用平面向量探索三角形的四心问题

1、用平面向量探索三角形的四心问题三角形中的内心、外心、重心、垂心，统称为三角形的“四心” 有关这“四心”的问题，叫“四心”问题 .“四心”问题的破解既可 以通过平面几何法，也可以通过平面向量法，因为这一内容涉及到三 角形和平面向量，是一个知识创新和知识交汇的窗口，因此“四心” 问题是一个考查的热点问题.因为“创新”和“交汇”，也常使同学们 对“四心”问题望而却步，一筹莫展.下面就如何利用平面向量中的“共线”和“点积”两个重要工具解决“四心”问题进行举例分析：一、共线法定“内心”所谓共线法确定三角形的内心，主要是指利用平面向量共线的性 质，若一条线为角平分线，另一条线与其共线，则另一条线也是角平

2、分线，这样要判定内心，可用这种方法破解.例1、。是平面上一定点,A、B、uuu动点P满足OPuur OAuuu ABABuurACAC),C是平面上不共线的三个点，0,，则P的轨迹一定通过iABC 的（A、外心 分析：此题B、内心C、重心D、垂心是一个涉及平面向量和三角形心问题的知识交汇问 题，可利用平面向量的性质破解, 即共线法化解.uuur解析：如图所示，“rABf表示 1ABi与AB同向的单位向量，设器；uur“尚”表示与ACr同向的单位向ac量，设ACu,由向量的平行四边形法则，知uuu uuu又 QOP OA (uuu uurAB AC|ab| |ac|uuu ),APuuir (A

3、BiuurAPuuuuuurAB1ACi )uuuuAC1 , uuur uur-uur AP1 ,贝U AP 与 AP uur 一 .一 .共线，由于AR平分角BAC,所以P点的轨迹一定通过三角形 ABC 的内心，即选B.点评：共线法破解“内心”问题，主要是通过构造与角平分线共 线的向量，以确定有关内心问题.二、点积法定“外心”对于确定三角形外心的问题，因外心是三角形的三条中垂线的交 点，因此关键是找出中垂线，考虑到垂直问题，故可用点积两个向量，若点积为0,则可得垂直，加上中点条件，即可确定三角形的外心, 当然也可用到三个顶点距离相等简单确定三角形的外心 .例2、（2006黄岗练习）已知O是

4、平面上的一定点,平uur OP面上不共线uuu uurOB OC2uuu/ AB(-uuuAB cos B的三个uuurACuurAC cosC动点，点0,则动点A、B、C 是P 满足P的轨迹一定通过ABC的（）A、重心 B、外心C、垂心分析：此题初看与问题类似，其实不然,需要利用平面向量性质解：如图所示:uur uuur uuu OB OC Q OP 2uuurDPuurOPuuuAB uuu设uuur ODAB cos BuuirDPuuirACuurAC cosCD、内心又1求解.BC的中点为0,uuirDPuurBC等式两边向量同时求与BC"的数量积，得:uur uurAB

5、BC(-tuuAB cos Buur uuir AC BC uurAC cosCuurBC (cosB)uurBC cosCcosBcosCuuir uur)0 ,则DP BC ,所以P点的轨迹一7E在BC的中垂线上，即P点一定通过 ABC的外心，即选B.点评：涉及到有关“外心”问题，因有中垂线的概念，因此需要 考虑用平面向量的点积法化解，点积法破解有关垂直问题的首选方 法.三、共线法定“重心”对于三形重心的确定，因其是三角形三条中线的交点，因此要关 注二点，一是中点，二是共线，特别是共线，通过找一条与其中线共 线的直线，可判断此直线也是三角形中线所在的直线， 这样可判断三 角形的重心.例3、

6、已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC 内一定点，P 是平面 ABC 内一动点，若 H H*1 -r . _ , , , > 、，、.OP OA （AB - BC） 0,则点P的轨迹必过 ABC的（） 2A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心分析：这是一个平面向量和三角形结合的问题， 要判断点P是三 角形的什么心，关键是要结合共线向量的知识，利用与中线共线的条 件判断其为重心.解：因为OP OA (AB 1 BC),则可化2为AP AB 1BC ,而如图三角形 ABC中 2AB 1 BC AM, (M 为三角形 ABC的BC2的中点)， 因此AP AM,即A、P、M三点共线

7、，因此P点的轨迹必过 ABC的重心.应选C.点评：判断过重心的平面向量方法是共线法， 应用时主要是要构 造出两个共线向量，以顺利判断其过三角形的重心，解决“心”问题.四、点积法定“垂心”对于三形垂心的确定，因其是三角形三条高线的交点，因此要关 注二点，一是过顶点，二是引线与对边垂直，特别是垂直，通过找一 条与其垂直的直线，可判断此直线也是三角形高线所在的直线， 这样 可判断三角形的垂心.例4、设O是ABC的外心，点M满足5A + OB+OC=OM ,则M 是 ABC ()A、内心 B、重心 C、垂心 D、 ABC的任意一点分析：这是一个涉及到平面向量和三角形的四心交汇的问题， 通 过对给定平面向量的等式转化确定 M是三角形的“心”，破解的方法 是利用向量的点积，导工垂至关羌 型判定其色垂虫 _解：因点 M 满足 OA + OB + OC = OM ,则有 Oa+Ob =CO + om =cM , 因(OA + OB) (AB) (OA + OB ) ? (OB OA ) =|OB2 |研2 0 (主 要是 O是 ABC的外心，|OA OB),因此也有CM ? (AB) 0,即 CM ab,同理有BM Ca, aM CB,因此m为 abc的垂心.应选C点评：利用向量的点积判垂心具有很好的效果，对有关“心”问 题的破解起到一针见血的作用，应该说只有运用得当，一般的垂心问 题便可迎