经典易错题会诊与试题预测10

1、经典易错题会诊与试题预测（十）考点10空间直线与平面?空间直线与平面的位置关系?空间角?空间距离?简单几何体?利用三垂线定理作二面角的平面角?求点到面的距离?折叠问题经典易错题会诊命题角度1空间直线与平面的位置关系1. （典型例题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF丄PB于点F.（1）证明：PA/平面EDB;（2）证明：BP丄平面EFD（3）求二面角CPD-D的大小.考场错解第（2）问证明：TPD=DCE为PC的中点，DE丄PC,.DF在平面PBC上的射影为EF,又由已知EF丄PB,所以根据三垂线定理可得：DF丄PB,

2、又EF丄PB,PB丄平面EFDb专家把脉直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DE丄PC,不能得出EF为DF在面PBC上的射影，应先证明DE丄平面PBC,才能得出EF为DF在面PBC上的射影，再利用三垂线定理。对症下药（1）如图，连接AC、AC交BD于0,连接EOoV底面ABCD为正方形，0为AC的中点，在PAC中，E0是中位线，PA/EO,又E0二平面EDB,且PA二平面EDB,所以PA/平面EDB;（2）vPD丄平面ABCD,平面PDC丄平面ABCD,又底面ABCD为正方形，BC丄CD,.BC丄平面PCDBC丄DE,又DE丄PC,DE丄平面PBC,DF在平面PBC上的射影为EF,又EF&#

3、177;PB,DF丄PB,又PB丄EF,PB丄平面DEF;（3）由（2）知，PB丄DF,故/EFD是二面角CPB-D的平面角。由（2）知，DE丄EF,PD丄DB,设正方形ABCD的边长为a贝UPD=DC=aBD=、2a,PB=3a,PC=2a,DE=-PCa,在RtAPDBk,0F=PD*BD-a.在RtAEFD中，sin/22PB3EFD=D3,EFD=.所以二面角CPBD的大小为一.DF2332. （典型例题）下列五个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出I丄面MNP的图形的序号是.（写出所有符合要求的图形序号）考场错解由于I在MN、NP、MP所在的

4、面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质可得I丄MN,I丄MP,l丄NP,.(1)中I丄面MNP;(2)中I在下底面的射影与MP垂直，I丄MP,.|丄面MNP;(3)中取AB的中点E,连接ME、NE,vI在下底面的射影垂直于EN,.I丄EN,.I丄面MEN,I丄MN，同理I丄MP,.I丄面MNP;(4)中I在面ADDiAi上的射影与MP垂直，I丄MP,.I丄面MNP;(5)中取AA1中点E,连接ME,EP,I在面ADDiAi、面ABBi内的射影分别与ME,EPC圈J0-4垂直，I丄ME,.|丄面MP，得I丄面MPN;综合知，本题的答案是(I)、(2)、(3)、(4)、(5)专家把脉直

5、线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。对症下药(I)中I在面ADDiA、AiBiCiDi，内的射影分别为ADi,BiDi，而ADMN,BiDi丄MP,I丄MN,I丄MP,I丄面MNP;(2)中若I丄MN,则取AAi的中点E,连接ME、NE,I在面ADDiAi内的射影为ADi而ADi丄ME,.I丄ME,结合I丄MN，得I丄面MEN,：I丄NE这显然不可能，I与MN不可能垂直，I与面MNP不垂直；(3)类似(2)的证明，可得I与面MNP不垂直；(4)中I丄MP易证，而MN/AC,I丄AC,.I丄MN,I丄面MN

6、P;(5)中取AAi中点E,连接ME,PE,可证得I丄面MEP,.l丄MP,同理可证I丄NP,.l丄面MNP,综上知，本题的正答案是(I)、(4)、(5)。3. (典型例题)如图I0-4所示，在正三棱锥ABCD中，/BAC=30,AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交ABBDDC、CA于E、F、G、H。(1) 判定四边形EFGH的形状，并说明理由；(2) 设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC丄平面EFGH,请给出证明。考场错解(i)TAD/平面EFGH,又平面ACD-平面EFGH=HG-AD/HG,同理AD/EF,EF/HG,同理EH/FG,.四边形EFGH为平行四边形；(2

7、)取AD中点P,连接BP、CP,/ABCD为正棱锥,所以BP丄AD,CP丄AD,AD丄面BCP,又由(1) 知HG/AD,HG丄面BCP,P为所求,此时AP=-2专家把脉正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。对症下药(I)AD/面EFGH面ACD面EFGH=HG二AD/HG,同理EF/AD,所以HG/EF,同理EH/FG,EFGH为平行四边形。又ABCD为正三棱锥，A在底面BCD上的射影0是厶BCD的中心，DO丄BC,根据三垂线定理，AD丄BC,HG丄EH,四边形EFGH为矩形；(2) 作CP丄AD于P点，连接BP,/AD丄BC,

