有理数教材分析

1、西城区教育研修学院七年级数学研修活动材料第一章 有理数 教材分析 北京三中 裴东燕 2015.9.17一、本章内容的地位和作用数及其运算是中小学数学课程的核心内容。前两个学段已经安排了自然数、正分数及其运算，还要求“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量”。本章作为第三学段教科书的开篇，是在前两个学段的学习基础上，借助生活实例引入负数，通过添加负数这一类“新数”，使数的范围扩张到有理数系，再利用学生的日常生活经验、数轴的几何直观等，通过具体实例的归纳，将正数和负数之间的运算归结到正数之间的运算，进而定义有理数的运算，得出运算法则，并运用有理数的运算解决简单的问题。本

2、章是中学数学学习最重要的基础内容，是学生继续学习代数式、方程与不等式、函数等数学内容及其他相关学科的基础. 二、本章重点、难点重点：有理数的运算. 初中代数中运算贯穿始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用、综合运算的能力及选择简捷合理的运算途径上，这要求学生要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧. 有理数的运算是初等数学的基本运算，掌握有理数的运算是学好后续内容的重要前提.难点：对有理数运算法则的理解，特别是对有理数乘法法则的理解. 学生能够理解算理，能熟练地运用法则进行运算，并运用有理数运算解决相关的问题.三、本章教学目标 课程标准 单元目标1、 理解

3、有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数大小.2、 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义（这里a表示有理数）.3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）.4、理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算5、能运用有理数的运算解决简单的问题.（1） 能将有理数进行分类.（2） 能执行有数轴上的点表示有理数.（3） 能执行比较两个有理数的大小方法.（4） 能解释相反数绝对值的意义，能执行求一个数的相反数的方法.（5） 能说出|a|的含义.（6） 能解释乘方的意义（7） 能执行有理数的运算律简化运

4、算；能执行有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.(8) 能执行有理数的运算解决简单的问题.四、课时安排 教参建议本章教学时间约19课时(实际大约22课时)： 1.1 正数和负数 2课时 （1课时）1.2 有理数 4课时 （56课时）1.3 有理数的加减法 4课时 （46课时）1.4 有理数的乘除法 4课时 （4课时）1.5 有理数的乘方 3课时 （4课时）数学活动小结 2课时 （3课时）五、本章知识结构图正数和负数有理数数轴数与点的对应相反数绝对值有理数比大小加法转化加法法则加法运算律减法减法法则加减混合 运算乘法转化乘法法则运算律除法法除法法则乘除混合 运算乘方乘方运算 、混合运算科

5、学记数法近似数六、有理数在中考中的要求考试内容考试要求ABC有理数理解有理数的意义能比较有理数的大小数轴了解实数与数轴上的点一一对应能用数轴上的点表示有理数相反数和绝对值借助数轴理解相反数和绝对值的意义；了解|a|的含义能求实数的相反数与绝对值有理数的运算理解有理数的运算律；理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）运用运算律简化运算；运用有理数的运算解决简单问题近似数和科学记数法会用科学记数法表示数；了解近似数；会按实际问题的要求对结果取近似值七、对教学的几点建议1.从学生的认知能力和基础出发，仔细研究教材和学探诊，把握好教学难度，做好与前两个学段的衔接

6、.2注重概念教学，加强学生对概念的理解，结合相反数、绝对值的概念，及运算律，帮助学生逐步熟悉数学符号语言的表达，注重训练学生的文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化.3. 不赶课时，夯实基础,充分估计到有理数运算的教学难度，落实基本运算技能. 4. 培养学生良好的学习习惯，如阅读习惯、书写习惯、书面表达习惯和口头表达习惯等等。5培养学生自己分析运算流程中的算理，设计运算流程，并规范书写运算过程的能力，最终达到学生运算能力的提升。.6. 重视学生自己的纠错环节，培养学生析错，避错的能力.7注意培养学生运用数形结合思想、分类讨论思想、转化思想解决问题的意识，为今后的学习做好铺垫.8. 加强思维

7、习惯的培养，逐步培养学生用数学的思想和方法来思考问题解决问题的习惯.9根据学生的特点可以适当的进行思维拓宽。八、相关练习(一) 概念A组：1有没有最小的正整数？有没有最大的负整数？有没有最小的整数？有没有最小的正数？有没有最大的负数？有没有最小的有理数？有没有绝对值最小的有理数？2一个数的相反数等于它本身，这个数是 ；一个数的绝对值等于它本身，这个数是 ；一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是 ；一个数的倒数等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等于它的绝对值，这个数是 ； 一个数的平方等于它的相反数，这个数是 ；一个数的立方等于它本身，这个数是 .3有理数a

