圆锥曲线创新题“找”出椭圆的中心

1、谈谈解析几何中的一一解题编题组题教师的教学活动，决不单是备课与上课。特别是数学教师，整天打交道最多的，就是数学题了。本文(或本讲座)准备就解析几何的知识内容，说说与解题编题组题相关的问题。1解题1.1先看两个例子(本文各节自成例序)例1 一直线I与x轴、y轴都不平行，也不过原点；点M (x,y)在i上；点P (2, 1), Q(3x+2y-1,3x-2y+1)在与i垂直的直线i '上。求直线i的方程。例2 一张白纸上仅有双曲线的图象，试用圆规与直尺画出它的焦点。例1是一道与直线相关的题目，难道直线问题还有一般来说做不出来的题目吗？例2给人的感觉就是一道神秘兮兮、头绪玄乎的难题。作为高中

2、数学教师，具有一定的解题能力，甚至是解决具有相当难度数学问题的能力，应该说是必须 修行与具备的功力。对于解数学题所显现的能力范畴，主要是指哪些方面呢？1. 2解题能力，不言而喻，主要就是指普通数学问题不被难倒，甚至具有相当难度数学问题也难不倒 的能力。这里指的数学问题，当然主要是指中学数学范畴的基本初等数学问题。例2后面还要说到，我们先看例1的解决。1例1 解：设直线i的方程为y=kx+b,k存在,kb丰0, i /的方程为y1(x2).把Q代入，k1即有(3x-2y 1)-1 二 (3x 2y1)_2.化简，得 3(1+k)x+2(1 - k)y - 3=0. (1)k由于i /的方程经如此

3、整理，变量(x,y)就是i中的变量，斜率k就是i中的k,故化作了与kx - y+b=0。(2)同样的方程。比较(1)、( 2),应有3(1 k)k2(1 -k) -3 -1- b(kb = 0)由 2k2- 2k-3 - 3k=0, (k 3)(2k+1)=0。解得 k=3 或 k=1/2。k=3 时 b= 3/4 ; k= 1/2 时，b=1.c的方程为 y=3x-3或y = -x 1.42例1同一法的解题构思并不是那么容易“想到”的。而一旦“想到”，也就不显得稀奇。例 1的解决过程给我们以什么启示呢？1.2. 1所谓题目的难易，其实是相对的。即便是竞赛题，你熟悉了其中的门道，其命题的途径，

4、其 解题的构思，特别是基本的数学思想、方法、技巧，也就自而然之地融会贯通于其中，亦即不感觉到怎样 的难。否则，我国参赛队自加入国际奥林匹克数学竞赛以来，屡拿第一也就显得不可理解；另一方面，即 便是小学的数学题，也许也有你颇感为难的问题与时候。1.2 2所谓熟悉，是解决不了根本问题的。如例1,高中师生对于直线问题，不会不熟悉。因此，解有份量的题还得有灵感。所谓数学灵感，是对数学概念，数学题的条件与要求，理解与应用相当到位的一 种感觉。1.2 3解所谓难题，要有一定的知识、数学问题、数学思想与方法的积累；即要有相当的基本训练。 所以话还得说回来，毕竟熟能生巧。见得多了，练得多了，又有相当的思维机敏

5、性，解题功力一定渐长。1. 3解题能力除了解一定难题的功力，还指一般解题思路的清晰缜密，解题方法的简明得当，解题 过程的轻松自如。走了很大的弯路，烦琐地解出一道题，看来是成功了，也许却失败了。首先在理念上， 要十分清醒、十分明确地感悟到，数学就是一门追求简明的科学。在教学上，要鼓励用好方法，讲究用巧 方法；不主张满足结果。应追求思考在路子上，思维在点子上，思索在力度上。比如抛物线上任意四点构成的四边形能否做到一组对角相等。如果这样说明：如图1-1，对于等腰三角形OAB，比较弦AB上的圆周角，当 C离A较近时，显然/ C>/ O C在相当远的地方，/ C接近于0。 其间必有点使/ C=Z