8、AD丄面BCP,HG/AD,HG丄面BCP,又HGr面EFGH二面BCP丄面EFGH在RtAPC中，/CAP=30,AC=a,AP=a2专家会诊解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a/a则过a作一平面3,使3-a=b,再证a/b;第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。考场思维训练1如图10-5所示的四个正方体图形中，A、B为正方体的四个项点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB/平面MNP的图形的序号是(写出所有符合

9、要求的图形序号)答案：解析：中平面MNP/平面AB,AB/平面MNP;中取下底面中心O,MP的中点C,连接NQNC，则由已知AB/NO,ABBNCAB面MNP中AB/MP,AB/平面MNP中AE面MNP填.2如图，在正三棱柱ABC-ABiCi中，AB=AAi,E是棱BB1的中点。(1) 求证：平面AiEC丄平面AAiCiC;答案：连接AiC与AG交于点F,则由条件可得EG=EA,则EF丄AG，同理EG=EA,则EF丄AiC所以EF上平面AAiCiC,而EF二平面AiEC,所以平面AiEC丄平面AAiCiC.(2) 若把平面AiEC与平面AiBiCi所成锐二面角为60°时的正三棱柱称为

10、“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由。答案：延长CE交GBi的延长线于点H,则有CB=BiH=ARi,故/HAG=90。且/CAH=90°,所以/CAC为平面AiEC与平面AiBiG所成的锐二面角的平面角，若此棱柱为“黄金棱柱”，则/CA=60°,应有CC=J弓AC,与条件AB=AA矛盾.此三棱柱不为“黄金棱柱”(3) 设AB=a,求三棱锥A-AiEC的体积。答案：VAi-AiEC=W-AAiC=iEFiAAAC323已知正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，G是侧面PAB的重心，E是BC上的一点，且iBE=-BC,F是PB上一点，且3PF=iPB

11、,如图3(1) 求证：GF丄平面PBC;答案：连接BG并延长交AP于M由C为APAB的重心，贝UMGBM又由PF=GF/MP3/APIBP,AP丄CPAP丄平面PBCGF丄平面PBC(2) 求证：EF±BC;i iii答案：在侧面PBC内作FD/PC交BC于D.tPF=>PB,.DC=iBC又BE=BC,DEBC故BE=DEE为3333BD的中点，由PBC为等腰三角形，得FBD也为等腰三角形.FB=FDEF丄BC.(3)求证：GE是异面直线PG与BC的公垂线。答案：GFL平面PBC且EF丄BC,GELBC,连PG交AB于H,则GH=IPH过C作GN/AB交PB于N,3则BN=i

12、3PB/PH!AB,.PGLAB,.PGLGN11/BN=PB,BE=BC,.NE/PC,而PC上平面PAB,/NE丄平面PAB,又PG二面PAB,.NE丄PG,又3PG丄GN,.PG丄平面GEN,而GEC平面GEN.aPG丄GE,又由GE丄BC,.GE是异面直线PG与BC的公垂线.命题角度2空间角1.(典型例题)如图10-8，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC丄平面ABC,SA=SC=23,M、N分别为AB、SB的中点。(1) 证明：AC丄SB;(2)求二面角NCMB的大小；(3)求点B到平面CMN的距离。考场错解第(2)问：过N作NF丄CM,过F作FE!CM交BC于

13、E点，则/NFE为二面角NCMB的平面角。(此题只做到此处，因为不知E、F的位置，/NFE等于多少计算不出来)。ffl10-9专家把脉求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算。对症下药(1)如图10-9，取AC中点D,连接SD,DB,tSA=SCAB=BC/AC丄SD,且AC丄BD,.AC丄平面SDBo又SB二平面SDB二AC丄SB。(2) 取BD的中点E,连接NE,过E作EF丄CM于F,连续NF,：平面SAC!平面ABCDSD丄AC,.SD丄面ABCD,又N、E分别为SBBD的中点，二NE/SD,N

14、E丄面ABC,又EF丄CM,aNF丄CM,aZNFE为二面角NCMB的平面角。NE=SD=.2,在正ABC中，由平面几何知识可求得EF=-MB=-，在RtANEF中，tan/NEF=2,242EF二面角NCMB的大小是arctan2、2；(3) 在RtANEF中，NF=ef2EN2=3,21 3L_1-&CMN=CMNF=3,Sacmb=BMCM=2'.3.设点B到平面CMN的距离为h,/Vbcmn=VN-CMB,NE2 22丄平面CMB,1&CMNh=SACMBNE,.h=U.即点b到平面CMN的距离为乂。3 3332.(典型例题)在长方体ABCDA1B1C1D1中，

