随机前沿生产函数讲义ppt课件

1、随机前沿消费函数随机前沿消费函数一、引言一、引言 消费率和效率的度量涉及到消费函数。消费率和效率的度量涉及到消费函数。DEA方法的特点是将有效的消费单位衔接起来，用分段超平面的组合也就是消费前沿面来紧紧包络全部观测点，是一种确定性方法的特点是将有效的消费单位衔接起来，用分段超平面的组合也就是消费前沿面来紧紧包络全部观测点，是一种确定性前沿方法，没有思索随机要素对消费率和效率的影响。随机前沿消费函数那么处置了这个问题。前沿方法，没有思索随机要素对消费率和效率的影响。随机前沿消费函数那么处置了这个问题。 前沿消费函数(Frontier Prodution Function)反映了在详细的技术条件和

2、给定消费要素的组合下, 企业各投入组合与最大产出量之间的函数关系。经过比较各企业实际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合效率。 传统的消费函数只反映样本各投入要素与平均产出之间的关系, 称之为平均消费函数。但是1957 年, Farrell 在研讨消费有效性问题时开创性地提出了前沿消费函数(Frontier Prodution Function)的概念。对既定的投入要素进展最正确组合, 计算所能到达的最优产出, 类似于经济学中所说的“帕累托最优, 我们称之为前沿面。前沿面是一个理想的外形, 现实中企业很难到达这一外形。 前沿消费函数的研讨方法有: 参数方法和非参方法。两者都可以用来

3、丈量效率程度。参数方法沿袭了传统消费函数的估计思想, 主要运用最小二乘法或极大似然估计法进行计算。参数方法首先确定或自行构造一个详细的函数形式, 然后基于该函数方式对函数中各参数进展计算; 而非参数方法首先根据投入和产出, 构造出一个包含一切消费方式的最小消费可以性集合, 其中非参数方法的有效性是指以一定的投入消费出最大产出, 或以最小的投入消费出一定的产出。这里所说的非参数方法是结合DEA(Data 数据包络分析) 来进计算的。 但非参数方法存在的最大局限是: 该方法主要运用线性规划方法进展计算, 而不像参数方法有统计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考; 另外, 非参数方法对观测数有一定的

4、限制, 有时不得不舍弃一些样本值, 这样就影响了观测结果的稳定性。因此, 我们在这里选择参数方法进展前沿消费函数的计算。 在参数型前沿消费函数的研讨中, 围绕误差项的确立, 又分为随机性和确定性两种方法。首先, 确定性前沿消费函数不思索随机要素的影响, 直接 直接采用线性规划方法计算前沿面, 确定性前沿消费函数把影响最优产出和平均产出的全部误差统归入单侧的一个误差项中, 并将其称为消费非效率; 随机前沿消费函数( Stochastic Frontier ProductionFunction)在确定性消费函数的根底上提出了具有复合扰动项的随机边境模型。其主要思想为随机扰动项应由v 和u 组成,

5、其中v 是随机误差项, 是企业不能控制的影响要素, 具有随机性, 用以计算系统非效率; u是技术损失误差项, 是企业可以控制的影响要素, 可用来计算技术非效率。很明显, 参数型随机前沿消费函数表达了样本的统计特性, 也反映了样本计算的真实性二、确定性前沿消费函数二、确定性前沿消费函数 测算全要素消费率的传统方法是索洛余值法(SRA) ,其关键是假定一切消费者都能实现最优的消费效率,从而将产出增长中要素投入奉献以外的部分全部归结为技术提高( technologicalprogress) 的结果,这部分索洛剩余后来被称为全要素消费率(李京文等2019) 。然而,SRA 法的实践假设不完全符合现实,

6、由于现实经济中大部分消费者不能到达投入产出关系的技术边境(Farrell ,1957) 。基于这一思想,Aigner 和Chu (1968) 提出了前沿消费函数模型,将消费者效率分解为技术前(technological frontier) 和技术效(technical efficiency) 两个部分,前者描写一切消费者投入产出函数的边境(frontier of the production function) ;后者描画个别消费者实际技术与技术前沿的差距。 确定性前沿消费函数模型如下： Y() e x p ()fXu 其中其中u大于等于大于等于0，因此，因此exp(-u)介于介于0和之间，和

