方程得4c24c21，c21，x2y2椭圆C 的方程为 4 3 1.(2)易知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 xmy1，联立x2y24 31，方程，得x my1，消去 x 得(3m24)y26my90，15设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y26m，y1y29，3m243m24|AB| 22212 1m21my

21、1y2 4y1y21m3m2412 1m2.3m24点 P(2,0)到直线 l 的距离为3，1m2点 Q(2,0)到直线 l 的距离为1，1m2从而四边形 APBQ 的面积S112 1m242 ×3m24×1m2241m23m2，4令 t 1m2，t1，24t241则 S3t213t1，设函数 f(t)3t t (t1)， t1则 f(t)3t2>0，f(t)在1， )上单调递增， 14，故 S24 6，当且仅当 t1 时取等号，3tt13t t当t1，即 m0 时，四边形 APBQ 面积的最大值为6.课后跟踪训练 (五十五 )基础巩固练16一、选择题x2y21直线

22、yx2 与椭圆 m 3 1 有两个公共点，则 m 的取值范围是()A (1， )B(1,3) (3， )C(3， )D(0,3) (3， )22 解析 把 yx2 代入 xmy3 1，得 (3m)x24mxm0.由16m24m(3m)>0，得 m<0 或 m>1.因为 m>0 且 m3，所以 m 范围为 (1,3)(3， )故选 B.答案B2(2019 ·安徽江南十校模拟 )已知椭圆 G 的中心为坐标原点O，点 F，B 分别为椭圆 G 的右焦点和短轴端点点O 到直线 BF 的距离为3，过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆 G 的方程是 ()x2y2y2x2

23、A. 42 1B.42 1x2y2y2x2C.16 41D.16 4 1x2y2bc2b2解析 设椭圆方程为 a2b21(a>b>0)，由已知可得 a 3，a2 及 a2b2c2，知 a4，b2，故选 C.答案 Cx2y23(2019 ·广西南宁联考 )已知椭圆 a2b21(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是 ()A.1B.2C.3D.5222522解析 设直线 xy50 与椭圆 x2y21 相交于 A(x1，y1)，abB(x2，y2)两点，因为 AB 的中点坐标是 M(4,1)，所以 x1x2 8，

24、17y2y1y1y22.易知直线 AB 的斜率 k1.x2x1x12y12a2b21，x1x2 x1x2y1y2 y1y2由 x22y22两式相减得，a2b2a2b21，y1y2b2 x1x2b21c0，所以·，所以2 ，于是椭圆的离心率 e x1x2a2ay1y2a 4b231a2 2 .故选 C.答案 Cx2y24(2019 ·昆明市高三质检 )已知 F是椭圆E：a2b21(a>b>0)的左焦点，经过原点O 的直线 l 与椭圆 E 交于 P，Q 两点，若 |PF|2|QF|，且 PFQ120°，则椭圆 E 的离心率为 ()1132A. 3B. 2C

25、. 3D. 2解析 设 F1 是椭圆 E 的右焦点，如图，连接 PF1，QF1.根据对称性，线段 FF1 与线段 PQ 在点 O 处互相平分，所以四边形 PFQF1 是平行四边形， |FQ|PF1|，FPF1180°PFQ60°，根据椭圆的定义，得 |PF|PF1|2a，又 |PF|2|QF|，24所以 |PF1|3a，|PF|3a，而 |F1F|2c，在F1PF 中，由余弦定理，得182(2c)2 23a 2 43a 22×23a×43a×cos60 °，解得 ca213，所以椭圆 c 3E 的离心率 ea 3 .故选 C.答案C5

26、(2019 ·云南曲靖联考 )如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上， A1，A2，B1，B2 为椭圆的顶点， F2 为右焦点，延长 B1F2 与A2B2 交于点 P，若 B1PB2 为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.521B.52，202C.， 51D.51，1022解析 设 B1(0，b)，B2(0，b)，F2(c,0)，A2(a,0)，则B2A2(a，(c， b)因为B1PB2 为钝角，所以b)，F2B1F2B1与B2A2的夹222角为锐角，所以 B2A2·F2B1 acb >0，即 a c ac>0.两边同时除以 a2 并化简得 e2e 1

27、<0，解得 5151.又 0<e<1，所以2<e<2510<e<2.故选 C.答案 C二、填空题6椭圆两顶点 A(1,0)，B(1,0)，过焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C，D 两点当 |CD|3时，直线的方程为22l_y2x2解析 设椭圆的方程为 a2b21(a>b>0)，则 b21，c21，所192以 a2b2c22，故椭圆方程为 y2 x21.设直线 l 的方程为 ykx1，代入椭圆方程并整理得(k22)x22kx10.由 |CD|34k22 249，2，得 (1k2) · 222k 2k2解得 k22，k

28、77; 2.所以直线 l 的方程为 y± 2x1，即2xy10 或2xy10.答案 2xy10 或 2xy107若椭圆 x22y 1 的弦被点 (4,2)平分，则这条弦所在的直线方369程为 _解析 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k.1 y21设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 36 9 1，x2x22y22369 1，得x1x2 x1x2y1y2 y1y20，369x1x2 8，y1y24，2 x1x24 y1y20，99y1y21k2.x1x21所求直线方程为 y22(x4)，即 x2y80.20 答案 x2y808(2018 ·广东广州模拟 )已知中

29、点在坐标原点的椭圆C 的右焦点1为 F(1,0)，点 F 关于直线 y2x 的对称点在椭圆 C 上，则椭圆 C 的方程为x2y2解析 设椭圆方程为 a2b21(a>b>0)，由题意可知 c1，即221n0ab 1，设点 F(1,0)关于直线 y2x 的对称点为 (m，n)，可得m1m1n ，且中点在 2.又因为点 F 与其对称点的中点坐标为2 ，231n 1m1m5，直线 y2x上，所以有 22×2 ，联立， 解得4即n5，34916对称点为 5，5 ，代入椭圆方程可得 25a225b21，联立，解2 2得 a295，b245，所以椭圆方程为 5x9 5y4 1.5x25

30、y2答案 941.三、解答题2) 在椭圆 C： x229 (2018 ·石家庄月考 )已知点 M(6，2 y2ab61(a>b>0)上，且椭圆的离心率为3 .(1)求椭圆 C 的方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)，求 PAB 的面积2162221，ab 解(1)由已知得c6a 3，a2b2c2，a212，解得b24.x2y2故椭圆 C 的方程为 12 4 1.(2)设直线 l 的方程为 yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 D(x0，y0)yxm，消去 y，整理得 4x26mx3m2120，由 x2y241，12由36m216(3m212)>0 得 m2<16，x1x23则 x024m，1y0x0m4m，3 1即 D 4m，4m ，因为 AB 是等腰三角形 PAB 的底边，所以 PDAB，m2 4即 PD 的斜率 k3m 1，3 4解得 m2，满足 m2<16.22此时 x1x2 3，x1x20，则 |AB| 2|x1x2|2· x1x224x1x232，又点 P 到直线 l ：xy20 的距离为 d32，19所以PAB 的面积为S2|AB|