15、已知AB=4,AD=3,AA=2,E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1(1)求二面角C-DEC的正切值(2)求直线ECi与FD所成角的余弦值。考场错解第(2)问：TD1F/DE,：/GED为EC与FD所成的角，DE=3“,C1D=2/5,C1E=/14,2814AClcos/gee=2S3鴛1,EC与FD所成角的余弦值为专家把脉缺少空间想象能力，题中的D1F与DE不平行，实际上D1F与DE是异面直线。对症下药正解一：(1)如图过C作CG丄DE,垂足为G,连接CiGoVCG丄平面ABCD/CG是GG在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得DE丄CiGo/./CGG是二面角CDEG的平

16、面角。在厶ADE中，AE=AD=3,ZDAE=90°,./ADE=45°,得/CDG=45°,.CG=CD-sin/CDG=22./cc1J2tan/CGC=1.CG2二面角CDECi的正切值为2(2)延长BA至点Ei,使AEi=l，连接DE有DiCi/EiE,DiCi=EiE,v四边形DiEiEG是平行四边形。EiDi/EC,于是/EiDiF为EC与FD所成的角。在RtABEiF中，EiF=i26，在RtADiDEi中，DiE=、14，在RtADiDF中，FDi=、24，所以在厶EFDi中，由余弦定理得:cos/E|DiF=正解二：(i)以A为原点，AB,AD,

17、AAi分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、i424_262i4.24Di(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,i,0)Ci(4,3,2)于是DE=(3,-3,0),ECi=(i,3,2),FDi=(-4,2,2).设向量npxyz)为平面CiDEA的法向量，则有niDE,n_EG,得x=y=-gz,令x=i，得n=(i,i,-2),向量AAi=(0,0,2)与平面CDE垂直,.n与AAi所成的角B为二面角CDECi的平面角。cosn*AAKiiAAii_6-3,.tan诗|ECi*FDi|(2)设ECi与FDi所成的角为3,则cos3=|ECi|X|FDi

18、|2i-i43.(典型例题)如图iO-ii,四棱锥PABCD的底面是正方形，(i)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2)若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。考场错解第(2)问：由(i)知PCXMF,AF为AC在面EAM内的射影，/CAF为AC与平面EAM所成的角，通过解三角形FAC,解得sin/CAF°.AC与i0PA丄底面ABCD,AE丄PD,EF/CD,AM=EF。iO。i0专家把脉直线AC与平面EAM所成的角不是就得不出AF为AC在面EAM内的射影，成的角必须是斜线与斜线在平面内的射影所夹的角，所以找射影是关键。对症下药(i)vPA丄平面ABCD,PA丄

19、CD,又V底面ABCD为正方形，CD丄AD,CD丄平面PAD,得平面PCD丄平面PAD,又AE二平面PADAE丄PD,AE丄平面PCD,AE丄CD,又EF/CD平面EAM所成的角的正弦值为直线与平面所/AB,AM=EF,.四边形AMFE为平形四边形，二MF/AE,MF丄CD,MF丄AB,MF丄PC,.MF为异面直线AB与PC的公垂线；（2）解法一：连接BD交AC于0,连接BE,过O作0H丄BE,H为垂足，tAE丄PD,CD丄PD,EF/CD,.EF丄PD,PD丄平面MAE，又0H丄BE,.OH/DE,.OH丄平面MAE。连接AH,则/HAO是直线AC与平面MAE所成的角，设AB=a则PA=3a

20、A0=丄ACu-a，因RtADER1APDA故22ED=AD2PD叮0，OH4E2W，从而吧AH0中,曲HA0=°W解法二：以AB、AD、AP分别为X、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0,0,0）、E（0,AF=（。存細AB*。,。）,设n为平面EAM的法向量，且n=（T可得面EAM的一个法向量为(0,1,-3),AC=(a,a,0)/sina-.,510专家会诊空间的各种角是对点、直线、平面所组成的穿间图形的位置关系进行定性分析和宣量计算的重要组成部分，空间角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握种类角转化为平面角的常用方法，为了实现这种转化，一是靠经验和知识的积累；

21、二是利禄识图和画图的训练；三要以推理为主要依据，求角的一般步骤是：（1）找出或作出要求的角；（2）证明它符合定义；（3）在某一三角形中进行计算，得结果，当然在解选择或填空题时，一些间接方法也经常用。考场思维训练1如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=a现沿AC折成二面角DACB,使BD为异面直线AD、BC的公垂线。（1）求证：平面ABD丄平面ABC;答案：解：（1）TAD丄CDAD丄BD,aAD丄平面BCD二BC丄AD,又BC上BD,二BC丄平面ABD而BC=平面ABC故面ABDL面ABC（2）a为何值时，二面角DACB为45°答案：面ABD上面ABC作DELAB于E,贝UDE!平

