第七章 一阶电路

1、第第7 7章章 一一 阶阶 电电 路路和二阶电路的时域分析和二阶电路的时域分析零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 全响应全响应重点掌握重点掌握基本信号基本信号 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数稳态分量稳态分量 暂态分量暂态分量动态电路动态电路：含储能元件：含储能元件L(M)、C的电路。根据的电路。根据KCL、KVL以及元件的以及元件的VCR建立的方程是以电压建立的方程是以电压或电流为变量的微分或微积分方程的形式。或电流为变量的微分或微积分方程的形式。微分方程的阶数取决于动态元件的个数和电微分方程的阶数取决于动态元件的个数和电路结构。路结构。7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件

2、动态电路的方程及其初始条件一、一、 动态电路的方程动态电路的方程LS (t=0)USC+uCRS22ddddUutuRCtuLCCCC ( t0 )i动态电路的动态电路的阶数阶数：一阶电路一阶电路：一阶微分方程所描述的电路：一阶微分方程所描述的电路.二阶电路二阶电路：二：二 阶微分方程所描述的电路阶微分方程所描述的电路.高阶电路高阶电路：高：高 阶微分方程所描述的电路阶微分方程所描述的电路.S未动作前未动作前S接通电源后进入另一稳态接通电源后进入另一稳态i = 0, uC = 0i = 0, uC= US二、二、 什么是电路的什么是电路的过渡过程过渡过程？稳定状态稳定状态(稳态稳态)过渡状态过

3、渡状态(动态动态)S+uCUSRCiS+uCUSRCi过渡过程过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。三、过渡过程产生的原因三、过渡过程产生的原因1. 电路中含有储量元件电路中含有储量元件(内因内因)能量不能跃变能量不能跃变twpdd2. 电路结构或电路参数发生变化电路结构或电路参数发生变化(外因外因)支路的接入、断开；开路、短路等支路的接入、断开；开路、短路等S+uCUSRCiuCtt1USO初始初始状态状态过渡过渡状态状态新稳态新稳态+uSR1R2R3 参数变化参数变化换路换路+uCC+uSR1R3 四、分析方法四、分析方法经

4、典法经典法拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法时域分析法时域分析法频域分析法频域分析法时域分析法时域分析法一、一、t = 0+与与t = 0 的概念的概念t=0时换路时换路t = 0 换路前的最终时刻换路前的最终时刻t = 0+ 换路后的最初时刻换路后的最初时刻t = 0 换路瞬间换路瞬间S22ddddUutuRCtuLCCCC 0 0+LS (t=0)USC+uCR(t0)电路中初始条件的确定电路中初始条件的确定所谓的初始条件就是指电路中所求变量及其所谓的初始条件就是指电路中所求变量及其1阶至阶至N-1阶导数在阶导数在t = 0+ 时的值时的值,也称初始值也称初始值.二、换路定则

5、二、换路定则当当t = 0+时时, d)(1)0()0(00 iCuuCCCiuC+ d)()0(d)(d)(d)()(000 tCttCiqiiitq d)()0(d)(1d)(1d)(1)(000 tCttCiuiCiCiCtu d)()0()0(00 iqqCC0d)(00 iqC (0+) = qC (0 )uC (0+) = uC (0 )当当i(t)为有限值时为有限值时,tiqCdd qC=CuC电荷守恒电荷守恒 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 uC (0+) = uC

6、(0 )当当i为冲激函数时为冲激函数时:)(StCUi d)(1)0()0(00 iCuuCCS1)0(CUCuC )0( Cu跳变！跳变！t t( ) t当当t = 0+时时, d)(1)0()0(00 uLiiLL d)()0(d)(d)(d)()(000 tLttLuuuut d)()0(d)(1d)(1d)(1)(000 tLttLuiuLuLuLti d)()0()0(00 uLL0d)(00 u L (0+) = L (0 )iL (0+) = iL (0 )当当u(t)为有限值时为有限值时,tuLdd L=LiLLiLu+磁链守恒磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间

