多元函数微分学17804

1、第二章第二章 多元函数微分学多元函数微分学第一部分主要内容第一部分主要内容第二部分典型例题第二部分典型例题多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念第一部分第一部分 主要内容主要内容一、偏导数和全微分一、偏导数和全微分二、偏导数的应用二、偏导数的应用一一、偏导数和全微分偏导数和全微分000

2、(,)0( ,)xyxzdf x yxdx000(,)0(, )xyyzdf xyydy(一一)偏导数的定义偏导数的定义( , )zf x y ( (二二) )高阶偏导数高阶偏导数22( , ),xxzzfx yxxx22( , ),yyzzfx yyyy2( , ),xyzzfx yyxx y 2( , ).yxzzfx yxyy x 混合偏导数混合偏导数函数函数的二阶偏导数为的二阶偏导数为( , )zf x y ( (三三) )全微分的公式全微分的公式.zzdzdxdyxy如果函数如果函数( , )zf x y可微可微, ,则它的偏导数一定存在则它的偏导数一定存在, ,且且( (四四) )

3、多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导( (五五) )复合函数求导法则复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz函数函数在对应点在对应点具有连续偏导数具有连续偏导数, ,则则复合函数复合函数在点在点t t可导可导, ,且且 定理定理1 1如果函数如果函数及及都在都在t t点可导点可导, ,( )uu t ( )vv t ( , )zf u v ( , )u v ( ), ( )zf u t v t .dzz duz dvdtu dtv dt 如果如果都在点都在点对对和和的偏导数，且

4、函数的偏导数，且函数在对应点在对应点具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数在点在点的两个偏导数都存在的两个偏导数都存在, ,且且 定理定理2 2( , ),( , )ux y vx y( , )x y具有具有xy( , )zf u v ( , )u v ( , ),( , )zfx yx y ( , )x y,zzuzvxu xvx .zzuzvyu yvy zuvxy分线相加分线相加, ,连线相乘连线相乘( , )0f x y ( (六六) )隐函数的求导法则隐函数的求导法则则方程则方程确定一个具有连续的确定一个具有连续的( )yf x.xydyfdxf ( , )f x y定

5、理定理3 3设设在在00(,)xy的某邻域中有连续的偏导的某邻域中有连续的偏导数数,且且0000(,)0,(,)0.yfxyf xy在在点点00(,)xy的某个邻域内总能惟一的某个邻域内总能惟一导数的隐函数导数的隐函数它满足条件它满足条件00(),yf x 且且,.yxzzfzfzxfyf 由方程由方程( , , )0f x y z 确定的隐函数确定的隐函数( , )zf x y与定理与定理3 3类似类似, ,在在( , , )f x y z满足相应条件的情况下满足相应条件的情况下,对于对于有有( (一一)微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为000000.( )( )(

6、 )xxyyzzttt法平面方程为法平面方程为000000( )()( )()( )()0.txxtyytzz1 1空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面:( ),( ),( ).xtytzt 二二、偏导数的应用偏导数的应用其上一点其上一点空间曲线空间曲线0000(,)p xy z. .曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线. 0),(: zyxf 点的切平面方程为点的切平面方程为000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzfxy zxxfxy zyyf xy zzz法线方程为法线方程为000000000000.(,)(,)(,)xyzxxyyzzfxy zfxy zf

7、 xy z在其上在其上0000(,)p xy z曲面曲面的的( (二二) )方向导数和梯度的公式方向导数和梯度的公式设函数设函数( , , )f x y z在点在点( , , )p x y z可微可微, ,方向余弦为方向余弦为l方向方向cos ,cos,cos ,则函数则函数( , , )f x y z在点在点( , , )p x y z沿方向沿方向l的方向导数为的方向导数为coscoscos .fffflxyz梯度的计算公式梯度的计算公式 设函数设函数在空间区域在空间区域内具有内具有一阶连续偏导数，则函数在点一阶连续偏导数，则函数在点 ( , , )uf x y zg0000(,)p xy

