利用导数求单调区间的一些大题

1、例 1. 已知函数 f ( x)1x3ax2b 在 x2处有极值 .3（1）求函数 f (x) 的单调区间；（2）求函数 f (x) 在3,3 上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。例 2已知函数 f ( x)1x 3(k 1)x2 ， g ( x)1kx ，且 f ( x) 在区间 (2,) 上为增函数323（1）、求实数 k 的取值范围；k 的取值范围（2）、若函数 f ( x) 与 g( x) 的图象有三个不同的交点，求实数解： (1)由 f ( x)1x3ax 2b ，得 f '(x)3x22ax a230, 得 x1 =- a , x2令 f '(x)3x22axa2

2、a(a0)3当 x变化时， f ( x), f '(x)的变化情况如下表：x(, a )a( a , a)a( a, )333f ( x)0_0f '( x)Z极大值极小值Z由上述表格可知，f (x)极大值 =f (a )(a )3a( a )2a2 (a )15 a31a3a3a3 13a333327f ( x)极大值f (a)1(2) 由（ 1）可知f()在(,a )(a,)（ a,a ）上单调递减，x3和上单调递增， 在 -a )53当 0a1, f ( x) 极大值 =f (a310, f ( x)极小值 =f(a)=1-a 30a327yf (x)在（ -,+上最多只

3、有一个实数根，且此零点仅在 a1时取得3）又 yf (x) 在 (,a ) 上单调递增，且f (1)a2aa(a1)03y f (x)在（ - ，-a ）上最多有一个实数根3f ( x)y f (x)于是，当0 a 1时，y有 1个或 2 个零点，即函数至多有两个实数函数根。解：（ 1）由题意 f(x) x2(k1) x f ( x) 在区间 (2,) 上为增函数， f ( x)x 2(k1) x0在区间 (2,) 上恒成立即 k 1x 恒成立，又 x 2 ， k 12，故 k1 k 的取值范围为 k1（ 2）设 h( x)f ( x)g ( x)x3(k1) x2kx1，h (x) x232

4、3( k 1) x k (x k )( x 1)令 h (x)0得 x k 或 x1由（ 1）知 k1 ， 当 k1时， h ( x)(x1) 20 ， h( x) 在 R 上递增，显然不合题意 当 k1 时， h(x) ， h ( x) 随 x 的变化情况如下表：x(, k)k(k,1)1(1, )h ( x)00h( x)极大值极小值k 3k 21k 16232由于 k10 ，欲使 f ( x) 与 g( x) 的图象有三个不同的交点，即方程h( x)0 有三个2k1k3k210，即 (k 1)(k 2不同的实根，故需2k 2) 0 22k，623k2 0解得 k 13综上，所求k 的取值

5、范围为 k13例 3（ 2007 年高考天津理科卷）已知函数f x2axa21 x R ，其中 a R 。x21（） 当 a1 时，求曲线 yfx 在点 2, f2 处的切线方程；（） 当 a0时，求函数 fx的单调区间与极值。（ 2010 山东理数） (22)( 本小题满分 14 分 )已知函数 .( ) 当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.解 ：（ ） 当 a 1时 ， 曲 线 y f x在 点 2, f 2处的切线方程为6x25 y 320 。（）由于a 0，所以2ax212 x 2axa212a xax1f ' xa。x22x2121由 f &#

6、39; x0，得 x11 , x2a 。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大a小。因此，需对参数a 的取值分 a0 和 a0 两种情况进行讨论。（1）当 a0时，则 x1x2 。易得 fx 在区间,1， a,内为减函数，在a区间1 , a为增函数。故函数f x在 x11 处取得极小值f1a2 ；函数aaaf x在 x2a 处取得极大值f a1。（2）当 a0时，则 x1x2 。易得 fx 在区间 (, a) ， (1 ,) 内为增函数， 在区a间 (a,1 ) 为减函数。 故函数 fx在 x11处取得极小值f1a2 ；函数 f x 在aaax2 a 处取得极大值fa1。解：（）因为 f