22、面ABC作EF±AC于F,由三垂线定理有ACLDF,/DFE为二面角D-AC-B的平面角.在RtADC中，AD=AF.ACr又RtAAFERtAABC,1AFBCABa2，在RUDEF中,cos._DFEEF=a2EF2沪a(3) a为可值时，异面直线AC与BD所成的角为60°。答案：作BMLAC于M过点0作BN/AC与FE的延长线交于点，则BMFN为矩形，且BNLDNDBN为异面直线AC与BD所成的角.MF=AC-2AF=1二a_=BN,BD=.1_a2,12BN又在RtBND中cos/DBNQ,BD1-a.a21，解得a52如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、

23、F分别为BBi、DD1上的点，且AE丄AiB,AF丄AiD。(1)求证：AiC丄平面AEF答案：在长方体ABCD-AB1OD1中，AB为AC在平面ABBA内的射影，：AE上A1BAE丄A1C同理AF丄AC,.AC丄平面AEF(2)若AB=3,AD=4,AA1=5,M是BiCi的中点，求AM与平面AEF所成角的大小。答案：以D为坐标原点，DA,DC,DD分别为x、y、z轴的正方向建立空间坐标系.则A(4,0,0),M(2,3,5),A1(4,0,5),C(0,3,0),AC=(A3,S),AM=(23,5)由(1)得也=(A3,±)为平面AEF的一个法向量,直线AM与平面AEF的所成的

24、角为.19arcsin95.sinr|AM*A|C|AM|A1C|8+9_25|.423252223252_4、19-95已知四棱锥PABCD,底面是边长为2的正方形，侧棱PA丄底面ABCDM、N分别为AD、BC的中点。MQ丄PD于Q,直线PC与平面PBA所成角的正弦值为3如图所示。(1)求证：平面PMN丄平面PAD;答案：MN分别是ADBC的中点，MNLAD又平面PMN平面PMN丄平面PAD.(2)求PA的长;答案：由已知BC丄平面PBABPC是PC和平面PBA所成的角.PC=BC2.3,pb=2.2可得PA=2.sin/BPC(3)求二面角PMNQ的余弦值。答案：由(1)知，MNLPMMN

25、LQM.PMC是二面角PMN-Q的平面角.由(2)知厶PMC为等腰直角三形.且AM=DM=1.810-19cos/PMQ.10To"二面角PMNQ的余弦值为J°.10命题角度3空间距离1 .（典型例题）在空间中，与一个厶ABC三边所在直线距离都相等的点的集合是（）A. 条直线B. 两条直线C. 三条直线D. 四条直线考场错解设该点为P,且P在平面ABC上的射影为O,因为P到厶ABC三边所在直线距离都相等，所以O到厶ABC的三边直线的距离都相等，即OABC的内心，所以本题中符合条件的点在过0且与平面ABC垂直的直线上，所以选A。专家把脉在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的

26、点不只内心一个，实际任意两个角的外角平分线的交点（我们称其为傍心）也符合到三角形三边所在直线等距离对症下药设该点为P,且P在平面ABC上的射影为O,因为P到厶ABC三边所在直线距：甘“.<离都相等，所以O到厶ABC的三边所在直线的距离都相等，即OABC的内心或傍心，所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面ABC垂直的直线上，这样的直线有4秋*条，所以选Do2. （典型例题）如图10-15，在棱长为4的正方体ABCD-AiBiCiDi中，O是正方形AiBiCiDi的中心，点P在棱CG上，且CC=4CF0（1）求直线AP与平面BCGB1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）设O点在平面

27、D1AP上的射影为H,求证：D1H丄AP;（3）求点P到平面ABD1的距离。考场错解第（3）问：IABCD-A1B1GD为正方体，AB丄面BCCB1,二BP丄AB,.BP即为P到平面ABDi的距离，在RtABCP中，BP17专家把脉线面垂直的判定有误，错解中BP丄AB,但BP与平面ABDi不垂直，所以P到平面ABDi的距离不是BP。正解一：（1）如图10-16，连接BP,vAB丄平面BCGBi,AP与平面BCGBi所成的角就是/APBo/CG=4CP,CG=4,CP=1o在RtAPB中，/PCB为直角，BC=4,CP=1,故BP=17.在RtAAPB中，/APB为直角，tan/APB=AB二口

28、7,二/APB=arctan47BP1717连接AiCi,BiDi,：A1B1C1D1为正方形，DiO丄AiCi又AAi丄底面AiBiGDi，二AAi丄DQ,：DiO丄平面AiAPG，由于APU平面AiAOCi,-DiO丄APo：平面DiAP的斜线DiO在这个平面内的射影是DiH,：DiH丄AP。(3) 连接BG,在平面BCClBi中，过点P作PQ丄BG于点Q。：AB丄平面BCCB!,PQu平面BCC&,PQ丄AB,.PQ丄平面ABGDi，二PQ就是P到平面AB0的距离，在RtAGPQ中，/CiQP=90°,/PCQ=45°,PG=3,.PQ=|j2.即点P到平面A