7、之间，反映了消费函数的非效率程度，也就是实际产出与反映了消费函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出的间隔。在确定了消费函数的详细方式后，最大产出的间隔。在确定了消费函数的详细方式后，可以计算或估计其参数，如下所述。可以计算或估计其参数，如下所述。 假设假设N个公司，每个公司运用个公司，每个公司运用K种投入组成的种投入组成的投入向量投入向量 来消费出单一产出来消费出单一产出 ，消费函数，消费函数采用采用C-D方式：方式： 1ixiy,()iiLn yxu1, 2,iN (1)式中 是产出的自然对数； 是K+1维行向量，其中一个元素是1，其他K个元素K种投入数量的自然对数. 是待估计的K+1维

8、列向量； 是非负的随机变量，用来度量技术的有效性： 2()iLn y01(,)K iuexp() exp() exp() exp()iiiiiiiTEyxxuxuix 是一种产出导向的效率度量，其值介于是一种产出导向的效率度量，其值介于0和和1之间，它是察看到的产出之间，它是察看到的产出 与运用同样投入并与运用同样投入并且由技术有效的公司消费的且由技术有效的公司消费的 之比，参之比，参数数 由下述方程得出。由下述方程得出。 1.目的规划方法目的规划方法 3 iTEiyexp()ix11minmin()NNiiiiiuxLny 它等价于： 4 st0iiiuxLny1 , 2 ,iN11min(

9、)min()NNiiiixxstiixLny1, 2 ,iN 参数 也可以由以下二次规划问题计算得出： 5 上述目的规划的主要缺陷是其参数是计算的而不是估计的，无统计解释。假设假设 服从指数分布，2211minmin()NNiiiiiuxLnyst0iiiuxLny1 , 2 ,iNiu那么线性规划“估计就是最大似然估计： 1()exp(),iiuuuf u111()()exp(),NiNNiiiuuuLf u11lnln,NuiiuLNu 1m axm iniNiLiffu 假设假设 服从正态分布，那么二次规划“估计就是最大似然估计： 其中C代表常数iu222()exp(),22iiuuuf

10、 u 1(),NiiLf u2211ln,2NiiuLCu21maxminNiiLiffu 上述“解释给予目的规划方法一个明晰的统计根底，但这些计算的参数 依然像估计的参数那样有规范差。 2.修正最小二乘法COLS 它分为两步： 第一步，先用OLS估计1式： ,()iiLn yxu1,2,iN 得到 一致和无偏的 斜率参数 ，以及一致和有偏的截面参数 。 第二步，有偏的截距参数 被向上修正以保证估计的前沿是一切数据的上界： 1,k00 *00max,iiu *maxiiiuuu*exp()iiTEu COLS估计的消费前沿平行于OLS回归以自然对数方式，意味着最好的消费技术的构造与中心平均趋势

11、的消费构造一致，这是COLS的缺陷，该当允许处于消费前沿上的有效率的公司的消费构造不同于位于平均位置的公司的消费构造。三、随机前沿消费函数 由于确定性前沿消费函数没有思索到产活动中存在的随机景象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS)和Meeusen,van den Broeck (MB)同时于1977年引进了随机前沿消费函数 1()exp()Yf Xvu 其中v代表影响消费活动的随机要素，普通假设它是独立同分布i.i.d)的正态随机变量，具有0均值和不变方差； 代表随机前沿消费函数；u(非负)代表着消费效率或管理效率，普通假设它是独立同分布的半正态随机变量或指数随机变量独立于 。

12、 假设消费函数取C-D方式： 2 在上述v和u的假设下，可以运用最大似然法ML或调整最小二乘法MOLS估计参数 和误差项 ，进而得到技术效率 ，如下所述。()exp( )f Xv0v0lninniiinLnyXvu1,2,.iIiivuexp()iiTEu 1.正态半正态模型的ML估计 假设： 1 2 3 和 的分布相互独立，且与解释变量相互独立。 u ,v的密度函数以及u 和v的结合密度函数， u和 的结合密度函数分别是: 2(0,)ivviidN2(0,)iuuiidNiviuv u 222( )exp()22uuuf u 221( )exp()22vvvfv 22222( , )exp(