7、，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变则电感电流（磁链）换路前后保持不变。即即:iL (0+) = iL (0 )小结：小结：(2) 换路定则是建立在能量不能突变的基础上换路定则是建立在能量不能突变的基础上.(1) 一般情况下电容电流、电感电压均为有限值，一般情况下电容电流、电感电压均为有限值， 换路定则成立。换路定则成立。 L (0+)= L (0 )iL(0+)= iL(0 )qC (0+) = qC (0 )uC (0+) = uC (0 )换路定则换路定则: d)(1)0()0(00 uLiiLL特例：特例：当当u为冲激函数时为冲激函数时)0( Li221CCC

8、uW 221LLLiW 三、电路初始条件的确定三、电路初始条件的确定例例1.求求 uC (0+) ,iC (0+).t = 0时打开开关时打开开关S.+10ViiCuCS10k 40k + C由换路定则：由换路定则：uC (0+) = uC (0 )=8VV840104010)0( Cu0+ 时刻的等效电路：时刻的等效电路：mA2 . 010810)0( Ci0)0()0( ccii 解：解：+10Vi (0+)iC(0+)8V10k + 例例2.t = 0时闭合开关时闭合开关S.求求uL(0+). iL(0+)10VS1 4 iLLuL+0)0( 0)0( LLuu iL(0+)= iL(0

9、 )=2A0+等效电路：等效电路：V842)0( Lu解：解：10V1 4 iL(0+)uL (0+)+注意：注意：求初始值的一般方法：求初始值的一般方法：(1) 由换路前电路求由换路前电路求uc(0 )和和iL(0 )；(2) 由换路定则，得由换路定则，得uC(0+)和和iL(0+)；(3) 作作0+等效电路：等效电路：(4) 由由0+时刻的等效电路电路求非独立初始条件。时刻的等效电路电路求非独立初始条件。电容用电压为电容用电压为uC(0+)的电压源替代；的电压源替代；电感用电流为电感用电流为iL(0+)的电流源替代。的电流源替代。例例3.V.)60sin(mS tUu 已已知知).0(),

10、0(),0( RLLuui求求LUIL j60m )30 sin(m tLUiL LUtLUitL 2)30sin()0(m0m (1) 求求iL(0 )(2) 由换路定则，得由换路定则，得 LUiiLL 2)0()0(m 解：解：uSSRiLLuL+uR(3) 0+电路电路LRURiuLR 2)0()0(m LRUUuL223)0(mmuSSRiLLuL+uRLU 2m 23mURuL(0+)+uR(0+)例例4.求求 iC(0+) , uL(0+).S(t=0)+uLCuCLISRiL+0+电路：电路：iL(0+)=iL(0 )=IS uC(0+)=uC(0 )=RISuL(0+)= uC

11、(0+)= RISiC(0+)=iL(0+) uC(0+)/R =RIS RIS =0+uL (0+)uC (0+)R+iC (0+)iL(0+)解：解：7-2 7-2 一阶电路一阶电路的零输入响应的零输入响应零输入响应零输入响应(Zero input response )：激励：激励(电源电源)为零，仅由为零，仅由动态元件的初始储能引起的响应。动态元件的初始储能引起的响应。一、一、 RC电路的零输入响应电路的零输入响应 (C对对R放电放电)uC (0 )=U0S(t=0)+uCRCi+uCtuCiCdd 0dd0tuRCuiRuCCC上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 uc=Aept

12、 t0式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为式对应的特征方程的根。可得特征方程为RCP+1=0从而解出特征根为 RCp1则通解 RCtAeuC将初始条件uc(0+)=u0代入式中，求出积分常数A为 0UA 得到满足初始值的微分方程的通解为 RCtCRCtRCtCeUeUAeu)0(0放电电流为 RCtRCtCeieRUdtduCi)0(0t0 t0 式令=RC，它具有时间的量纲，即 秒秒库仑库仑伏特库仑安培伏特/.RC故称为时间常数, 这样、两式可分别写为 tCeUu0t0 teRUi0t0RCp1由于为负，故uc和 i 均按指数规律衰减，当t时，uc和 i 衰减到零。 I0tiCOU

13、0tuCO)0( t)0( ttCeUu0teRUi0从理论上讲从理论上讲 t 时时,电路才能达到稳态电路才能达到稳态. 但实际上一般认但实际上一般认为为经过经过3 5 的时间的时间, 过渡过程结束过渡过程结束,电路已达到新的稳态电路已达到新的稳态.C的能量不断释放的能量不断释放, 被被R吸收吸收, 直到直到全部储能消耗完毕全部储能消耗完毕.t0 2 3 4 5 U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.02U0 0.007 U0 tceUu 0 (实验测实验测 的方法的方法)能量关系能量关系：202 000221d)e(dCUtRRUtRiWRCtR RCRC电路的一阶响应的几