8、zg的梯度为的梯度为 grad 000000000000000000000(,)(,)(,)(,)(,),(,),(,)xyzxyzf xy zfxy z ifxy zjfxy z kfxy zfxy zfxy z 函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系 的方向一致的方向一致, ,而它的模为方而它的模为方向导数的最大值向导数的最大值.( (三三) )多元函数极值多元函数极值定义所有一阶偏导数都为零的点，称它为该函数的驻定义所有一阶偏导数都为零的点，称它为该函数的驻点点. .极值点极值点注意注意驻点驻点 定理定理1

9、 1 （必要条件）（必要条件）设函数设函数在点在点具有偏导数，且在点具有偏导数，且在点处取得极值，则它在该点的偏导数必然为零处取得极值，则它在该点的偏导数必然为零, ,( , )zf x y 00(,)xy00(,)xy0000(,)0,(,)0.xyfxyfxy1.1.无条件极值无条件极值即即定理定理2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数在点在点的某邻域内连续，且有一阶的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又及二阶连续偏导数，又则则在点在点处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）时有极值，时有极值， 当当时有极大值，时有极大值， 当当时有极小值；时有极小值；（2

10、 2）时没有极值；时没有极值；（3 3）时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值也可能没有极值. . .( , )zf x y 00(,)xy 令令0000(,)(,)0 xyfxyfxy000000(,),(,),(,).xxxyyyfxya fxyb fxyc( , )f x y00(,)xy20bac 0a 0a 20bac 20bac , 0),( yxfx0),( yxfy求函数求函数极值的一般步骤：极值的一般步骤：( , )zf x y (1)(1)解方程组解方程组 求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点. . (2)(2)对于每一个驻点对于每一个驻点求出二阶偏导数的值求出二阶偏

11、导数的值00(,),xy,.a b c (3)(3)根据根据的符号，判定是否取得极值的符号，判定是否取得极值. .2bac 2.条件极值：对自变量有附加条件的极值条件极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要求函数要求函数在条件在条件下的可能下的可能极值点，极值点， 先构造函数先构造函数其中其中为某一常数，可由为某一常数，可由 解出解出其中其中就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. .( , )zf x y ( , )0 x y ( , )( , )( , ),l x yf x yx y ( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxyylfx yx

12、 yxlfx yx yyx y , , ,x y ( , )x y二、典型例题二、典型例题例例1 1函数函数2224ln(1)xyzxy 的定义域是的定义域是a22.( , ) 01,4x yxyxyb22.( , )1,4x y xyxyc22.( , ) 01,4x yxyxyd.22( , ) 01,4x yxyxy答案答案:(1)(1)分母不能为零分母不能为零;(2);(2)负负数不能开偶次方数不能开偶次方;(3);(3)零零和负数没有对数和负数没有对数;(4);(4)其其它它a例例2 2 设函数设函数2sin2 ,zxy 求求222,.zzzxxx y 解解2 sin2zxyx 22

13、()2sin2zzyxxx(x看成自变量看成自变量,y看成常量看成常量)2()4 cos2 .zzxyx yyx 测试点测试点:偏导数偏导数,高阶偏导数的求法高阶偏导数的求法.例例3 3设设22(),( )zf xyf u为可微函数为可微函数. .则则zy .解解22( )2().zufuyfxyyy 测试点测试点: 复合函数求导法复合函数求导法.zuxy例例4 4设设sin,cos ,.tzuvw ue vt wt求全导数求全导数.dzdt解解dzz duz dvz dwdtu dtv dtw dt( sin )costveutwcossincosttetett测试点测试点 复合函数求导的链