7、 (x)ln xax1a1 ，x所以f ' (x)1aa1ax2x1a x (0, ) ，xx2x2令h( x)ax 2x1a, x(0,) ，1当 a时，x1x2,h( x)0 恒成立，此时 f ' ( x)0 ，函数f ( x) 在（0，+）上单调递减；11当 0 a时，110 ，2 ax (0,1) 时， h( x)0，此时 f ' ( x)0 ，函数 f ( x) 单调递减；x(1,11) 时h(x)0，此时f ' (x)0 ，函数f (x) 单调递增；ax( 11,)时，h( x)0 ，此时f ' ( x)0 ，函数f (x) 单调递减；a当

8、a0时，由于 110 ，ax(0,1) ， h( x)0 , 此时 f ' ( x)0 ，函数f (x) 单调递减；x (1,) 时， h(x)0 ，此时 f ' (x)0 ，函数 f ( x) 单调递增 .综上所述：0（）因为 a=1(0, 1 ) ，由（）知，x1=1，x2 =3(0, 2)，当 x(0,1) 时，f ' ( x) p 0 ，42函数 f ( x) 单调递减； g (x) ming(2)8 4b 0b(2,)1 b17,当28x (1,2)时， f ' ( x) f 0 ，函数 f ( x) 单调递增，所以 f ( x) 在（ 0， 2）上的

9、最小值为 f (1)1 。2由于“对任意 x1(0, 2) ，存在 x21,2，使 f ( x1 ) g( x2 ) ”等价于“ g (x) 在 1,2 上的最小值不大于 f ( x) 在（ 0,2 ）上的最小值1”（*）2又 g (x) =( xb) 24 b2 ， x11,2，所以当 b p 1 时，因为 g( x) ming(1)52b f 0 ，此时与（ * ）矛盾当 b1,2时，因为 g( x) min 4b20 ，同样与（ * ）矛盾当 b(2,) 时，因为 g ( x) ming(2) 8 4b ，解不等式 8-4b1 ，可得 b1728综上， b 的取值范围是17 ,。8（20

10、10 北京理数） (18)( 本小题共13 分 ) 已知函数 ()=In(1+)-+( 0) 。( ) 求 () 的单调区间。（ II ），.当时， .所以，在区间上， ；在区间上， .故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上， ；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故得单调递增区间是.当时，得， .所以没在区间和上， ；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是4、已知函数 f(x)=ax 3 -3x 2+1- 3 , 讨论函数 f(x) 的单调性a已知函数 f(x)= x2a (a>0) 在（ 2，+）上递增，求实数 a 的取值范围x6

11、、若函数 f x1x31ax2a 1 x 1 在区间（ 1，4）内为减函数，在区32间（ 6，+）上为增函数，试求实数a 的取值范围。1322、f(x)=x(1a)x4ax2a(a1) ，讨论函数 f(x) 的单调性及极值4、 已知函数 f(x)=ax 3-3x 2+1-3 , 讨论函数 f(x)的单调性a解析： f (x)=3ax 2- 6x+1(a 0)令 f (x)= 3ax 2- 6x+1(a 0x1=0 x 2= 2a当 a>0 时 x 1<x2( 导函数图象 )x(- ,0)0 (0,2 )2( 2 ,+)aaaf,(x)+-+f(x)f(x) 在（ - ,0) 和 ( 2 ,+ ) 上为增函数，af(x)在 (0,2 ) 为减函数。a当 a<0 时 x 1=0>x2= 2 列表ax(- ,2 )2( 2,- ) (0,+ )aaaf , (x)-+-f(x)f(x) 在（ - ,2 ) 和 (0,-) 上为减函数，a2f(x)在 (，0) 为增函数。5、已知函数f(x)=x2a (a>0) 在（ 2，+）上递增，求实数 a 的取值范围（ 0<a4）x6、已知函数 f(x)= 1x31ax 2( a 1) x 1在区间（ 1，4）内为减函数，在（6， +）内32为增函数求a 的范围（ 5a7）2、f(x)=1 x3(1a) x