14、何意义：次切线的截距的几何意义：次切线的截距U0ut0U0 e从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。t0t0CCeU1eUdt) t (du) t (utgABBCABC时间常数 = RC 越大，uc衰减越慢。因为在U0一定下，电容C越大则储存电荷越多；电阻R越大则放电电流越小。改变R或C可以改变电容放电的快慢. 已知已知S S断开前电路已处于稳定断开前电路已处于稳定状态，状态，R R1 1=R=R2 2=50=50，R R3 3=100=100，C=0.02FC=0.02F。试求在。试求在t=0t=0时，时，S S断开后的断开后的u uC C（t

15、 t）和）和i i3 3（t t） 解：解：先求先求uC（0-）t=0+-24VUSR1R3C+uC-SR2i3VuuCC162450100100)0()0(VeeUtuttC16)(10 AeRtutitC16. 0)()(33SCRRRRRRRC102. 01005050100)5050()()(321321 USS(t=0)R1iLLuL+R二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应其解答形式为：其解答形式为： i(t) = Aept由特征方程由特征方程 Lp+R=0 得得由初值由初值 i L(0+)=iL(0 )= I0得得 i(0+)=A= I0000)0()0(IRUiiLL)0

16、( t)0( ttiLuLLdd 0dd 0ddLLLLiLRtiRitiLLRp 图见P144页7-5(1) iL, uL 以同一指数规律衰减到零；以同一指数规律衰减到零；(2)衰减快慢取决于衰减快慢取决于L/R。量纲量纲：亨亨/欧欧=韦韦/安安*欧欧=韦韦/伏伏=伏伏*秒秒/伏伏=秒秒令令 =L/R RL电路的时间常数电路的时间常数3 5 过渡过程结束。过渡过程结束。)0( ttLRLIti e)(0tLRLtLRLLuRItiLtue )0(edd)(0)0( tI0tiLO RI0tuLOiL (0+)=iL(0 )=35/0.2=175 AuV (0+)= 875 kV !例例.现象

17、：电压表烧坏现象：电压表烧坏 !AIittLRL8010 06e175es8010850004 . 05sV RRL L=0.4HVRV5k 35VS(t=0)iLuV+R=0.2 0)( kV e875e 0VVtIRRiutLRtLRL求iL 、uV 小结：小结：1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的,响应响应 都是一个指数衰减函数。都是一个指数衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 . RC电路电路 ： = RC, RL电路：电路： = L/R3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相

18、同的时间常数。4. 一阶电路的零输入响应和初值成正比。一阶电路的零输入响应和初值成正比。如果磁场能量较大，切断电感电流时必须考虑磁场能量的释放零状态响应零状态响应(Zero state response)：动态元件的初始储能为零，：动态元件的初始储能为零，在外施激励在外施激励(电源电源)作用下产生的响应。作用下产生的响应。 (2) 求特解求特解 uC= US1. RC电路的零状态响应电路的零状态响应（C充电）充电）(1) 由由KVL有：有：uC (0 )=07 7 3 3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程解答形式为：解答形式为：CCCuuu

19、通解通解特解特解强制分量强制分量 (稳态分量稳态分量)S(t=0)+uCUSRCi+uRSddUutuRCCC uR+uC=UsRituCiCdduC (0+)=A+US= 0 A= US(3) 求齐次方程通解求齐次方程通解 自由分量自由分量(暂态分量暂态分量)(4) 求全解求全解(5) 定常数定常数)0( )e1(e SS tUUUuRCtSRCtCUS USuCuC0dd CCutuRCRCtAuCe RCtCCCAUuuu eS 强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)uctO C CutiRUSO能量关系能量关系：电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，电源提供的能量一部分被