29、BDi的距离为評。正解二：(1)以dA、dC、莎分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间坐标系，/AB丄平面BCGBi, AP与平面BCCBi所成的角为/APBo：CC=4CP,CG=4,.CP=1,A(4,0,0)、P(0,4,1)。B(4,4,0)oPA=(4,-4,-i),PB=(4,0,_i)cos/APB=上A巴=1.直线ap与平面BCCBi|PA|*|PB|33所成的角为arccos空聖；(2)连接DiO，由(i)有Di(0,0,4)、O(2,2,4),DO=(2,2,0),33PA.DQ=0,.PA_DQ又因为DiAP的斜线DiO在这个平面内的射影是DiH。 DiH丄AP;(3)由

30、正方体的性质不难得出BiC为平面ABDi的一个法向量，Bi(4,4,4)、C(0,4,0)、P(0,4,i).BiC=(-4,0,-4),BP=(-4,0,i),.dBiCWBP1二i2.=3,2.P到平面ABDi的距离为2|BiC|W2223. (典型例题)如图i0-i7，在三棱锥VABC中，底面ABC是以/B为直角的等腰直角三角形，又V在底面ABC上的射影在线段AC上且靠近C点，且AC=4,VA=、.i4,VB与底面ABC成45°角。asIo-17圍io(i)求V到底面ABC的距离；(2)求二面角VABC的大小。考场错解(i)过V作VD丄AC,垂足为D,连接BD,由已知有VD丄平

31、面ABC,在直角三角形VBD中，/VBD为直线VB与底面ABC所成的角，/VBD=45°,BD=222=2,.V到底面ABC的距离等于2。4专家把脉BD与AC垂直是错误的，BDM2'2；22，错误的原因是缺少函数方程思想，VD直接计算在本题中做不到，而应设未知数，建立方程来求解。对症下药(i)如图i0-i8，在平面VAC中，过V作VD丄AC于D,连接BD,由已知VD丄平面ABC,/VBD为VB与底面所成的角，/VBD=45°,设CD=x则在RtAVAD中，VDVAAdJmYxI)2=-x2+8x-2,在直角三角形VBD中，/VDB=90°,/VBD=45&

32、#176;,BD2=x2+8-4.2x2=x2-4x+8.在直角三角形VBD中,2/VDB=90°,/VBD=45°,.VD=BD,即-x2+8x-2=x2-4x+8,解得x=i或x=5，又由题意x=5应舍去,x=i此时VD=1)28i_2=温.V到底面ABC的距离为-5;(2)过D作OE丄AB于E连结VE,TVD丄底面ABC,DELAB,.VEXAB,/VED为二面角VABC的平面角。在平面ABC中，CB丄AB,DE丄AB, DE/BC,由(i)知匹二型DE=3BC=鲤，在RtAVDE中，VD=、.5,/VDE=90°DE整,BCAC4'422tanZV

33、ED=53J22¥'.VED希如罟，二面角VABC的大小为arctan罟.专家会诊空间中的距离以点到面的距离为中心内容，大多数距离问题都可以转化为点到面的距离，求法比较灵活，主要有：(1)直接法。过该点作面的垂线，求出垂线段的长度，不过不能只顾作，计算不出来，应先利用线面的位置关系判断垂足的位置；(2)间接解法：利用三棱锥的体积进行等积变换来求解；(3)利用空间向量求解，公式是d=丄叩，其中n为平面的法向量，a为过该点的平面的一条斜线|n|段所确定的一个向量。考场思维训练1 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都为a,P为AiB上的点。(1)试确定竺的值，使得PC丄

34、AB;PB答案：过P作PMLAB于M,连结CMTABC-ABG为正三棱柱，PML平面ABC-PC在下底面上的射影为CMTPCLAB,CMLAB又厶ABC为等边三角形，M为AB中点，即P为AB的中点，A1P丄-1时,PC_AB.PB(2) 若竺，求二面角PACB的大小；PB3答案：过P作PMLAB于N,过N作NQLAC于Q连结PQ根据三垂线定理得ZPQN为二I面角PC-B的平角.PN=?a,NQ=23a，在RtPQN中，tan552S10-2UPQN=a汇=、&,；ZPQN=60.即二面角P_AC_B的大小为60'52.3a(3) 在(2)的条件下，求G到平面PAC的距离。答案：

35、Vc1_pAC=1hSpac=VPcc-aa2,解得h=rC1到平面PAC的距离为.3 135222P2 长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=9,AB=AC=63，N为BC中点，M为A1B的中点,为C1D1的中点，如图，(1) 求点P到平面B1MN的距离；答案：如图，平面B1MN截长方体所得的截面为AB1NR/CD/A1CD/平面ABNRP到平面B1MN的距离等于C到平面B1MN的距离，作CGLB1N于G/ABCD1B1C1D为长方体,-GG丄平面B1MN，在距形BCGBi中，BR=AA1=9,BQ1=BC=6為，B1N=6(3,BBiN=30°,ZGB1G=60°,

