信号与系统第八章

1、第八章第八章 DTS的变换域分析的变换域分析 8.1 引言引言 在在CTS中中 时域时域复频域复频域CT函数函数f（t）的微分方程）的微分方程 f(t)的代数方程的代数方程LT在在DTS中中DT函数函数f（t）的差分方程）的差分方程ZTZT f(k)的代数方程的代数方程Z域域FFT8.2 Z变换及其性变换及其性质质8.21 Z变换的定义及收敛区变换的定义及收敛区1、定义、定义抽样信号的表示式为抽样信号的表示式为kTkTttfttftf)()()()()(kkTjektf)(dtekTttfktj )()(将将 F(j) 记为记为 F(z) ；f (kT) 记为记为 f ( k), 则有则有引入

2、复变量引入复变量 z ，并令，并令TjezdtekTttftfjFktj )()()()( kkzkfzF)()(8-1a)或记为或记为kkzkfzFkf)()()( 若将求和限制在若将求和限制在 0 k 范围内，则得范围内，则得 (8-2)0)()()(kkzkfzFkf 此式称为单边此式称为单边 Z 变换式（右边序列）。变换式（右边序列）。若若 f(k) 是左边序列，即当是左边序列，即当 k 0 时，时，f(k)=0，则其，则其 Z 变换为变换为1)()(kkzkfzF令令 k = -n，则，则 1)()(nnznfzF此式中的此式中的 n 可改写为可改写为 k ，其结果不变，则得，其结果

3、不变，则得1)()(kkzkfzF(8-3)此为左边序列的此为左边序列的 Z 变换。变换。因此，式因此，式 (8-1a) 可写成可写成1010)()()()()()(kkkkkkkkkkzkfzkfzkfzkfzkfzF(8-1b)2、收敛区、收敛区（1）单边）单边ZT的收敛区是在的收敛区是在 z 平面内以原点为中心的一圆的平面内以原点为中心的一圆的圆外，圆的半径视函数圆外，圆的半径视函数f（k）而定。）而定。 设设 f(k)=ak (k) a为正实数为正实数 210) 2 () 1 () 0 ()()(zfzffzkfzFkk 22101)(zaazzazFkkk公比公比q=az-1 ，当，

4、当1za或或za，其和为，其和为azazzazqzF11111)(Im(z)Re(z)az 平面平面0设某离散信号为设某离散信号为f（k），若），若当当b，则无收敛区，则无收敛区，ZT不存在。若不存在。若a b，则收敛区是在以圆点为中心，则收敛区是在以圆点为中心，外径为外径为b，内半径为，内半径为a的一个原环带区域，的一个原环带区域，kkkzkfzkf)()1()1(limakbkk k a|z|/b 1或或|z|b收敛区为收敛区为 a |z| |a|1)()() 1()(21azaazzzFzFkakakk2、移序特性、移序特性（1）单边）单边ZT，且，且f(k)为有始序列为有始序列 若若

5、f(k) F(z) 则则 f(k+1) zF(z)-f(0) 以及以及 f(k+n) znF(z)-10n)(znkkzkf0) 1(0) 1()() 1(kkkkzkfzzkfkf证：证：) 0 ()() 0 ()() 0 () 0 ()()(011fzFzfzjfzffzjfzzjfzjjjjjj(8-9a)1()0()()0()0()()2(22zffzzFzffzzFzkf1推广推广令令j=k+1021)()()2()1 ()0()()(kknnnnnnzkfzzFzfzfzfzzFznkfn-1(8-9b)上式称为左移（超前）性，同样可得到右移（延迟）序列的单边上式称为左移（超前）性

6、，同样可得到右移（延迟）序列的单边ZT为为0110110)1(10)1()()1()()()1()1()1(jjjjjjkkkkzfzjfzzfzjfzzjfzzkfzzkfkf因为因为 f(k) 为有始序列，当为有始序列，当 k 0 时，时，f(k)=0；所以；所以 f(-1)=0。故故应用此式，可求得应用此式，可求得(8-10a)()()1(101zFzzjfzkfjj推广推广)()(zFznkfn(8-10b) nnzkznk若若 f(k) 为双边序列，且进行的变换是双边为双边序列，且进行的变换是双边 ZT ，则，则)()(zFznkfn此式与（此式与（8-10）相同。）相同。证：证：