20、电阻消耗掉，一部分储存在电容中，且一部分储存在电容中，且WC=WRCWCUCURUtt 2S2S2S210210)(|22ee 不管不管R、C的值是多少电源提供的能量只有一半储存在电容中，的值是多少电源提供的能量只有一半储存在电容中，另一半被电阻消耗掉了，充电效率为另一半被电阻消耗掉了，充电效率为50%RCtCRUtuCi eddSUSRCtRRUtRtpWtiRRd)(dd22e02S00 t= 0时闭合开关时闭合开关S.求求uc响应。响应。uiCi12i1+2V+1 1 1 0.8FuC S例例.戴维南等效电路戴维南等效电路s 18 . 0)25. 01( RC V 5 . 1 Cu0)(

21、V e5 . 15 . 1 tutCi12i1+2V+1 1 1 0.8FuC S+1.5V+0.25 1 0.8FuC S2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应iL(0 )=03. 正弦电源激励下的正弦电源激励下的零状态响应零状态响应(以以RL电路为例电路为例)iL(0 )=0V )sin(SumtUu SddURitiLLLUSLS (t=0)+uLR+uRiLtOuSLS (t=0)+uLR+uRiLuS+)(teUutLRSL )e1 (StLRLRUi)sin(ddmuLLtUtiLRi tLLLLAiiii e 强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)用相量法计

22、算稳态解用相量法计算稳态解 iL :uLLLXRUXRUI22mmmj22m arctgLmLXRUIRL)sin(m uLLtIiiL(0 )=0LS (t=0)+uLR+uRiLuS+jXLR+mUmLI tuLLLLAtIiii m e)sin( 定常数定常数AIiuLL )sin(0)0(m )sin(m uLIA解答为解答为讨论：讨论： u =0o, 即合闸即合闸 时时 u = 合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。A=0 无暂态分量无暂态分量)sin(m uLLtIi电路的过渡过程与开关的动作时刻有关 tLuLLItIi mme)sin

23、( u = + /2时波形为：时波形为：mmax2|LIi mmax2 LLIi 最大电流出现在合闸后半个周期时最大电流出现在合闸后半个周期时 t = T/2。t ILmiiiILmOT/27 7 4 4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。一、一阶电路的全响应及其两种分解方式一、一阶电路的全响应及其两种分解方式1. 全解全解 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)SddUutuRCCC uC= US以以RC电路为例电路为例解答为解答为 uC(t)=uC +

24、uC非齐次方程非齐次方程uC=Aept =RCuC (0+)=A+US=U0 A=U0 US(t0)强制分量强制分量自由分量自由分量 tSSCUUUu e )(0 tCAUu Se uC (0 )=U0S(t=0)+uCUSRCi+uR强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)0()(0 teUUUutSSC uCUSU0uCtuCo2. 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0=+uC 1(0-)=0uC

25、2 (0-)=U0uC (0 )=U0S(t=0)+uCUSRCi+uRS(t=0)+uC1USRCi1+uR1S(t=0)+uC2RCi2+uR2二、用三要素法分析一阶电路二、用三要素法分析一阶电路时间常数初始值稳态解三要素 )0( )(ff)( )()0()()(直直流流激激励励 teffftf 全响应总是由初始值、稳态值（特解）、时间常数全响应总是由初始值、稳态值（特解）、时间常数三个要素决定。在直流电源激励下，全响应三个要素决定。在直流电源激励下，全响应f(t)可写为：可写为：例例1.已知：已知： t=0时合开关时合开关S。 求求 换路后的换路后的uC(t) 。V2)0()0( CCu

26、uV667. 01122)( Cus2332 CR等等 )0(V33. 1667. 0)667. 02(667. 05 . 05 . 0 teeuttC解解tuC (V)20.66701A2 1 3F+uC S例例2.已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能, t = 0 时合时合 S1 , t =0.2s时合时合S2。i10V1HS1(t=0) S2(t=0.2s)3 2 求换路后的电感电流求换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2sA2)(s2 . 00)0(1 ii A5)(s 5 . 0 A26. 1)2 . 0(2 ii A26. 122)2 . 0(2 . 05 eiA74. 35

27、)()2 . 0(2 teti解解it (s)0.25(A)1.2620例例3. 已知已知: u(t)如图示如图示 , iL(0)= 0 。求求: iL(t) , 并并画波形画波形 .u(t)12120t (s)(V)+u(t)1 5 5HiL解解0 t 1 iL(0+)=0 t 0 iL(t)=0 iL( )=1AiL(t) = 1 e t / 6 A =5/ (1/5)=6 s方法一：用分段函数表示方法一：用分段函数表示+1V1 5 5HiL1 2 iL(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A iL( )=2A iL(t) = 0.