13、)222uvuvuvf u v 22222()( , )exp()222uvuvuuf u 2202( )( , )()exp()22ff udu 是规范正态分布函数 3 于是可给出参数 、 、 的ML估 计，从而得到 、 以及技术效率的估计： (.)1222(),uv,uvuv(exp():iiTEEu1()IiiLF221121lnlnlnln ()22IIiiiiILI ,uvML (,)(|)()fufuf*2*2*1()exp1() ,22u22*,u 2222*,uv (exp|)iiiTEEu2*1()1exp,1()2iii 2.正态指数模型的ML估计 假设： 1 2 指数分布

14、 3 和 的密度函数以及u和v的结合密 度函数、 和 的结合密度函数分别是：2( 0 ,)ivvNiuiidiviuuv u 1( )exp(),uuuf u221( )exp(),22vvvf v 于是可给出参数 、 、 的ML估计以及技术效率的估计：222( , )exp(),22uvuvuvf u v 222()( ,)exp(),22uvuvuf u 2201( )( , )()exp(),(5)2vvuuvuuff uduuv(exp():iiTEEu1( )IiiLF22111lnln()ln (),2IIviiiiuuLIIA ,uvM L (,)(|)()fufuf221()e

15、xp,22()vvu iivA 2(),iivu 3.正态半正态模型的矩估计MOLS 此时的假设与正态半正态模型的ML估计 的假设一样，模型是： 7 首先，模型7具有0均值和不变的方差，因此可用OLS得到参数 的不断估计，的OLS估计不是一致的。(exp|)iiiT EEu2*1()1exp,(6)1()2iii 0ln( )ln( )iinniiiinYE uXvuE un0()iE u 其次，用矩方法得到 和 的方差估计： 是常数， iviu( )2,iuE u2()(2),iuV u33()2(14),uuE u ( )iE u( )( )iiiiiE uvuE u222(2)()vui

16、iEE 22()()iiiiEE uEE um332(14)()uiiEE 33()(),iiiiEE uEE um 再次，用 的方差估计量来对OLS截距估计进展调整MOLS： 最后用6式得到技术效率 的点估计。 关于这两种估计方法的比较，Olson,Schmidt,Waldman基于蒙特卡罗实验的根底上指出：选择哪种估计反复取决于 值和样本大小。当容量 400且 3.16时，矩估计优于ML估计，当 较大时，ML估计优于矩估计，并且随着样本容量2233(),2(14)um2222(1)vumiu002()iuE uiTE 的添加，这种优势也添加。但是，由于MOLS估计的第一步没有运用分布假设，

17、所以其第一步估计对 和 的分布是稳健的。 下面利用随机前沿消费函数估计利润效率。 假设消费前沿为： 这里 是产出数量， 代表可变投入向量， 代表固定投入向量， 代表着产出导向的 iviu( , ,)*exp(),yf x zu12(,),Nxxxx12(,)Qzzzzyxzu 技术无效率，利润最大化的一阶条件是： 其中 度量配置效率， 0 ,pyc0( , ,)exp(),nnnpfx zuwx(,)ex p (),nnfxzuwp1, 2,nN12(,)Nww ww( , ,)exp()exp(),nnnwfx zup 分别代表着可变投入的缺乏和过度。 思索CD消费函数及其一阶条件： 假设：

18、 1 2 30lnlnlnnnqqnqyxzvu0lnlnlnlnlnnnnkkqqnkqwxxzup 1,2,nN2(0 ,)ivviid N2(0,)iuuiidN12(,)(0,)NiidN 4 ， ， 是相互独立的 那么密度函数、结合密度函数和似然函数分别是： iivnu()()ffvu22222222()exp()2()2()uvuvuvuv 1 2121()exp(),2(2)|nf222lntanlnlnln|ln2222vuIIIILconst 1ln()ln(1)22iiiiIr这里： 2212212( )( )()iiviiivibbIb 1222111uvII2221()