7、)()(zFzzjfzznkfzznkfnkfnkjnnkknkk同理可证得同理可证得f(k+n) znF(z)此式与（此式与（8-9）不同。）不同。3. 尺度变换特性尺度变换特性设设 f(k)=F(z)， 则则 akf(k)=F( )za(8-12)4. 时域线性加权和时域线性加权和 z 域微分特性域微分特性设设 f(k)=F(z)， 则则 kf(k)=-z F(z)ddz（8-13）证：证：0)()(kkzkfzF0101) 1()()()()()(kkkkkkfzzkkfzzkfkdzzdF证：证：)()()(00kfazkfaazkfazFkkkkkk 即即 由单位阶跃序列的由单位阶跃

8、序列的 z 变换运用变换运用 z 域微分性质可得斜变序列域微分性质可得斜变序列 k (k) 的的 Z 变换变换dzzdFzkkf)()(1,11)(2zzzzzdzdzkk(8-14a)以及以及1,111)(322zzzzzzdzdzkk(8-14b)5. 卷积定理卷积定理设设 f1(k)=F1(z)， f2(k)=F2(z)，则则 f1(k) f2(k)= F1(z) F2(z)(8-15)6. 初值定理和终值定理初值定理和终值定理 设设 f(k) 为有始序列，且为有始序列，且 f(k)=F(z)，则，则 f(k) 的初值为的初值为 )()()()()()()()()()()()(21201

9、0201002102121zFzFzFzjfzjkfjfzjkfjfjkfjfkfkfkjkkjkkkjkj 证：证：)(lim)0(zFfz(8-16)而而 f(k) 的终值为的终值为 zFzkfzk1lim)(lim1(8-17)证证：（：（ 1）初值定理初值定理（2）终值定理）终值定理 由移序特性，有由移序特性，有21)2()1()0()(zfzffzF)0()2()1 ()0(lim)(lim21fzfzffzFzz取极限取极限) 0()() 1()() 0()()() 1(zfzFzzFzfzzFkfkf)() 1() 0()() 1(kfkfzfzFz移项后，得移项后，得 )(li

10、m)()() 0 () 0 ()() 1() 2 () 3 () 1 () 2 () 0 () 1 () 0 ()() 1() 0 ()() 1(lim) 0 ()() 1(lim) 0 (lim)() 1(lim001111kfffffkfkffffffffkfkffzkfkffkfkfzfzFzkkkkzzzz 即即 8.3 反反Z变换变换 zFzkfzk1lim)(lim1若若 F(z)= f(k) 则则 f（k）= -1F(z)1、幂级数展开法（长除法）、幂级数展开法（长除法） 201) 2 () 1 () 0 ()()(zfzffzkfzFkk 要点要点 先将先将F(z)的分子和分母

11、按的分子和分母按z的降幂排列，然后进行长除，由其结果的降幂排列，然后进行长除，由其结果即得以序列形式表示的即得以序列形式表示的f(k). 特点特点 可直接得到原函数序列的开头若干个数，一般难以得到序列可直接得到原函数序列的开头若干个数，一般难以得到序列f(k)的的通式。通式。2、部分分式展开法、部分分式展开法 要点要点 将给定的将给定的F(z)分解成部分分式，使每个分式都是较简单的基本分解成部分分式，使每个分式都是较简单的基本ZT形形式，把它们进行反变换后相加得到对应得原序列。式，把它们进行反变换后相加得到对应得原序列。 zz先展开先展开 F(z)/z，然后每一分式再乘以，然后每一分式再乘以

