第3讲线面垂直与面面垂直(学生版)

1、第3讲线面垂直与面面垂直考试要求1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求知 识 梳 理1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(

2、2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“×”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()2给出下列命题：如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面；如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；如果平面平面

3、，平面平面，l，那么l平面；如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面.其中错误的命题是_(填序号)3(2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，给出下列结论：ml；mn；nl；mn.其中正确的是_(填序号)4(2017·盐城模拟)设，为互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：若，则；若，且l，则l；若直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面垂直；若内存在不共线的三点到的距离相等，则平面平行于平面.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)5(必修2P42习题16)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若

4、PAPBPC，则点O是ABC的_心(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心考点一线面垂直的判定与性质【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(，a，la，ll)(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想【训练1】 (2017

5、83;泰州期末)如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求证：PACD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】(2015·山东卷)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH. 规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【训练2】 如图，在三棱锥PABC中，

6、平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分别为AB，PA的中点(1)求证：PB平面MNC；(2)若ACBC，求证：PA平面MNC.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度一平行与垂直关系的证明【例31】 (2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.规律方法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用命题角度二平行垂直

7、中探索性问题【例32】 如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BCCE，点F为CE的中点(1)证明：AE平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点【训练3】(2017·南通调研)在如图所示的几何体中，面

8、CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.(1)求证：AC平面FBC；(2)求四面体FBCD的体积；(3)线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由思想方法1证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a，ala；2证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3转化思想：垂直关系的转化易错防范1证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件2面面垂直

9、的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误4在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2017·南京调研)对于直线l，m，平面，m，则“lm”是“l”成立的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)2(2017·深圳四校联考)若平面，满足，l，P，Pl，给出下列命题：过点P垂直于平面的直线平行于平面；过点P垂直于直线l的直线在平面内

10、；过点P垂直于平面的直线在平面内；过点P且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面.其中假命题为_(填序号)3如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_4在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中正确论断的序号为_5(2017·苏北四市联考)已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm；lm；ml；lm.其中正确的命题是_(填序号)6如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面M

11、BD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)7(2017·徐州检测)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是_(填序号)8(2016·全国卷改编)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填序号)二、解答题9(2017·苏州调研)如图，ABC和BCD所在平面

12、互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积10(2017·盐城模拟)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB2AD，PD底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PDE平面PEC.能力提升题组(建议用时：20分钟)11(2017·苏、锡、常、镇四市调研)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面：若mn，n，则m；若m，则m；若m，n，n，则m；若mn，n，则m.上述命题中为真命题的是_(填序号)12(2017·南京师大模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O，给出下列结论：O是AEF的垂心；O是AEF的内心；O是AEF的外心；O是AEF的重心其中结论正确的是_(填序号)13如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边