19、iiviIbiiiuviiibIu (1,1,1) .I 极大化该似然函数，得到一切技术参数和效率参数，然后用下式估计技术效率： 配置效率的估计可经过在一阶条件的残差中减去技术效率来得到。 ()(|,)()iiiiiiE ub 四、对消费率和效率变化的度量 消费率的增长是由三部分组成，一个是技术进步如新技术的采用和新产品的发现，二是技术效率如管理效率的提高和消费阅历的积累，三是规模效率组建和管理大企业乃至大国经济的能力。在实践中，这一新的消费率概念主要运用生产函数进展拆分，而前沿消费函数的估测又较多依赖于面板数据的采用。 对消费率进展拆分的前沿消费函数模型主要分两种，一种为随机性的参数型模型，

20、另一种为确定性的非参数型模型。前者通常先估计一个消费函数，思索到该消费函数中误差工程的复合构造及其分布方式，并根据误差项的分布假设不同，采用相应的技术方法来估计消费函数中的各个参数。其最大优点是经过估计消费函数对个体的消费过程进行了描画，从而使对技术效率的估计得到了控制；缺陷是对效率的偏倚方向设定及效率和技术提高参数之间的识别尚无法提供灵敏、可行的处置方案。后者那么首先根据样本中一切个体的投入和产出构造一个能包容一切个体消费方式的最小的可以性集合：即一切要素和产出的有效组合。 1、 设 以上代表所采用的消费技术：( ):,( , )min:()( )P xy xdo x yyP x可以生产y0

21、.50000( , )( , )( , )( , )stttttststssssd y xd y xTFPd y xd y x0.5000000( , )( , )( ,)( ,)( , )( ,)tssttttsssstssttssd y xd y xd y xd y xd y xd y x 1 200(,)(,)tttstSssdyxT Edyx0.50000(,)(,)(,)(,)ssttssstttttssdyxdyxTCdyxdyxstststTFPTETCln()ln()ln()stststTFPTETC 其中TE代表技术效率的变化，TC代表技术进步，二者均以S期为基期，即假定基期

22、数值为1，求出比较期的数值，他们均可以大于1，假设以对数方式表示，其含义是相对于基期的增长率，因此2式更符合平常的消费率核算要求。 2、SF 方法 假设SF消费函数如下： (3) ln(, , )itititityf x tvu1,2,iN1,2,tT 这里f(.) 是适宜的消费函数方式，如超越对数函数； t是时间趋势，代表技术提高TC，其他符号如前。 在估计了参数后，可得到； 0( ,)(exp()|),tititititititititd x yTEEueevu0(,)(exp()|),sisisisisisisisisd x yTEEueevuitisTECTE TE 3、对消费率变化T

23、FPC的分解 设消费函数为 那么技术提高准确的说叫技术变化，TC用 度量，TC为正、为0、为负分别对应着技术变化使得消费前沿向上挪动、不动、向下挪动；技术效率变化TEC用0.5(, ,)(, ,)(1)(1)isitf xsf xtTCst( , ,)exp(),yf x tuln( , ,)fx tTCt 度量，TEC为正、为0、为负分别对应着技术效率的下降、不变、上升。技术效率变化可以被解释为消费者远离消费前沿、坚持相对间隔、向生产前沿挪动，当然在此过程中消费前沿也随时间挪动，全要素消费率变化(TFPC)采用Divisia指数特氏数量指数来度量，用sn表示基期或现期投入要素加之份额，字母上

24、边加一点表示其变化率： uT E Ct (, ,) e x p (),yfx tulnln(, ,),1dyyfx tuyydxlnln( , ,)ln()nnnxdyf x tfudtxttt ln ( , , ) 1( , , )nnnnnxxf x tTE TECf x txxtnnxTCTEC ()n nnnnnnTFPCy XYS xTCS xTEC (1)()()nnnnnnnTCxSxTECnnnEwxnnnSw xE( , ,)( , ,)nnnxfx tfx tnn 因此，消费率变化TFPC分解为四部分第一部分为技术提高TC;第二部分为规模报酬，假设采用规模报酬不变，假设 ，那么该项为0，在可变的规模报酬假设下，规模