12、z 。（1）F(z)只有单阶极点只有单阶极点利用利用(k)1和和当当F(z)有有n个单阶极点个单阶极点v1、 v2、。、。 vn ，则，则nnvzBvzBzBzzF 110)(zzk，即可得，即可得 niiinnzzBBzzBzzBBzF10110)( (8-20)()()()()(110kBkBkBzFkfknnk 3. 围线积分法（留数法）围线积分法（留数法） （自学）（自学）P69 (8-22)8.4 ZT 与与LT 的关系（的关系（z 平面与平面与 s 平面的映射）（自学）平面的映射）（自学）8.5 DTS的的Z变换分析变换分析法法1、零输入响应、零输入响应yzi(k) a2y(k+2

13、)+a1y(k+1)+ a0y(k)= b2e(k+2)+b1e(k+1)+ b0e(k) (8-28)当当e(k)=0，可得相应的齐次差方程式，可得相应的齐次差方程式 a2y(k+2)+a1y(k+1)+ a0y(k)= 0 (8-29a)对上式进行对上式进行ZT，根据移序特性，可得，根据移序特性，可得 a2z2y(z)- z2y(0) - zy(1) +a1 zy(z)- zy(0) + a0y(z)= 0整理后得整理后得 ( a2z2+ +a1 z + a0)y(z) = a2 y(0) z2+ a2 y(1) z +a1 y(0) z 故得故得 将将yzi(0)和和yzi(1)代入上式

14、，并进行反代入上式，并进行反ZT即可求得即可求得01221222)0() 1 ()0()(azazazyazyazyazyzizizizi)()(zykyzizi -1对于对于n阶系统，阶系统，0)1(0kyanii对上式进行对上式进行ZT,整理可得一般公式整理可得一般公式)()(zykyzizi -1niiiniikkiziizizazkyazy0010)()(代入初始条件，并进行反代入初始条件，并进行反ZT即可求得即可求得用用ZT求系统零输入响应的步骤：求系统零输入响应的步骤：（1）、将系统的齐次方程进行）、将系统的齐次方程进行ZT；（2）、代入初始条件，求出）、代入初始条件，求出 z 域

15、内的零输入响应域内的零输入响应yzi(z)；（3）、对）、对yzi(z)进行反进行反ZT即可得到零输入响应即可得到零输入响应yzi(k)。2、零状态响应、零状态响应yzs(k) yzs(k)=h（k） e（k） 对上式进行对上式进行ZT，有，有 yzs(k)= h（k） e（k）= H（z）E（z） 其中其中 H（z） h（k）和）和E（z） e（k）。）。 称称H（z）为离散系统函数。）为离散系统函数。 a2y(k+2)+a1y(k+1)+ a0y(k)= b2e(k+2)+b1e(k+1)+ b0e(k) (A)设初始状态为零，对上式进行设初始状态为零，对上式进行ZT,可得可得 a2z2y

16、(z)- z2y(0) - zy(1) +a1 zy(z)- zy(0) + a0y(z) =b2z2E(z)- z2e(0) - ze(1) +b1 zE(z)- ze(0) + b0E(z)整理后得整理后得 ( a2z2+ +a1 z + a0)y(z)- a2z2 y(0) - a2z2 y(1) -a1 zy(0) = ( b2z2+ +b1 z + b0)E(z) - b2z2 e(0) - b2ze(1) -b1 ze(0) (B)令令 k=-2和和-1， 考虑到考虑到 k 时，时，e(k)=0 a2y(0)= b2e(0) 和和 a2y(1)+ a1y(0) = b2e(1)+

17、b1e(0) 即即y(0)=b2e(0)a2y(1)=将将y(0)、 y(1)代入（代入（B)得得1a2b2 e(1)+ b1 e(0)-a1 b2e(0)a2( a2z2+ +a1 z + a0)y(z)- a2z2 - a2z2 -a1 zy(0) = ( b2z2+ +b1 z + b0)E(z) - b2z2 e(0) - b2ze(1) -b1 ze(0) b2e(0)a21a2b2 e(1)+ b1 e(0)-a2 b2e(0)a2整理后得整理后得 ( a2z2+ +a1 z + a0)y(z)= ( b2z2+ +b1 z + b0)E(z)故故01220122)()()(aza