6、0。但有学生这样说明：如图 1-2，作任意弦AC的垂直平分线交抛物线于 D B,则四 边形ABCD为筝形，/ A=Z G显然更简明直观。既然如此，就宜采用此法。笔者决不是排斥同一问题的不 同解法，而是说应追求相对更好更为切合的方法。1. 4 解题能力不光是解难题，巧解题，还注意功力体现于速度上。数学解题是应检测敏捷性的。这 样，就更要求理解、应用、解决的基本功要扎实，特别是一步步的验算与推理，保持连贯与正确应力求过 硬。在教学中要训练学生的认真、耐心、完备的心理素质，克服看题不细，做题不精，毛糙，不规范，不 知检查、反馈、整理等毛病。15正因为解题能力是一种显现综合素质的能力，所以怕做难题，或

7、只做难题都是偏颇的。不讲过 程，忽视规范与完备更相当有害。至厅高年级，更应讲究对解题能力的辩证理解。既不为一个小步骤的失 误耿耿于怀，要看到大的方面；又不能眼高手低，总是不以为然。读题与做题相结合。讲究质量、讲究效 率正是高年级特别是毕业班学生追求的目标；也是解题能力努力的一种境界。因此，主次概念、重轻概念、急缓概念，平中思变、稳中求奇，都是高境界以理性指导解题的基本策略。由于年龄、阅历的特点，即便 是高中学生，对题目及其解决的理解辨析能力是颇需训练的；相当关键的，是上述大小意识。2. 编题2. 1编题的意义、前提和准则当一名称职的数学教师，光有即便是出色的解题能力还不怎么样。必须要有不错的编

8、题能力，才能称 之为可以。从解题到编题，不能只看作层次差异，首先取决于你职业热爱与敏感激发的兴趣与动力。许多 教师只会解题，但绝对产生不了编题的激情，原因固然很多，总之对数学（教学）本职的认识与感悟也就差了一截。你想成功编题，编出好题，首先你必须熟悉与研究课程标准、考纲考点、考题特别是高考题的分 布特点、命题方向与价值取向。这个问题本身就具有复杂性。从命题者（小组）本人（自身）到广大师生， 对上述最基本、最重要问题的理解与看法都不尽相同；另一方面，光是对这些揣摩亦非上策，甚至不明智，陷入误区，或导致更有害更严重的后果。“阵而后战，兵家之常；运用之妙，存乎一心”。根本的问题还在于对知识的理解与掌

9、握， 对基本技能显现的基础与功力。一方面，历年的高考题，高考的命题方向与取向，其特点甚至规律不能不研究，特别是强调能力、创意的今天；另一方面，又不能绝对化，还是着眼于基础 训练与解题能力的提高。但毕竟说明了，你想编题，你必须先大量做题；先充分关注、了解、研究、整理 与数学问题，特别是典型数学题例相关的问题。在充分积淀的基础上，然后尽情发挥你的潜质，经过历练 与提升，于是，能编出题目，能编出好题目的成功前景会对你形成召唤。2. 2编题的几个主要成因你有了编题的内在要求，尝试着去做，体会、经验、愉悦自然会蕴含其中。就本文来说，当然也是最 实质、最主要的地方。本人想就此仅对解析几何知识内容所自编、改

10、编的数学问题述之一二，抛砖以引玉。2.2. 1“借题”以发挥如前已述，要想编好题，必先解好题，只是在做题时，多存着几分研究、探讨的心。我们知道，摩仿 往往是创新的前奏。先想想人家这题目是怎样形成的，要解决什么问题。由此有何可深掘之处，因之培养 感觉。举例如下：例1在标准形式的椭圆、双曲线中，M是过x轴焦点、斜率为 k1的弦的中点，M0的斜率为k2,则成立e2=1+k1k2。在抛物线中，有类似结论吗？有圆锥曲线的同一关系式吗？1这是蒲荣飞提到的一个数学问题，其实并不难解决。笔者否定了这个结论。得到的结果是:-0 (e=1).抛物线 y2 =2px (p 0)中, k2.即显然 k2k1永2k22

11、+k12+k1M , OM的斜率为k。然而，这个结果的关系式太好，这样，一个数学问题随之产生： 题1已知抛物线y2=2px (p>0)的焦点弦AB的斜率为a, AB的中点为“畔,。2(0，划( 2a 把k表示为a的函数。k= , a式0 求k的取值范围。I1+a2丿你看，多好的一道难度适中、题味隽永的题！2 2X y题2 B是已知椭圆1的上顶点，过 A (0, - 1/3)的直线交椭圆于 P、Q,试判断 BPQ54是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形且证明之。本题的编拟是基于以下的结果：2 2结论1在椭圆 § 占=1 (a b 0)中，长轴上的顶点A为直角顶点的内接三角形AP