14、式法则复合函数求导的链式法则.zuvwt例例5 5设设( , )zz x y 是由方程是由方程2222xyzxyz所确定的隐函数所确定的隐函数. .求求( , )zz x y 的全微分的全微分. .解解 令令222( , , )2f x y zxyzxyz222,xxfyzxyz222yyfxzxyz故故222222.xzyzxyzxfzxfxyxyzz zzdzdxdyxyxzfzxf 222zzfxyxyz在点在点(1,0, 1) 所以所以( , )zz x y 的全微分为的全微分为zzdzdxdyxy222222222222yzxyzxxzxyzydxdyxyxyzzxyxyzz 222

15、222.yzfxzxyzyzyfxyxyzz (1,0, 1)(1,0, 1)(1,0, 1)2.zzdzdxdydxdyxy故故测试点测试点(1)隐函数求偏导数的方法隐函数求偏导数的方法;(2)全微分的求法全微分的求法;(3)函数在一点的全微分的求法函数在一点的全微分的求法.例例6求函数求函数22( , )(2 )xf x yexyy的极值的极值.解解令令22222(2 )0(22)0 xxxfexyyexzeyy 得驻点得驻点1( , 1).2 11( , 1)20,( , 1)022xxxyafebf1( , 1)2 .2yycfe 故故2240bace 所以函数所以函数( , )f x

16、 y在点在点1( , 1)2 取得极小值取得极小值1( , 1).22ef 测试点测试点:求极值的方法求极值的方法:(1)求驻点求驻点;(2)求驻点处的判别式的值求驻点处的判别式的值;(3)判定驻点是否为极值点判定驻点是否为极值点,并判断是极大值点并判断是极大值点,还还是极小值点是极小值点.并求出极值并求出极值.例例7 7 已知曲面已知曲面224zxy上点上点0p处的切平面处的切平面2210,xyz平行于平面平行于平面求求0p点的坐标点的坐标.解解设设0p点的坐标为点的坐标为000(,).xy z令令22( , , )4f x y zxyz曲面方程为曲面方程为( , , )0f x y z 2

17、 ,2 ,1.fffxyxyz故故, ,曲面在曲面在0p处切平面的法向量处切平面的法向量002,2,1nxy 0,xyzpnff f 为使切平面平行于平面为使切平面平行于平面2210 xyz必须且只需必须且只需00221,221xy得得001,1xy,代入曲面方程代入曲面方程02.z 224zxy得得于是于是0p点的坐标为点的坐标为(1,1,2).测试点测试点:求曲面上一点求曲面上一点0p处的切平面的方法处的切平面的方法.要搞清那个曲面要搞清那个曲面, ,其方程是怎样的其方程是怎样的? ?那个点那个点? ?切平面的法向量切平面的法向量?n 再应用点法式方程再应用点法式方程写出切平面的方程写出切

18、平面的方程,也可写出法线方程也可写出法线方程.例例8 8 求空间曲线求空间曲线23,1,xtyt zt在点在点0(1,0,1)p处的切线方程和法平面方程处的切线方程和法平面方程.解解0(1,0,1)p点对应于点对应于1t 故切线的方向向量故切线的方向向量212 , 1,32, 1,3tvtt 所以所求切线方程为所以所求切线方程为11.213xyz 所求法平面方程为所求法平面方程为2(1)3(1)0 xyz测试点测试点:求空间曲线的切线和法平面方程的方法求空间曲线的切线和法平面方程的方法.( ),( ),( )vx ty tz t 例例9 9解解所以问题可化为求所以问题可化为求的最短距离的最短距离上的点到平面上的点到平面求旋转抛物面求旋转抛物面22zxy22xyz22zxy设抛物面上任意点为设抛物面上任意点为( , , ).p x y z则它则它22xyz的距离为的距离为2222222,611( 2)xyzxyzd 且它满足曲面方程且它满足曲面方程221(22)6dxyz在条件在条件22()0zxy下的条件极值问题下的条件极值问题.到平面到平面000222axbyczddabc 221(22)20,(1)31(22)20,(2)31(22)( 2)0,(3)3()0,(4)xyzlxyzxlxyzylxyzzxy 得得令令2221( , , )(22)()