18、zabzbzbzEzyzHzs由上式对二阶差分方程的结果推广到由上式对二阶差分方程的结果推广到n阶差分方程阶差分方程any(k+n)+an-1y(k+n-1)+ a1y(k+1) +a0y(k)= bme(k+m)+bm-1e(k+m-1)+ b1e(k+1) +b0e(k)011011.)(11azazazabzbzbzbzHnnmmnnmm（8-36）若令若令e(k)= (k)时，时， y(k)即为即为h(k), h（k） H（z） 把把 S复变量复变量z 转移函数转移函数用用ZT求求 yzs(k) 的步骤如下：的步骤如下：（1）用移序算子将系统的差分方程写成算子形式；）用移序算子将系统的

19、差分方程写成算子形式；（2）写出转移算子）写出转移算子H（ S ），以），以z代替代替S即得系统的系统函数；即得系统的系统函数；（3）以）以e(k)的的ZT E（z）与）与H（z）相乘，得到）相乘，得到yzs(z)；（4）对）对yzs(z)进行反进行反ZT 即得即得yzs(k)。3、系统的全响应、系统的全响应y(k).()()() 0() 1 () 0()()(012212220122AzEbzbzbzyazyazyazyazazazizizi整理后，可得整理后，可得)() 0() 1 () 0()()()(0122012201221222zEazazabzbzbazazazyazyazyaz

20、yzyzyzizizizszi).()() 1()2()() 1()2(012012Bkebkebkebkyakyakya(8-37a)yzs(0) =b2e(0)a2yzs(1) =b2a2 e(1)+a1 b2e(0)a2b1a2-系统响应总的初始值系统响应总的初始值y(0) = yzi(0)+ yzs(0) y(1) = yzi(1)+ yzs(1) 把上述式（把上述式（B）双方进行）双方进行ZT，可有，可有zebzebzebzEbzbzbzyyazyyazyyazyazazazszizszizszi) 0 () 1 () 0 ()()() 0 () 0 () 1 () 1 () 0 (

21、) 0 ()()(1222012212220122zebzebzebzEbzbzbzyazyazyazyazaza) 0() 1 () 0()()() 0() 1 () 0()()(1222012212220122把把y(0) 、 y(1) 代入上式，得代入上式，得求系统全响应求系统全响应ZT的方法：的方法：（1）将描写系统的差分方程进行）将描写系统的差分方程进行ZT。（2）消去变换式中有关激励信号初始值）消去变换式中有关激励信号初始值e(0)、e(1)等诸项，并以等诸项，并以yzi(0)、 yzi(1)等代入。等代入。（3）求出全响应的）求出全响应的ZT y(z) 。（4）对对y(z) 进行

22、反进行反ZT得到时域内的响应得到时域内的响应y(k）。）。(8-38)4、DTS与与CTS的变换域分析法比较的变换域分析法比较 （1）、特征根的物理意义以及它们所确定的自然响应的形式互不相同。）、特征根的物理意义以及它们所确定的自然响应的形式互不相同。 （2）、稳定性的判别不同。）、稳定性的判别不同。 （3）、在时域中求状态响应的运算方法不同。）、在时域中求状态响应的运算方法不同。在在CTS中，中， 在在H(z)的分子分母没有公共因子相消时，其分母多项式构成的方程式的分子分母没有公共因子相消时，其分母多项式构成的方程式 anzn + an-1zn -1+ a1z + a0 =0 是是DTS的特

23、征方程的特征方程 。方程的根是系统的特征根。方程的根是系统的特征根。主要不同之处有：主要不同之处有：kjzsjthjekhkeky0)()()()()(tzsdthethtety0)()()()()(在在DTS中，中，例题例题8-6 一一DTS的转移因子为的转移因子为1 . 07 . 0) 27 () 2 . 0)(5 . 0() 27 ()(2sssssssssH系统的初始状态是系统的初始状态是y(0)=2,y(1)=4,输入激励为输入激励为 (k), 求系统的响应。求系统的响应。 解：方法一：解：方法一： （1）求）求yzi(k)，由，由H(s)可看出，这里可看出，这里a2 =1， a1