12、Q中,弦PQa2 b2过定点M 土a(-旳0 ；短轴上顶点b为直角顶点的内接三角形 BPQ中，弦PQ过定点|M0二b(。 I a+b丿I a+b 丿所取符号由图形很易确定。由结论1, A (0, -2/9 )时， BPQ恰为直角三角形；A继续上移，则 BPQ就是钝角三角形了。需要 说明的是，对于 BPQ只有/ B可能为非锐角。另外，在双曲线中，也有类似结论:结论2在双曲线b2=1(a 0,b0,a = b)中,自实轴的一个端点 A,作互相垂直的两直线交双曲线于P、Q,则PQ所在直线过定点-a(a2 b2)a2 -b2端点与定点相应值的符号相同。2、3这种以圆锥曲线顶点为直角顶点的对应直角三角形

13、过定点，对于抛物线而言，结果就更为我们所熟知了：2结论3 过抛物线y=2px (p>0)的顶点O作互相垂直的弦 OP、OQ,则弦PQ过定点M(2p,0)。当然，借题以拟题必须要有一定的解题意味，从一个题改变一两个数据形成另一个题并无趣味。但从 重要的特点和结论出发，把需要考查的知识串联其中，情况就大不相同。如题2，对 BPQ的形状判断,可由BP BQ与0的比较解决之。化一般字母结论为特殊数据推算，正符合考查的要求。2.2. 2贯彻以“目标”有时我们确定一个问题的考查方向，又希望结合相应的知识点给出考题，这时只要问题背景设置得当，深入而细致的思考设计，由量变积累到质变飞跃，好题目可以逐步成

14、形完善。比如笔者希望编拟一道圆锥 曲线里的数列题，殚精竭虑，思之再三，终于拟成一题：题3 如图3, P1 , P2，, P3是抛物线 y=x2上x=1,2,3,上的点，求2 2 2 2S =OPj P-P2 F2R 亠 亠 PnjPn-2，2n(2n +1)32.2. 3反用以陈题有的陈题具有一定的典型特征，加强认知可以巩固知识， 亦同时强化解题能力。本着强主枝、去次蔓的解题精神， 对这样的题改造变衍以形成新题是一种对路的思索。请看题4如图4，已知抛物线Y2=2PX (P>0)上任意一点A(Xo,Y°)， A关于轴的对称点为 B，B向右平移2P个单位至M,(在一条直线上)團4又

15、过A作抛物线的弦 AP、AQ且AP丄AQ，试问P、M、Q三点是否在一条直线上?其原题是，前面我们曾说到结论 3，抛物线上的弦 0P丄OQ时，PQ过定点M (2p,0)。其实直角顶点不 定是抛物线的顶点，当它任意时，如为A (x o,yo)，贝y PQ过定点M(xo+2p , -yo)。此即题4的相反结论。但有意义的是，证明PQ过定点M,不如证明已知 M时，P、M、Q在一条直线上更有做头。不妨按NP二MQ证明之，更符合解析几何结合向量知识的解题意蕴。只是抛物线设做参数形式:x =2pt2J =2pt更方便于解决。提到结论3,笔者也有题在编：题5在射线OQ上取长度为2p的线段OP, 动点M满足1

16、応MOP - d . MPQ=arctan(tan2",0-.2 4建立适当的平面坐标系，求动点 M的轨迹方程，并说明曲线名称。延长MP到N，使ON丄0M，证明点N也在以(1)取消范围限制后点 M的轨迹上。其中(1)的解就是抛物线段 y2=2px。(y>2p)可见陈题反用是一个很好的拟题途径。只是反用时要经过匠心设计，周三打磨，应使因之拟出的题看 不出，或想不到与原题有什么因果联系。只有这样，才能使编拟的题上质量上档次。再看一例：题6 已知P ( p, 0)是平面直角坐标系 x轴上的一点(p>0), M、N两点在y轴上，且|MN|=2p。过 M、N、P三点作一个圆。 求圆