36、一.3GG=6-一3=9.P到平面B1MN的距离为9.2(2)求PC与平面B1MN所成的角。答案：PC/MB,：PC与平面B1MN所成的角等于MB与平面B1MN所成的角，过B作BHLB1N于H,作BH丄平面BiMN/BMH为MB与平面BiMN所成的角BH=9,MB=6.3,sinBMH-.PC与平面B1MN所成的角为arcsin记.2 443 已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面，AiACG与底面ABC垂直，/ABC=90°,BC=2,AC=2j3，且AR丄AiC，AAi丄AiG如图所示。（1）求侧棱AAi与底面ABC所成二面角的大小；答案：取AC中点D,连AD,vAAi=AC,AD

37、丄AC又侧面AiACC丄平面ABC二AiD丄平面ABC，AiAD为AAi与平面ABC所成的角，由已知/AiAD=45°（2）求侧面AiABBi与底面ABC所成二面角的大小；答案：作DE丄AB,由三垂线定理AB丄AE,/AED为侧面AABB与底面ABC所成二面角的平面角又BC丄AB,.DE/BC,DE=-BC二i,AD=.3,2tan/AED=3/AiED=60°.侧面AiABBi与底面ABC所成二面角为60°.（3）求顶点C到侧面AiABBi的距离。答案：D到平面AiABB的距离是C到该平面距离的一半，由（2）知平面AiED丄平面AiABBi,作DF丄AiE,则D

38、F丄平面AiABB,又DF=3,C到平面AiABB的距离为32-命题角度4简单几何体i.（典型例题）如图i0-22,在正三棱柱ABCAiBiG中，AB=3,AAi=4,M为AAi的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CCi到M的最短路线长为,29，设这条最短路线与CG的交点为N。求：（i）该三棱柱侧面展开图的对角线长；（2）PC与NC的长；MN+NP=3+NP=.29,NP=.29-3，此时N为3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。考场错解第（2）问：过M作MN丄CG于N,则由已知有CC的中点，NC=2,PC=.NP2NC2_6.29。专家把脉依题意是

39、MN+NP的最小值为殛，而错解中认为MN最小，则MN+NP就最小，这是错误的.对症下药（i）正三棱柱ABCAiBiCi的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形，其对角线长为V2二97；（2）如图i0-23，将侧面BB-CiC绕棱CC旋转i20°，使其与侧面AA-CiC在同一平面上，点P运动到Pi的位置，连接MPi，则MPi就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC到点M的最短路线。设PC=x,则P-C=x,在RfMAPi中，由勾股定理得（3+x）沁29，求得x=2,PC=RC=2,；雹十小C=：（3）解法一：连接PR,则PR就是MNP与平面ABC的交线，作NH丄PR于H,又CG丄平面ABC,连接C

40、H,由三垂线定理得，CH丄PR,：/NHC就是平面MNP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）。在RtAPHC中，/PCH=1/PCP=60°/.CH=PC=1、在RtNCH中tan/NHC=NC=4,/2'2CH54 arctan。5NHC=arctan#平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为5解法2:MPN在厶ABC上的射影为APC,设所求的角为0则cosB=S'APC=5'41.故平面NMPS应inp41与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arccos邑匕.41其中AB=2BD=BC=1,AA1=2,2.（典型例题）如图，直四棱柱ABCDA1

41、B1C1D1的底面ABCD为平行四边形,E为DC中点，点F在DD上，且DF冷。（1）求异面直线BD与A1D1的距离；（2）EF与BC1是否垂直？请说明理由;（3）求二面角EFB-D的正切值。考场错解第（2）问：TABCDA1B1GD1为直四棱柱，EF在面BCCB1上的射影为CG,而BG与BG不垂直，EF与BCi不垂直。专家把脉把直四棱柱看成长方体了，实际上，长方体是底面为长方形的直四棱柱，本题中的底面ABCD为平行四边形，所以ABCDA1B1C1D1不是长方体，也就是说EF在面BCCB1上的射影不是CC。对症下药正解一：（1）vABCDA1B1C1D1为直四棱柱，DD1丄AD1,DD1丄BD,

42、：DD1为A1D1与BD的公垂线段，DD1=2,A1D1与BD的距离为2;（2）TBD=BC=1,CD=.,2,BCD为等腰直角三角形，E为CD的中点，BE丄CD,又ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，BE丄面CDDiCi,BE丄EF,在RtAFDE中，/FDE=90°,FD=,DE=-,EF2=-,4 216在RtAC1CE中，/C1CE=90°,EC=手，CCi=AA1=2,DE21=2，在RtAD1FG中，/FDQ=90°,D1F=f,D1G=V2,FC12=81fC?1=eF2+eC?1,：EF±EC,得EF丄平面BEC：FF丄BG16(3) 如

