圆和扇形的面积

1、第十五讲 圆和扇形的面积【典型例题1】在一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路求路面的面积解析：（米）S=S大圆-S小圆=r2-R2=3.14×（10+2）2-3.14×102=138.16（平方米）答:路面的面积是138.16平方米点评：绕着这个水池修一条宽2米的水泥路的情况如图所示，因此路的面积就是大圆面积减小圆面积，其中大圆的半径是小圆半径加上2米【知识点】1. 圆周长公式用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么C=d或C=2r能解根据实际问题中的半径或直径求周长，能解根据圆的周长求圆的半径或直径 2圆的面积圆所占的平面的大小叫做

2、圆的面积 3圆的面积公式设圆的半径为r，面积为S，那么圆的面积S=r2【基本习题限时训练】101、一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下（ ）平方厘米的纸没用A、2226 B、106.5 C、286 D、656【解】C2、如图阴影部分的面积是（ ）A、19.625 B、78.5 C、39.25 D、以上都不对【解】A 3、将半径为3厘米的圆，扩大到半径为5厘米的大圆，面积增加了（ ）A、9平方厘米 B、725平方厘米 C、15平方厘米 D、16平方厘米【解】D 【拓展题1】用同样的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，它们的面积是否相等？如果不相等，哪个面积大，为什么？【

3、解析】面积不相等，圆的面积大.设铁丝的长为x，由此分别算出正方形的边长是a=，圆的半径r=，那么S正方形=，S圆=.因为164，所以. 【点评】圆的周长和面积的大小都由半径的长度决定，所以先由周长表示出半径，再由半径求出面积，再与正方形相比较。【拓展题2】把三角板放在桌面上，绕着点C将三角板旋转一周后形成如下的图形，如果AB=4厘米，BC=3厘米，AC=5厘米，那么直角边AB所覆盖的面积是多少平方厘米？【解析】S= S大圆-S小圆=AC2-BC2=25-9=16=50.24（平方厘米）【点评】AB所覆盖的面积是一个环形，其中外圆的半径是AC的长，内圆的半径是BC的长【典型例题2】一块正方形的草

4、皮，边长为4米，在两个相对的角上各有一棵树，树上各栓一只羊，绳长4米，问两只羊都能吃到的草的草皮有多少？ 解析： （平方米）绿色阴影部分=4-×4×4=4-8（平方米）阴影部分面积=2×（4-8）=8-16=8×3.14-16=9.12（平方米）答 阴影部分的面积是9.12平方米点评： 根据题意先画出图1，由于栓羊的绳长4米，所以一只羊只能草的的面积正好是以树心为圆心，4米长为半径的圆的四分之一，故两只羊都能吃到的草的面积就是绿色的阴影部分图2先求阴影部分的一半如图3、图4【知识点】圆的面积公式设圆的半径为r，面积为S，那么圆的面积S=r2【基本习题限时

5、训练】1、有一只羊栓在草地的木桩上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到（ ）平方米的草A、50.24 B、25.12 C、12.56 D、 16【解】A2、学校的操场由一个长方形和两个半圆组成，则这个操场的面积是（ ）平方米。 （单位：米）A、8251.2 B、28096 C、13024 D、 611.2【解】C3、两个圆面积的和是40.82平方厘米，已知小圆周长是12.56厘米，求大圆的周长是（ ）厘米A、15.7 B、18.84 C、21.98 D、25.12【解】B【拓展题1】1、 如图，若AC=CD=BD，求阴影部分的面积【解析】S=·22-·12 =9.42平方

6、厘米【点评】图中大、中、小三圆的直径分别是6厘米、4厘米和2厘米，阴影部分的面积是中圆的面积减去小圆的面积.【拓展题2】某开发区的大标语牌上，要画出如图所示（图中阴影部分）的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用的多？ 【解析】句号：；逗号：；问号：问号用得多【点评】句号是大圆面积减去小圆面积、逗号是大圆面积的一半、问号是大圆面积减去四分之一的圆环面积【典型例题3】 如图，正方形的边长是2米四个圆的半径都是1米圆心分别是正方形的四个顶点问：求这个图形的面积.解析： S=4S扇+S正=4×r2+a2=4×