17、心C的轨迹方程。(y2=2px，抛物线) 设0P的垂直平分线交曲线 C于A、B两点，求曲线 C关于以AB为对称轴的曲线 C'的方程。2(y =-2p(x-p)对两条曲线以AB为准，AB的左边取曲线C的部分曲线段；AB的右边取曲线C'的部分曲线段， 包括AB形成一个图形。让这个图形以AB的中垂线为轴，即绕着 AB的中点旋转一周形成一个几何体。以此几何体模拟为某植物的种子，且使AB成水平线放置(形如上下凸起的围棋子)。如果AB=2cm且这样的种子上下、前后、左右整齐堆放于一内壁为10X 10X 4的盒子内，搭载于神舟*号宇宙飞船进行科学实验，则一个这样的盒子共可搭载多少枚这样的植物

18、种子?（100 枚）1 A jrS5-2Es-i这样的题有多浓的品位。其实题 6 （1）的原题就是，已知抛物线 y2=2px （p>0），点P （p,0）, C是抛物 线上任意一点，以|CP|为半径的圆被y轴所截，则弦长为定值 2p。但题6当然已面目全非。如果改 P （p,0） 为P （a,0），使不向抛物线处联想，则更有意思。只是本题还有（2）、（3），让做题者知道是抛物线也好。题6还可展现得更充分些。笔者另加（4）为附加题：5 X 5 X 3+4 X 4附加题：如果改变放置方式，能否增多放入的种子？如不能增多，请给予证明；如能够增多，可增 多多少（说明：放置时，线段 AB只能按水平或

19、垂直方向）？（水平但错位放置时，可放置X 2=107 ,多放置7枚。垂直不合。）A®5-4匪-32.2. 4 改变于条件我们编题，切不能为编题而编题，如果说，要对一道题加以改造形成新题，那一定要显现有旧题变动 的原因，新题成立的新意。否则，还不如不改。试看下例：例1已知P是椭圆外一点，过 P作两切线I 1 > I 2, F1'是焦点Fi关于I i的对称点，F2'是焦点 F2关于I 2的对称点。如图 6-1，证明 PF1' F2 PF1F2'。应该说，这是一个蛮不错的题，但圆锥曲线的切线问题现在的平面解析几何教学已经淡出；又题目的 解决虽然会用到椭

20、圆的相关性质（如光学性质），但离教学较远，要证明的问题也过于平面几何化。那么,怎么进行变化与改造呢？笔者拟成为题7如图6-2, Fi、F2是椭圆的两个焦点，P、Q是椭圆上直线F1F2上方的任意两点，连 F2P并延长 至A，使PA=PFi ;连FiQ并延长至B，使QB=QF2。M是AFi中点，N是F?B中点。直线i 1过M、P, 直线 i 2 过 N、Q, i 1 A i 2=c。证明 C到AF2的距离等于C到FiB的距离。经这样一改，虽然MP、NQ仍是椭圆的切线，却不涉及切线概念；而对称条件却使垂直平分线的概念强化，比原题更容易引发i 1、i 2上的点到A、Fi的距离及F2、B的距离分别相等；

21、又结果按点到直线的距离给出，更切合解析几何的知识点。而饶有余味的竟是，证明C到AF2及FiB的距离相等应转化为证明全等三角形 CAF2与CFiB的两条高相等。虽然证明的过程大致相仿，但|AF2|=|FiB|=2a的定义应用之关键比原题容易想到，因此也比原题便于证明。这就使问题的改编圆满成功。例2 AB是抛物线y2=2px （p>0）的焦点弦，M是准线与x轴的交点。如图 7, AP平行于准线，如果 MB 丄 AB，证明 |AP|=BP|。如例i 一样，证明的要求太平面几何化。引发的思考不妨取AB中点N,证明MB / NP （即着眼于等腰厶PAB的中线、AB上的高线、/ APB的平分线NP的