24、=-0 .7， a0 =0 .1)2 . 0)(5 . 0(6 . 221 . 07 . 0)7 . 0(242)0() 1 ()0()(22201221222zzzzzzzzzazazazyazyazyazyzizizizi即即2 .0105 .012)2 .0)(5 .0(6 .22)(zzzzzzzyzi2 . 0105 . 012)(zzzzzyzi故得故得将此式进行反将此式进行反ZT，得，得)()2 . 0(10)()5 . 0(12)(kkkykkzi（2）求）求yzs(k)2.0)(5.0()27()(zzzzzH将此式进行反将此式进行反ZT，得，得又又)()2 . 0(5 .1

25、0)()5 . 0(7)(5 .12)()()(kUkUkUkykykykkzszi)2.0)(5.0)(1()27()()()(2zzzzzzEzHkyzs2 . 05 . 05 . 05115 .12)(zzzzzkyzs)()2 . 0(5 . 0)()5 . 0(5)(5 .12)(kUkUkUkykkzs故得故得（3）求）求y(k)方法二：方法二：（1）将差分方程双方进行）将差分方程双方进行ZT 由由y(k)=H(S)e(k)可得可得)()27()(1 . 07 . 022kesskyss)(1.07.0)27()(2kessssky2 . 05 . 05 . 0515 .12)2

26、. 0)(5 . 0)(1()27()(zzzzzzzzzkyzs改写成改写成1)(zzk即即将等式双方进行将等式双方进行ZT，得，得)1(2)2(7)(1.0)1(7.0)2(kekekykyky)()27(27.0)1(4)0(2)()1.07.0(222zEzzzzzzyzzzezezezEzzzyzyzyzyzz)0(2)1(7)0(7)()27()0(7.0)1()0()()1.07.0(2222)()27()0(7 . 0) 1 ()0()(1 . 07 . 0222zEzzzyzyzyzyzzzizizi（2）消去变换式中带有）消去变换式中带有e(0)、e(1)的各项的各项并将具

27、体的并将具体的yzi(0)、yzi(1)代入，得代入，得（3）求）求y(z) 将将代入上式，并整理得代入上式，并整理得2 . 05 .105 . 0715 .12)(zzzzzzzy11.07.0271.07.06.22)(2222zzzzzzzzzzzy2 . 05 .105 . 0715 .12)2 . 0)(5 . 0)(1(6 . 24 . 19)(2zzzzzzzzzzy故得故得1)(zzk（4）求）求y(z)的反的反ZT令令k=0和和k=1，求得，求得y(0)=9,y(1)=13.9,yzi(0)=2和和yzi(1)=4)() 2 . 0 ( 5 .10)() 5 . 0 ( 7)

28、(5 .12)()(kUkUkUzykykk-19 . 99 . 427) 0 (17) 7 . 0 () 0 () 2() 1 (7) 0 () 0 () 1 (1) 1 (221122UUUeabaebebayzs717) 0(7) 0() 0(22Ueabyzs因而因而 y(0)= yzi(0)+ yzs(0)=2+7=9， y(1)=4+9.9=13.98.6 DTS的频率响应特性的频率响应特性1、系统函数与频率响应特性间的关系、系统函数与频率响应特性间的关系 在在CTS中，中，H(j)系统的频率响应特性系统的频率响应特性 | H(j)|幅频特性幅频特性 ()相频特性相频特性把把H(s) H(j),即得即得e j kT (-kt)DTS在在e j kT 激励下的零状态响应为激励下的零状态响应为 ).()()(AenheHnnTjTj).()()()(BeeHeHekykTjTjTjkTjzs).()()()()()()()(AenheenhekhkekhkynnnTjkTjTnkjkTjzs令令则有则有DTS对指数序