第五讲 矩阵的分块、矩阵的初等变换

1、第五讲 矩阵的分块、矩阵的初等变换教学目的：1. 介绍矩阵分块时的代数运算；2. 讲解矩阵的初等变换及其应用；重点是初等变换的过程和应用。教学内容：第二章 矩阵§ 2.3 分块矩阵；§ 2.4 初等变换与初等矩阵；教材相关部分：§ 2.3 分 块 矩 阵 把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小矩阵的运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。一、矩阵的分块：定义2.9 用一些纵、横虚线将矩阵分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵，各个小矩阵称为的子块。如 其中 ， ， ， 。

2、也可以按行分块： ， 或按列分块： 。二、分块矩阵的运算：对分块矩阵进行运算时，可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理，但应保证运算的可行。1. 分块矩阵的加法、数乘、转置：定义2.10 设矩阵、是两个同规格矩阵，且分块法一致，即：，其中每一与的规格都对应相同，则规定加法为：； (2.26) 设为数，则规定数乘为： ； (2.27) 此外，规定转置为： 。 (2.28) 2. 分块矩阵的乘法:定义2.11 设是矩阵，是矩阵。若将分为个子块 ，将分为个子块，且的列与的行分块法一致，则规定与的乘法为： (2.29)其中，。三、分块对角阵：若阶方阵的一个分块形式只在主对角线上有非零子块，即，其中是

3、阶小方阵（阶数可不同），而其余的非主对角子块都为零矩阵，则称为的分块对角矩阵。例如：若记 ， 则，。定理2.3 分块对角阵有以下性质：（1）若，则；（2）若为同阶分块对角阵且分块法相同：、，则 ， ； （2.30）（3） ，； （2.31）（4）若每一，则有。 （2.32） 证：（1）证明见本章附录。类似于（1）的证明，可以引出推论：分块上三角阵，其中主对角子块均为方阵（未必同阶），则有 。由此可知分块三角矩阵A可逆的充要条件是 。分块下三角阵亦然。 （2）、（3）由分块矩阵的加法和乘法、转置和数乘的定义直接可得。 （4）由知存在，由 便得 。例2.11 设A =，B =，求AB。解：令，则

4、A=，B=。于是， ， =所以 AB=。例2.12 设，其中皆为可逆方阵（不必同阶），求证可逆，并求。证：由（1）的推论知 ，故可逆。设，其中、分别与、是同阶方阵。由，得矩阵方程组， ， ， 。 由此解出： ，所以可逆，且有 。 （2.33）类似可证 .。 （2.34）§ 2.4 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵一、初等变换的基本过程：定义2.12 下面三种行变换称为矩阵的初等行变换：（1） 对调两行（对调、两行记为），称为对调变换；（2） 用数乘某一行中所有元素（第行乘记为），称为倍乘变换；（3）把某一行所有元素的倍加到另一行的对应元素上（第行的倍加到第行上记为），称为倍加变换。

5、将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义（将记号换成）。矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。初等变换都存在着逆变换，如变换的逆变换就是其本身；变换的逆变换为；变换的逆变换为；称”为等价关系，若满足下面三条性质：1 反身性：；2 对称性：若有，则必有；3 传递性：若有、，则必有。容易验证矩阵之间的初等变换满足上面等价关系的三条性质。定义2.13 如果矩阵经有限次初等变换变成，则称矩阵与等价。记为。初等变换的主要作用是化简矩阵而保持其等价性(这在用矩阵解线性方程组中很重要)。化简矩阵A的主要过程是：首先通过初等行变换把化成行阶梯形矩阵（每行首个非零元素的下方全

6、是零），然后继续用初等行变换把化成行最简形矩阵（每一非零行的首个非零元素为1，且这些1所在列的其他元素都为零）。此后如果再用列初等变换，还可将进一步化成等价标准形。例2.13 设，用初等变换将其化简。解：先用初等行变换将其化为行阶梯形，形式上相当于做由上而下的行消元：，就是的一个行阶梯形矩阵。对继续作初等行变换，形式上相当于做自下而上的行回消：， 即为的一个行最简形矩阵，是经初等行变换所能化到的最简形式。由定义知，。若对再进一步作初等列变换，则可得，就是的等价标准形，是所有与等价的矩阵中形式最简单的矩阵。由等价关系的传递性可知，若，则、必定有相同的标准形，反之亦然。因线性方程组与其增广矩阵是一

7、一对应的，所以对增广矩阵的“消元”实质上就是对线性方程组的“消元”；在上例中，若把看成是一个增广矩阵，则其对应的线性方程组如下： （2.35）矩阵对应的线性方程组： （2.36）由于只经行变换得到，知方程组（2.36）与（2.35）等价（同解）；而（2.36）实际上就是消元所得到的最简方程组，求解就容易得多了。特别地，若A为可逆方阵，则，由Cramer法则知，以A为系数矩阵的线性方程组有唯一解，此时最简方程组的系数矩阵恰为单位阵E，因此A E。可见A可逆时，同阶单位阵E既是A的行最简形，同时也是A的等价标准形。二、初等矩阵定义2.14 单位矩阵E经一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。三种初

8、等变换对应三种初等阵： 1、对调变换得对调初等矩阵：由单位矩阵的第、j行（列）对调而得到的初等矩阵。记作 2、倍乘变换得倍乘初等矩阵：由单位矩阵第行（列）乘而得到的倍乘初等矩阵。记作； 3、倍加变换得倍加初等矩阵：由单位矩阵的第行的k倍加到第行而得到（也就是由单位矩阵E的第列的k倍加到第列而得到）的初等矩阵。记作 （） （）可直接验证：用一个初等矩阵乘矩阵的结果等于对矩阵做了一次初等变换，具体说就是： 导致的第，行对调；导致的第，列对调；导致的第行乘；导致的第列乘；导致的第行的倍加到第行；导致的第列的倍加到第列。于是立即有：定理2.4 设是一个矩阵，对进行一次初等行变换，相当于在的左边乘一个相

9、应的阶初等矩阵；对进行一次初等列变换，相当于在的右边乘一个相应的阶初等矩阵。由 ，知：初等矩阵皆可逆，且它们的逆阵仍为同类初等阵： 。定理2.5 可逆矩阵可表示为若干个初等矩阵的乘积 证：因,则，则存在初等矩阵，使，即得 。推论1 矩阵的充分必要条件是：存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使。(此推论证明留给读者)推论2 对可逆矩阵和同阶单位矩阵作同样的初等行变换，则将变成单位矩阵的同时，单位矩阵也就变成了。证：由定理2.5知，若，则（其中为初等矩阵，）由此推得， 以及 。所以对A和E施行相同的初等变换，则A变成了E，E变成了推论2使我们有了一个求逆阵的更为简便的方法，用分块矩阵表示便是：。例2.14 设，求。解：记 故得 。利用初等变换求逆矩阵的思路还可以用于解方程组；设线性方程组的矩阵形式为，若A可逆，则线性方程组的解为，由推论2：，将E换作得到：，即将变成时，就变成，此即方程组的解。例2.15 求解方程组 。解：记 ，则方程组可写为 。构造增广矩阵 ， 对施行初等行变换： ，则。当然也可先求得（用伴随阵或用初等变换），再得。用初等行变换求的逆矩阵（或求解线性方程组）时，不必验证A是否可逆，如果作变换时左边子块出现了全零行，则表明不可逆，此时需要另行讨论了。例2.16 解齐次方程组 。解：因为齐