三角函数和向量

1、1已知锐角，且5的终边上有一点P(sin(50°)，cos 130°)，则的值为()A8° B44°C26° D40°答案B解析sin (50°)0，cos 130°cos 50°0，点P(sin(50°)，cos 130°)在第三象限又0°90°，0°5450°.又点P的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)，5220°，44°，故选B.2已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，si

2、n )，则向量与向量的夹角的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由题意，得：(2cos ，2sin )，所以点A的轨迹是圆(x2)2(y2)22，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别到达最大、最小值，故选D.3已知a，b是单位向量，a·b0.假设向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B.C.1 D.2答案C解析建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a(1,0)，b(0,1)，令向量c(x，y)，则有1，|c|的最大值为圆(x1)2(y1)21上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即1.4已知函数f(x)sin在0

3、，上有两个零点，则实数m的取值范围为()A，2 B，2)C(，2 D，2答案B解析如图，画出ysin在0，上的图像，当直线y与其有两个交点时，所以m，2)5已知函数y2sin(x)(0,0)为偶函数，其图像与直线y2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，假设|x2x1|的最小值为，则该函数的一个递增区间可以是()A. B.C. D.答案A解析由函数为偶函数知k(kZ)又因为0，所以，所以y2cos x.由题意知函数的最小正周期为，故2，所以y2cos 2x，经验证知选项A满足条件故选A.题型一三角函数的图像与性质例1已知函数f(x)cos x·sincos2 x，xR.(1)求f(x)

4、的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值解(1)由已知，得f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f，f，f，所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.思维升华三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k的形式，然后将tx视为一个整体，结合ysin t的图像求解已知函数f(x)sin(x)sin(x)2cos2，xR(其中>0)(1)求函数f(x)的值域；(2)假设函数yf(

5、x)的图像与直线y1的两个相邻交点间的距离均为，求函数yf(x)的单调增区间解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)2(sin xcos x)12sin(x)1.由1sin(x)1，得32sin(x)11，所以函数f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，yf(x)的周期为，所以，即2.所以f(x)2sin(2x)1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数yf(x)的单调增区间为k，k(kZ)题型二三角函数和解三角形例2(2015·山东)设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角

6、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.假设f0，a1，求ABC面积的最大值解(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.思维升华三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的

7、灵活运用是解决此类问题的关键已知函数f(x)2cos2xsin.(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.假设f(A)，bc2，求实数a的最小值解(1)f(x)2cos2xsin(1cos 2x)1sin 2xcos 2x1sin.函数f(x)的最大值为2.要使f(x)取最大值，则sin1，2x2k(kZ)，解得xk，kZ.故f(x)取最大值时x的取值集合为.(2)由题意知，f(A)sin1，化简得sin.A(0，)，2A，2A，A.在ABC中，根据余弦定理，得a2b2c22bccos (bc)23bc.由bc2，

8、知bc21，即a21.当bc1时，实数a的最小值为1.题型三三角函数和平面向量例3已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n), 函数f(x)a·b，且yf(x)的图像过点(，)和点(，2)(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0<<)个单位后得到函数yg(x)的图像，假设yg(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间解(1)由题意知f(x)a·bmsin 2xncos 2x.因为yf(x)的图像过点(，)和(，2)，所以即解得(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x)由题意知

9、g(x)f(x)2sin(2x2)设yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x11，所以x00，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)将其代入yg(x)得sin(2)1，因为0<<，所以，因此g(x)2sin(2x)2cos 2x.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函数yg(x)的单调递增区间为k，k，kZ.思维升华(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin

10、x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0<<x<.(1)假设，求函数f(x)b·c的最小值及相应x的值；(2)假设a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)b·ccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1<t<.则函数f(x)关于t的关系式为yt2t12，1<t<，t时，ym

11、in，此时sin xcos x，即sin，<x<，<x<，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0<<x<，0<x<，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.(时间：70分钟)1已知函数f(x)Asin(x)，xR，且f().(1)求A的值；(2)假设f()f()，(0，)，求f()解(1)f()Asin()Asin A，A.(2)

12、由(1)知f(x)sin(x)，故f()f()sin()sin()，(sin cos )(cos sin )，cos ，cos .又(0，)，sin ，f()sin()sin .2(2015·江苏)在ABC中，已知AB2，AC3，A60°.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值解(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos A492×2×3×7，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin C·sin A.因为ABBC，所以C为锐角，则cos C .因此sin 2C2sin C·cos C2

13、××.3已知向量m(2sin x，cos2 xsin2 x)，n(cos x,1)，其中0，xR.假设函数f(x)m·n的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，假设f(B)2，BC，sin Bsin A，求·的值解(1)f(x)m·n2sin xcos xcos2 xsin2 xsin 2xcos 2x2sin.f(x)的最小正周期为，0，T.1.(2)设ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.f(B)2，2sin2，即sin1，解得B(B(0，)BC，sin Bsin A，即a，ba，b3.由正弦定理，有，解得sin A.0A，

14、A.C，ca.·cacos B××cos.4函数f(x)cos(x)的部分图像如下列图(1)求及图中x0的值；(2)设g(x)f(x)f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由题图得f(0)，所以cos ，因为0，故.由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1x02，故x0，由f(x0)得cos，所以x0，x0.(2)因为fcoscossin x，所以g(x)f(x)fcossin xcos xcos sin xsin sin xcos xsin xsin xcos xsin xsin.当x时，x.所以sin1，故当x，即x时，g(x)取得最大值；

15、当x，即x时，g(x)取得最小值.5(2015·福建)已知函数f(x)的图像是由函数g(x)cos x的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度(1)求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)g(x)m在0,2)内有两个不同的解，.求实数m的取值范围；证明：cos()1.方法一(1)解将g(x)cos x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y2cos x的图像，再将y2cos x的图像向右平移个单位长度后得到y2cos的图像，故f(x)2sin x.从而函数f(x)2sin x图像的对称轴方程为xk(kZ)(2)解f(x)g(x)2sin xcos xsin(x).依题意，sin(x)在0,2)内有两个不同的解，当且仅当1，故m的取值范围是(，)证明因为，是方程si