8、等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则等于 .4. -a的相反数是2，则a= ；若3m+7与-10互为相反数，则m= ；-m+1的相反数是 .5已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，e<0且，那么的值为 .6.在数轴上，若点M，N表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6，则这两个点表示的数为 .7若19a+98b=0，则ab是（ ）A正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数8若，则 .9如图，是一数值转换机，若输入a的值为-1，b的值为-2，则最后输出的结果为_. 10下列各组数中，结果一定相等的为（ ）A与 B. 与 C. 与 D. 与11. 若，则有理数a在数轴上的对应

9、点一定在（ ）. A. 原点左侧 B.原点或原点左侧 C. 原点右侧 D. 原点或原点左侧12有理数32，(3)2，|33|，按从小到大的顺序排列是（ ）A32(3)2|33| B|33|32(3)2C32(3)2|33| D32|33|(3)213. 有理数a, b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）ba0j b<0<a; k |b| < |a|; lab0; mabab.Ajk Bjm Ckl Dlm14. A、B两地相距6987000m，用科学记数法表示为 km；近似数2.30精确到 位；用四舍五入法将1.7845取近似数并精确到0.001，得到的值是

10、15绝对值大于1.7而不大于4的整数有 .16. 数轴上表示数-5和表示数-14的两点之间的距离是_.2B组17a为有理数，下列说法正确的是（ ）A为正数 B. +的值不小于 C. 为负数 D. 为正数18式子的最大值是 ，当它取最大值时，a与b的关系是 .19(1)设a<0，b>0，且，用“<”号把a、-a、b、-b连接起来为 .(2)设a<0，b>0，且a+b<0，用“<”号把a、-a、b、-b连接起来为 .(3)设ab<0，a+b<0，且a<0，用“<”号把a、-a、b、-b连接起来为 .20已知a<0，b<0

11、, c>0, , ，用“<”号把连接起来为 .21.设a、b、c为非零有理数，.化简：.22a、b、c、d是互不相等的有理数，且，则= .23代数式的最小值为 ，此时x= .24代数式的最小值为 . 25在数轴上表示数a的点到原点的距离为3，则a-3= .26在数轴上，若点P表示-2，则距P点5个单位长的点表示的数是 .27已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，则所有满足条件的点B与原点O的距离的和为 .28(1)已知：，且xy<0，则x -y= .(2)已知：，且x<y，则x -y= .(3)已知：，且，则x -y= .(4)已知：，则

12、x -y= .29比较和的大小关系；和的大小关系；和的大小关系.(二) 运算30计算下列各题A 级 (1). (2). (3). (4) . (5). 25×0.5(-50)¸425×(-3) . (6) . (7). (8). (9). (10). B级(11). （12）. (13). (14).(15) (16) (17). (18). (19). (20). (21). (22). (23). (24). (25). (26). (27).(28). C级(29).(30).(31).(32).(33).已知，求的值.(34) . (35). 已知：, 求

13、abc的值.（三）数学思想方法31（1）若x的相反数是3，y5，则x+y的值为( )A 8B 2C 8或2D 8或2（2）. 若，且，则m+n= 32. a、b在数轴上的位置如图，化简|a|a+b|+|b-a| a 0 b33. 数轴上，若点A表示的数为4，点B与 点 A 关于原点对称，点C与点B距离为2则点C表示的有理数为 .34数、在数轴上对应的位置如下图，化简的结果是（ ）A B C D MNPRabx35如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（ ）A或 B或C或 D或 (四) 探索规律36.找规律,并按规律填

14、上第五个数: .37在一列数：，中，第n个数（n为正整数）是 .38. 一组按规律排列的式子：，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （n为正整数）39古希腊数学家把数1、3、6、10、15、21、叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 .40下面是一个三角形数阵： 1 2 4 23 6 9 6 3 4 8 12 16 12 8 4 根据该数阵的规律，猜想第10行所有数的和是 .41观察右图寻找规律，在“？”处填上的数字是 .42阳阳和明明玩上楼游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级、，逐步增加时，楼梯的上法数依次