22、三线合一）。但事实上，延长AP交抛物线于 Q, Q与A关于抛物线为轴对称。 既然|PA|=|PB|=|PQ|,不如说明 ABQ 为直角三角形。由此原题改编为题8 AB是抛物线y2=2px的焦点弦，M是准线与x轴的交点，A关于x轴的对称点是 Q,如图7, 如果MB丄BA，求证 M、B、Q在一条直线上。这样改动，解析几何、垂直关系、三点共线，题目的意蕴浓多了，证明方法的选择也更自由了。特别 是向量法，与教学热点贴得更紧。2.2. 5挖潜以推广解析几何中的椭圆与双曲线呈对偶关系，圆锥曲线又把有心曲线椭圆与双曲线及无心曲线抛物线囊括为整体的知识域。因此，椭圆的命题也许双曲线中有对偶关系；能够在圆锥曲线

23、之其一成立的命题，在其 他曲线中也能成立吗？事实表明，圆锥曲线中的命题或性质、相关结论等等，思索研究的潜力或余地大得 很。前面提到的抛物线、椭圆、双曲线的顶点弦OP、OQ, 0P丄OQ , PQ总过定点，就是一例。简单来说，题7,题8都有挖潜结果或对偶结论：题9如图8, Fi, F2是双曲线的两个焦点， Q, P是双曲线上的点，且 P FiQ，延长PFi至A，使 PA=PF2；延长QF2至B，使QFi=QB。取AF2中点M，过M、P作直线i i；取FiB中点N，过N、 Q 作直线 i 2。i i A i 2=C。证明 C到AQ的距离与 C到QB的距离相等。（先证 CFAB CBF）09-1图X

24、118题10 AB是圆锥曲线的焦点弦（如图 7图9-1，图9-2）, M是准线与x轴的交点，弦 AQ平行于 准线，如果 BM丄BA，证明M、B、Q在一条直线上。有趣的是，本人发现且证明题10之后不久，就看到有关杂志上更理想的结果。4其实在题10中，即便去掉BM丄BA的条件，三点共线的结论依然成立。2.2. 6拓展于结论同其他知识域一样，解析几何知识域，由于数形结合最紧密，因此，图形、线条之间的特征与数据结 构往往更丰富。如上所述自编、改变数学题的过程，其中就蕴含着很多的特征规律与数据结构。我校本年 级组内同仁曾提议解决抛物线的找出焦点尺规作图问题。本人进一步探索，且一举解决所有圆锥曲线用尺 规

25、作出焦点的问题。解决过程就用到相关解析几何题的特征规律与数据结构。这就是题11用直尺、圆规作出仅有圆锥曲线图形（其中抛物线给定顶点）的曲线焦点。解：作法如下：（1）对于抛物线， 以0为圆心，任意长为半径作弧，交抛物线于A、B，连AB（中点为M）; 作AB的垂直平分线，此即 X轴；过0作Y轴（即以0为圆心，作任意长为半径形成线段的垂直平 分线）； 作任意弦 OP、0Q,使0P丄0Q ; 连PQ交0X轴于N，由熟知的结论， N为定点，|0N|=2P; 在X轴上取 0N的1/4点，如图10-1，即F, |0F|=P/2。（2）对于椭圆， 先作两平行弦，及两平行弦的中点连线，如法炮制平行弦的中点连线；

26、两中点连线交于0,此即椭圆中心； 以0为圆心，任意长为半径作弧，再作弦PQ,作PQ的垂直平分线X轴； 过0作Y轴； 对X轴、Y轴上的顶点A、B,显然|0A|=a, |0B|=b，以B为圆心，0A长为半径作弧交X轴于F, 如图 10-2, 0F = J|bf|2 |bo|2 =c.0pK F /CV/aME10-1（3）对于双曲线， 作法同于（2）,作得0点，X轴、Y轴；顶点A ； 以0为圆心，0A为半径作圆； 作任意半径 0Q并延长至任意双曲线形内 M点；以M为圆心，MQ为半径作圆与圆 0相切，交X轴于F, F即焦点。如图10-3，设P为圆M与双曲线的交点，贝U |PF' |PF|=2

27、a,即|M0| |MF|=a，即|OM|=|MQ|+a，为 两半径之和。Eio-3说明10前苏联有竞赛题： 在坐标平面 OXY上画了函数Y=X2的图象，然后擦去坐标轴，仅留下一条抛物 线，怎样用圆规和直尺重新作出坐标轴和长度单位。其实抛物线不给出顶点也可以作出坐标系：两条平行弦的中点连线m平行于丫轴，作m的垂线交抛物线于AB , AB的垂直平分线就是 Y轴2° “找”出椭圆的中心，曾是上海2004年的春季高考题。这样，本文开始“ 1 解题”中提到的例2，由是在此处给予了解决。双曲线上长轴为直径的圆与焦点 及双曲线上任意一点线段长为直径的圆相外切，居然在此作图题中能得以应用。利用4，题

