第一部分题型专项练压轴题提分练(二)

1、压轴题提分练（二）2 2x y1 设椭圆a2+ b= 1(a> b> 0)的左焦点为F，离心率为过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.（i）求椭圆的方程；设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点 F且斜率为k的直线与椭圆交于C,2bD两点若AC DB + AD CB = 8, O为坐标原点，求 OCD的面积.解析：（1）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为4“33 .因为椭圆的离心率为中，所以a=h， 又 a2= b2 + c2，可解得 b= 2， c= 1， a=32 2所以椭圆的方程为气+2=1.由可知F（- 1,0），则直线CD的方程为y= k（x+ 1

2、）.+ kx+ 1，联立x2 y2+3 + 21,2 2 2 2消去 y 得(2 + 3k )x + 6k x+ 3k 6= 0.设 C(X1, y1), D(x2, y2),6k23k2 6所以 X1 + x2=2, X1X2=2.2+ 3k2+ 3k又 A( 3, 0), B( 3, 0),所以 AC DB + AD CB=(X1+ 3, y1)(-3 x?, y2)+ (x2 + 3, y2)(.3 X1, y”2222 2k +12=6 (2 + 2k )x1x2 2k (X1 + x2) 2k = 6+2 = 8,2 + 3k2解得k= 土, 2.6X233X 2-6从而 Xl +

3、X2=厅，X1X2= 0.2+ 3X 222+ 3X 2所以 |xi X2、= p (X1 + X2 f - 4X1X2 =寸(一3 4X 0 = 2, |CD|= U + k2|xi -X2|= 1 + 2X3= 323.而原点O到直线CD的距离为d=；1 + k2- 1 + 2所以OCD 的面积为 S= |CD|X d= X 2.已知函数f(X)= eX-ax1(a为常数),曲线y=f(x)在与y轴的交点A处的切线 斜率为1.(1)求a的值及函数y= f(x)的单调区间；若 X1<In 2 , X2>ln 2,且 f(x1)= f(x2)，试证明：X1 + X2<2ln

4、2.解析：(1)由 f(x)= ex ax 1 得 f' (x) = ex a.又 f' (0)= 1 a= 1,所以 a= 2,所以 f(x) = ex 2x 1, f' (x)= ex2.由 f' (x) = e 2>0 得 x>ln 2.所以函数y= f(x)在(一x, ln 2)上单调递减，在(ln 2,+ x)上单调递增.(2)证明：设 x>ln 2,所以 2ln 2 x<ln 2,x由(1)知 f(x) = e 2x 1,所以 f(2ln 2 x) = e2ln 2x 2(2ln 2 x) 1=马 + 2x 4ln 2 1,e

5、x 4令 g(x) = f(x) f(2ln 2 x)= e ex4x+ 4ln 2(x>ln 2),D则 g' (x)= eT+ 4e-x 4>2 ;ex 4e x 4 = 0,当且仅当 x= ln 2 时，等号成立, 所以 g(x)= f(x) f(2In 2 x)在(In 2,+*)上单调递增.又g(ln 2)= 0,所以当x>ln 2时，g(x) = f(x) f(2I n 2 x)>g(ln 2) = 0,即 f(x)>f(2ln 2 x)，所以 f(X2)>f(2In 2 X2),又因为 f(xi) = f(X2)，所以 f(xi)>f(2ln 2 X2).由于 x2>ln 2,所以 2ln 2 x2<l