43、图10-24，过E作EO丄BD,过O作OM丄BF于M，连接EM,易证得EO丄平面BDF,/EMO11为二在角EFB-D的平面角，/DBC=9C°,EO丄BD,：EO/BC,又E为CD中点，EOBC二寸,在厶BDF中，BOMABFD,0M=12.17,在RtAEOM中，tan/EMO=EOOM=17,/EMO=arctan、17,二面角EFBD的大小为arctan、17.（1）同正解一；由已知可得/ADB=9C°,DD1丄平面ABCD,以DA、DBDD1分别为X,轴y轴,z轴的正方向，建立空间坐标系，F(0,0,丄)、E(一！丄,0)、A(1,0,0)、Di(0,0,2),E

44、F=(丄)422224AD1=(-1,0,2)EFAD；二1(-1)0(一1)2=0,EAD1,又BCiHADi,.EF±ADi。22411111可以得平面BDF的一个法向量为AD,而AD=(-1,0,0),B(0,1,0)BE=(，,0),EF=(,),22224设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z)由n丄BE,nIEF得iy=0,丄x_y亠1z=0,令x=1,得y=-1,z=-4,22224平面BEF的一个法向量为n=(1,-1,-4),cosa=lnADJ=座,.所求二面角EFB-D的|n|»|AD|6大小为arccos丄.6专家会诊棱柱、棱锥、球是几何中的重要

45、载体，学习中除了牢固掌握有关概念、性质、面积体积公式之外，还要灵活运用有关知识进行位置益寿延年判断与论证，进而达到计算的目的，在计算时要注意把某些平面SCISI)图形分离现来运用平面几何的知识来进行计算，这是立体几何中计算问题的重要方法和技巧。考场思维训练1如图，正四面体ABCD的棱长为1,P、Q分别为AB、CD上两点，且AP=CQ=入，求出正四面体侧面上从P到Q的最小距离。答案：解析：由对称性知，在侧面上从P到Q只需考虑两种情形，即从P到Q经过棱AC或经过棱AD.当经过棱AC时，如图1沿AD把侧面展开，TAP=CQ=是PQ的中点，PQ=2PE在厶APE中，/PAE=60,，且AP/CQ.四边

46、形APCC为平行四边形，EAPM,ae=12，由余弦定理，有PE=J1 1cos6042PQ=.4,2一2,1;当经过棱AD时，如图2，沿AC展开，此时PQ=1又T入W时，阳匸茁幻,当辭2时，加竝+心PQ的最小值为2如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BCD为AB的中点，平面A1B1C1平面ABB1A1，异面直线BCi与AB1互相垂直。(1) 求证：AB1丄平面ACD;答案：取AB中点D，连结BD、GD，可证明GD丄平面ABBA，从而CD±AB.又由垂线定理可得AB丄BD,tCD/C1D,：CDLAB,AC/BD1,：AC丄AB,.AB丄平面AQD.(2)若CC与平面ABB

47、A的距离为1,AiC/37,AB1=5,求三棱锥AlACD的体积。答案：由（1）知C1DH平面ABB1A1CDL平面ABBA,/CC平面ABBA，：CG到平面ABBA的距离为CD.即为C-AAD的高.CD=1在RtACD中，AC=37,AD=.'37J=6,设ab交adDB于点E、F./AD/D1B,AD=DBAE=EF,同理EF=FB,15-AE=-AB1,又二AB13 31A1DAE=5,VA1_ACD二VC_AAD=35仁5.23如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1,M是BC的中点,在直线CG上找一点N,使MN丄AB1O答案：解析:AB(A1B1G为正三

48、棱柱,M为BC中点AMLBC,又侧面BCGB丄底面ABC-AML平面BCGB.AB在平面BCGB上的射影为如图所示BM要MNLAB,只须MNLB1M即可.坐标系,0)耳(0,2),设N(1,y),则由B1M_MN有(丄，_2).(丄,y)=0,得y=丄.CN丄CC-N在Cq的一个等分点处.)222816探究开放题预测预测角度1利用三垂线定理作二面角的平面角1如图10-28,正三棱术ABCA1B1C1的所有棱长均相等，D是BC上一点，ADLGD(1)求二面角C-AGD的大小；帥却(2)若AB=2,求直线A1B与截面ADC1的距离解题思路求二面角的大小，一般先利用三垂线定理作出二面角的平面角，再通