28、11不仅可作出圆锥曲线的焦点，还可进一步作出圆锥曲线的准线。出于对篇幅的考虑，这样那样的编题成因不再举例。事实上，各种因素也是综合起作用的。但对于编 题、改题的的话题，还是有必要简略地总结一下：10不能为编题、改题而编题、改题。20编题也好，改题也好，都要具有创意，具有新意，具有解题意蕴。尤其是改题，决不能只是数据的 简单变动。要尽量看不出它就是某某题。否则便无意义。30编题、改题都要有明确的检测方向。要有适宜的解题对应背景。比如是用于竞赛，用于高考（或模 拟考），用于测验或练习。不同的用题场合，显现不同的特色。40编题、改题要指明出处或缘由（对于编书中的用题，由于题广量大，编辑许可时可不必一

29、一标明）3. 组题所谓组题，就是针对总复习、一学期、某阶段、一个知识域所整合的一份考试卷或练习卷。从国家来 说，高考卷就是最讲究的组题卷。一般来说，一个年级组一个学习段的考试卷的拟成，往往最正常的途径就是在各种相关资料中找出若 干认为切合的题，按定型定量的方式列序付印而已。尽管组题最好能最多具有编题、改题的成份，但基于 时间、精力的现实，一般这么做的情况并不多。即便如此，决不等于说，组题可以不讲究，组题没什么要 求。对于这些，并不是所有教师都有很好的认识，都有正确的认识。即便是较高层次的组题者，甚至所谓 专家，也未必观点、理念都十分到位。笔者对此说一些浅见，欠妥不当之处欢迎批评指正。组题的目的

30、必须端正。不论是哪类试卷，都要重视试卷的内容与考试的要求及方向相对应；且这样 的要求及方向，还得与时俱进，宏观上与培养训练素质能力挂钩，突出创意、新意；微观上与当前教学状 况挂钩。立足基础知识基本机能的强化与巩固。以上海而论，自主命题，尤其是近数年来，高考试卷的质 量越来越被社会所肯定，应是试卷评价考察追求的方向。现在各相关学校的各类考试，笔者以为这方面的 差距还很明显。由于自编、改编题客观上很少，于是组题时，拼命在各类资料中搜索，首先生怕有关题被 别人做到猜到。这其实是个误区。考查的目的是检验学生对知识、特别是基础知识重要知识关键知识的理 解、掌握与巩固。不在于相关题平时练习的多少，是否被做

31、过。由于组题者极力求异，往往使考题偏离方 向，在主次重轻上失衡。比如有一次的高二期末试卷的第12题（填空题）：连接抛物线上任意四点的四边形。可能是 （填写所有的正确选项的序号）c（*）菱形三条边相等的四边形梯形 平行四边形有一组对边相等的四边形一般来说，如果安排 12道填空题，题12虽然是小题，地位却举足轻重。这道题检验抛物线什么样的知识内容呢？知识点的解决用到什么样的解题思路与方向呢？组题的轻重配置必须得当。现在有些题组，大题不像大题，小题不像小题：大题按选择填空给出也 可以，小题有时比大题求解还费时费力。小题的结果设置，由于题目措词与要求不当，给解答的评判带来 麻烦与不公。比如有些不等式的

32、求解问曰：不等式的解集是 。对于2<x<3 , x （2,3） , x x|2<x<3。第一种解答判错，显然抹杀了与不会解、解不出、解错了 的区别。这些显然都是偏向。小题应以检验对知识的把握为准，尽量不出现解答过于对应不上知识点，过于对应不上解题思路的 问题。由于对知识理解掌握的深刻熟练的程度差别而形成解题的用时用力的程度差别是正常的；由于思索 茫然导致的用时用力的程度差别是不正常的。如刚才提到的题（*），就是一道作为试题的坏题：也许花上相当的时间脑力还不得要领；又五种选择思考，一个搞错前功尽弃。即便做对了，也不知如是做有什么意 义。必须端正一个思想，试题的着重点还在于大题。