28、437 e ( t 2 )/ 6 A =6 s =6 s+2V1 5 5HiL1 5 5HiL tttttitttL2 Ae437. 021 Ae846. 1210 Ae10 0)(6/ )2(6/ )1(6/ u(t)= (t)+ (t 1) 2 (t 2) (t)(1 e t / 6) (t) (t 1)(1 e ( t 1) / 6 ) (t 1) 2 (t 2) 2(1 e ( t 2) / 6 ) (t 2)iL(t) = (1 e t / 6) (t)+ (1 e ( t 1) / 6 ) (t 1) 2(1 e ( t 2) / 6 ) (t 2) A00.1540.43712t

29、 (s)iL(t)(A)解法二：用全时间域函数表示解法二：用全时间域函数表示(叠加叠加)u(t)12120t (s)(V)7-7 7-7 一阶电路的阶跃响应和冲激响应一阶电路的阶跃响应和冲激响应一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数 (Unit step function)1. 定义定义 0)( 10)( 0)(ttt 0)( 0)( 0)( SStUttU2. 延迟单位阶跃函数延迟单位阶跃函数)( 1)( 0)(000ttttttS+uCUSRCit (t)Ot (t)Ot0阶跃函数可以作为开关的数学模型延迟单位阶跃函数可以起始任意函数延迟单位阶跃函数可以起始任意函数 )( )()( 0)()(0

30、00tttftttttf 例例1.)()()(0ttttf t0f(t)tOf(t) (t t0)t0tO1t0tf(t)O1t0tO (t)(t t0)例例2.)1()1()()( tttttf 二、单位冲激函数二、单位冲激函数(Unit Impulse Function)1. 单位脉冲函数单位脉冲函数 )0,( 0)(0 1)( ttttf11)()(lim0ttf 1 01t1f(t)0 1/ tf(t)02. 定义定义)0(0)(tt 1d)(tt 001d)(tt k (t) kttkd)( 例例.)( 0( )0( 0S tU ttUtuSuuC tuCiCCdd t (t)O+C

31、uCiCuS + tUuS0tuCiCCdd )( )( ttCUiC CUqtiC d 0uc U (t)iC CU (t)UCCUCquC tUuS0 tiC(t)OCU (t)SuuC uCtUO CU/ tiC0 当当 减小减小iC = CUS (t)t = t0时合时合S t = 0时合时合S延迟单位冲激函数延迟单位冲激函数 (t-t0): 1d)( )( 0)( 000tttttttS+uCUSCitiC(t)OCUS (t-t0)tO (t-t0)t03. 函数的函数的筛分性质筛分性质 tttfd)()( )(d)()( ftttf 同理有同理有. d)6()(sin ttt求4

32、. (t) 和和 (t)的关系的关系 0)( 10)( 0d)(ttttt = (t)(d)(dttt ttttd)(d)()(1lim0 )0(d)()0(fttf 例例.解解:.216sind)6()(sintttf(t)在在t=0时连续时连续4. 阶跃响应：电路对于阶跃函数输入的零状态响应称为阶跃响应。阶跃响应：电路对于阶跃函数输入的零状态响应称为阶跃响应。)()e1(StUuRCtC )(eStRUiRCt uC (0 )=0+uCUS (t)RCi+uC (0 )=0S(t=0)+uCUSRCi+tiRUSOUSuCtO延时阶跃响应延时阶跃响应:激励在激励在t=t0时加入，时加入，则响应从则响应从t=t0开始。开始。uC (t0 )=0+uCUS (t t0)RCi+)()e1(StUuRCtC )(eStRUiRCt USuCtOt0tiRUSOt0)()e1(0S0ttUuRCttC )(e0S0ttRUiRCtt 注意：注意：零状态网络的阶跃响应为零状态网络的阶跃响应为 y(t) (t) 时，时，则延时则延时t0的阶跃响应为的阶跃响应为 y(t-t0) (t-t0).结论结论：)()e1(0S0ttUuRCttC )()e1(0SttUuRCtC 二者的区别二者的区别 !