7、;×3.14×（2÷2）2+22=13.42（平方米）答：这个图形的面积是13.42平方米.点评：正方形和四个圆盖住的面积是有四个圆心角是270度的扇形和一个正方形组成的，正方形的边长的一半就是圆的半径.【知识点】1、 正方形面积2、 扇形的面积公式设组成扇形的半径为r，圆心角为nO，弧长为，那么S扇=【基本习题限时训练】1、一个扇形的圆心角是60O，扇形的面积是12平方分米，则扇形所在的圆的面积是（ ）平方分米A、144 B、36 C、72 D、720【解】C2、已知扇形的面积是72平方厘米，如果扇形的圆心角扩大3倍，半径不变，扩大后的扇形面积是（ ）平方厘米A

8、、144 B、288 C、72 D、 216【解】D3、已知扇形的面积是48平方厘米，如果扇形的半径缩小2倍，圆心角不变，缩小后的扇形面积是（ ）平方厘米 A、12 B、24 C、48 D、 6【解】A4、在一块圆形铝片上截去圆心角是70O的扇形，剩余部分的面积是58平方分米，这块圆形铝片的面积是（ ）平方分米A、406 B、72 C、36 D、 144【解】B【拓展题1】一只小狗被一根6米长的绳子拴在一长10米，宽4米的长方形建筑物的墙角上，狗不能进入建筑物活动，求狗能活动到的地面部分的最大面积。小狗【解析】+=87.92平方米【点评】小狗的活动范围如右图。半径为6，圆心角为270度的扇形与

9、半径为2，圆心角为90度的扇形面积和就是小狗的活动范围。【拓展题2】如图是半圆ACB旋转45度所组成的图形，求阴影部分的面积【解析】（平方厘米）【点评】阴影部分面积等于扇形BAD的面积【典型例题4】 一个扇形花坛的周长是194.2分米，圆心角是108O，那么这个扇形花坛的面积是多少？解析：设圆的半径是x分米；×3.14·x +2x=194.2 x=50S扇=r2=×3.14×502=2355（平方分米）答：这个扇形花坛的面积是2355平方分米.点评：扇形花坛的周长是由一段弧长和两条半径组成的，我们根据扇形的周长可以求出圆的半径，然后求出扇形的面积.【知识

10、点】1、弧长公式设圆的半径为r，nO圆心角所对的弧长是，那么2、扇形的面积公式设组成扇形的半径为r，圆心角为nO，弧长为，那么S扇=3、扇形的周长是由一段弧长和两条半径组成的【基本习题限时训练】1、将圆分成两个扇形，圆心角之比为3:5，大扇形面积为25cm,则大扇形比小扇形大（ ）cm。 A、20 B、15 C、5 D、 10【解】D2、下列说法正确的是（ ）A、圆的周长与半径之比为圆周率B、扇形的半径越大所对的弧越长C、周长相等的圆面积相等D、扇形是圆的一部分，所以圆面积一定大于扇形面积【解】C3、图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米（保留两位小数）。A、4.71 B、2.36 C、5.89

11、D、 15.31【解】C4、一个扇形如果半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，则面积（ ）A、和原来一样大 B、 扩大为原来的3倍 C、缩小为原来的 D、 扩大为原来的9倍【解】B【拓展题1】右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是多少平方厘米.2 【解析】（平方厘米）.【点评】由图示可知,图中阴影部分面积为两个圆心角为的扇形面积减去直角三角形的面积. 【拓展题2】 有一个著名的希波克拉蒂月牙问题如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形（阴影部分）已知直径AC为6cm，直径BC为8cm，直径AB为10cm（1） 将直径分别为AB、AC、BC所作的半圆面积分别记作SAB、SAC、SBC分别求出三个半圆的面积（结果保留）（2） 请你猜测：这两个月牙形（阴影部分）的面积与三角形ABC的面积之间的数量关系，并说明理由.【解析】 SAB=r2=×（10÷2）2=SAC =r2=×（6÷2）2=SBC =r2=×