15、为1、2、3、5、8、13、21、（这就是著名的斐波那契数列），请你仔细观察这列数的规律后回答：上10级台阶共有 种上法.43观察下面三行数，2, -4， 8， -16， 32， -64， -2， -8， 4， -20， 28， -68， -1， 2， -4， 8， -16， 32，(1) 第行第10个数是多少？(2) 第行数与第行数分别有什么关系？(3) 取每行第10个数，计算这三个数的和.44将正整数1，2，3，4，5，按以下方式排放： 1 4 5 8 9 12 2 3 6 7 10 11则根据排放规律，从2002到2004的箭头依次为（ ）A. B. C. D.45. 是不为1的有理数，

16、我们把称为的差倒数。如：2的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差的倒数，依此类推，的差倒数= .47题图46. 按照下图所示的运算程序，如果开始输入的x的值是4，我们发现第一次得到的结果是2，第二次得到的结果是1， ，请你探索：第7次得到的结果是 ；第2013次得到的结果是 47利用计算器探索： ； ； ； ；由此你可以猜出 .48用计算器探索： ； ；= ；由此你可以猜想出类似的等式 .49小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入12345输出那么，当输入数据是8时，输出的数据是 ；当输入数据是n（n是正整数）时，输出的数据是 .50观察下列等式：

17、9 - 1 = 8 16 - 4 = 12 25 - 9 = 16 36 -16 = 20 这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为 .51. 观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+ + 8n (n是正整数)的结果为（ ）A. B. C. D. 52. 已知一个等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）n=3n=5n=4当n = 8时，共向外作出了 个小等边三角形；当n = k时，共向外作出了 个小等边三角形（用含k的式子表示）53用同样大小的黑、白两种颜色的棋子

18、摆设如图所示的正方形图案则第4个图案中白色棋子_枚，第n(n是正整数）个图案中白色棋子枚（用含有n的代数式表示）54. 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为第2层第1层第n层图图2图3图4如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和(五) 阅读理解55某股民在上周五

19、买进某种股票500股，每股60元，下表是本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）.星期一二三四五每股涨跌(元)+4+4.5-1-2.5-6根据上表回答问题(1) 星期三收盘时，该股票每股多少元?(2) 本周内该股票最高价是每股多少元？最低价是多少元? (3) 已知买进股票时付了1.5的手续费，卖出时需付成交额1.5的手续费和1的交易费，若在本周五收盘前将全部股票一次性卖出，他的收益情况如何?56在篮球比赛中，往往要比较两个球队队员的平均身高，平均身高高的球队实力相对好一些. 下面给出一个球队队员的身高（单位：厘米）：190，195，200，202，210，221，197，190，200，198.

20、计算这支球队的平均身高.57.首届中国国际魔术邀请赛、魔术论坛2012年11月30日至12月2日在北京昌平区体育馆举办.刘谦的魔术表演风靡全世界. 很多同学非常感兴趣，也学起了魔术.请看刘凯同学把任意有理数对（x，y）放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数. 例如把(3，2)放入其中，就会得到现将有理数对（4，5）放入其中，得到的有理数是 . 若将正整数对放入其中，得到的值都为5，则满足条件的所有的正整数对（x，y）为 . 58. 阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如果现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+

21、1|+|x2|时，可令x+1=0和x2=0，分别求得x=1，x=2（称1，2分别为|x+1|与|x2|的零点值）在实数范围内，零点值x=1和，x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）x1；（2）1x2；（3）x2从而化简代数式|x+1|+|x2|可分以下3种情况：（1）当x1时，原式=（x+1）（x2）=2x+1；（2）当1x2时，原式=x+1（x2）=3；（3）当x2时，原式=x+1+x2=2x1综上讨论，原式通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x+2|和|x4|的零点值；（2）化简代数式|x+2|+|x4|（3）求的最大值O(A)B0图159.下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为.当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，OAB0图2当A、B两点都不在原点时，(1) 如图2，点A、B都在原点的右边，(2) 如图3，点A、B都在原点的左边，OAB0图3 (3) 如图4，点A、B在原点的两边， OAB0图4综上，数轴上A、B两点的距离回答下列问题：(1) 数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5两点之间的距离是 ，数轴上表示-1和3两点之间的距离是 .(2) 数轴上表示和-1的两点A、B之间的距离是 ，如果，那么为 .(3) 当代数式取最小值时，相应的x的取