49、过解三角形得出结果，二面角有两个半平面，先要分析过哪个半平面内有一点能方便地作出另外一个半平面的垂线，一般利用“有两个面垂直，在一个面内作交线的垂线，则这条线垂直另外一个面”这个性质来作。本题中可以先证平面ADG丄平面BCCB1，再过C作GD的垂线，则这条线与平面ADCi垂直，再利用三垂线定理作出平面角，第(2)问可求B到平面ADG的距离。解答(1)如图10-29,TABCA1B1C1为正三棱柱：CG丄AD,又ADLGD,.AD丄平面B1BCC。二平面ADG丄平面BCCB1。过C作CE!C1D于E,贝VCE丄平面ADCi，过E作EF丄AG,连接FC,则由三垂线定理知/CFE为二面角C-AGD的

50、平面角。设AB=a,D是BC的中点，CE=CC1*CD5a,CF=ACg二a,在RtAEFC中,sin/EFC=10，二C1D5AC125面角CAGD的大小为arcsin5(1)连接AiC,设AiCnAG=O,连接DO,贝yAiB/DO,.AiB/平面ADCi,二AiB到截面ADCi的距离等于B到ADCi的距离，过B作BH丄GD,交GD的延长线于巴由(i)平面ADCi丄平面BCCBi得BH丄平面ADG,即卩BH为B到面ADCi的距离BH=EC=25=L1.:.直线AiB与平面ADCi的距离为兰？5 552如图I0-30,ABCD中，PA丄平面ABCD,M、N、R分别是AB、PCCD的中点，(1

51、) 求证：直线AR/平面PMC;(2) 求证：直线MN丄直线AB;(3) 若平面PDC与平面ABCD所成的二面角(锐角)为0，能束确定0使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线，若能确定，求出0的值；若不能确定，说明理由。解题思路证线面平行，先证线线平行，证线线垂直，通过线面垂直转换，这是一般的解题思路，用这种解题思路证(I)、(2)问，第(3)问先作(或找)出这个二面角的平面角，再通过解方程的方法求出0的值。/解答(1)如图10-30,TABCD为矩形，M、R分别为AB、CD的中点，二AM二CR,二四边形ARCM为平行四边形，AR/CM,.AR/平面PMC。(2) 由已知可得AB丄MR,AB丄

52、平面PAD,：AB丄PD,又RNPCD的中位线，NR/PD,得AB丄平面MNR,AB丄MN。(3) vPA丄平面ABCD,AD丄DC,：/PDA为平面PDC与平面ABCD所成的二面角(锐角)的平面角，0=/PDA,由(2)知MN丄AB,AB/CD,：MN丄CD,又MN丄PC,MN丄平面PCD,：MN丄NR,/MNR=90°,在RtAPDA中，设AD=a,PD=-，在RtAMNR中，cos日NR=PD=,MR=a,ZNRM=2PDA=d二cosT=塑=，二cosT=空,得Q时能使直线MN是异22cosTMR2cos日24面直线AB、PC的公垂线。预测角度2求点到面的距离1. 如图，PA

53、丄平面AC,四边形ABCD是矩形，E、F分别是ABPD的中点。(1) 求证：AF/平面PCE(2) 若二面角PCDB为45°,AD=2,CD=3。(1) 求二面角PECA的大小；(ii)求点F到平面PCE的距离。解题思路过AF作一个平面与平面PEC相交，证明AF与交线平行，由于E、F为中点，所以取PC的中点即可；分别作出PCD-B和PEC-A的平面角，求点F到平面PCE的距离可用直接法，也可以用间接解法。11解答(1)如图，取PC的中点M，连接ME、MF,VFM/CD,FM=?CD,AE/CD,AECD,：AE/MF且AE=MF,：四边形AFME是平行四边形。：AF/EM,vAF亿平

54、面CPE:AF/平面PCE(2) (i)vPA丄平面AC,CD丄AD,根据三垂线定理知，CD丄PD,/PDA是二面角PCDB的平面角，则/PDA=45°，于是PAD为等腰直角三角形，过A作CE的垂线交CE的延长线于5G,连接PG,根据三垂线定理知/PGA为二面角PEC-A的大小为arctano-.3(ii)解法一：/AF丄PD,又AF丄CD,aAF丄平面PCD,而EM/FA/EM丄平面PCD,又EM平面PEC平面PECL平面PCD,在面PCD内过F作FH丄PC于H,则FH为点F到平面PCE的距离，由已知PD=22,PF”2,PA17，知FH罟,F到平面PCE的距离为冷4解法二：由EM/FA,知点F到平面PCE的距离可转化为点A到平面PCE的距离，过点A在面PAG内作AN丄PG,贝UAN为点A到平面PCE的距离，可算得AN=?二24。172. 如图10-33，在棱长为a的正方体，ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD相交于H。(1) 求二面角B1-EF-B的大小；(2) 试在棱BB1上找一点M,使D1M丄平面B1EF,并证明你的结论；(3) 求D1