第一章 第二讲力的合成与分解

1、3.力的合成：求几个力的力的合成：求几个力的 的过程的过程.2.共点力：几个力都作用在物体的共点力：几个力都作用在物体的 ，或者它们的，或者它们的 相交于一点，这几个力叫做共点力相交于一点，这几个力叫做共点力. 一、力的合成一、力的合成1.合力与分力：如果几个力共同作用产生的合力与分力：如果几个力共同作用产生的 与某一与某一 个力单独作用时的个力单独作用时的 相同，则这一个力为那几个力的相同，则这一个力为那几个力的 ，那几个力为这一个力的分力，那几个力为这一个力的分力.效果效果效果效果同一点同一点作用线作用线合力合力合力合力4.力的运算法则力的运算法则(1)平行四边形定则：求两个互成角度的平行

2、四边形定则：求两个互成角度的 的合力，的合力， 可以用表示这两个力的线段为邻边作可以用表示这两个力的线段为邻边作 ， 这两个邻边之间的对角线就表示合力的这两个邻边之间的对角线就表示合力的 和方向和方向.(2)三角形定则：把两个矢量的三角形定则：把两个矢量的 从而求出合从而求出合 矢量的方法矢量的方法(如图如图121所示所示).共点力共点力平行四边形平行四边形大小大小首尾连接起来首尾连接起来(1)合力与它的分力是力的作用效果上的一种等效替代关系合力与它的分力是力的作用效果上的一种等效替代关系.(2)力的合成必须遵循力的合成必须遵循“同物性同物性”和和“同时性同时性”的原则的原则. “同物性同物性

3、”是指待合成的各分力是作用在同一物体上的是指待合成的各分力是作用在同一物体上的 力力.“同时性同时性”是指待合成的各分力是同时出现的力是指待合成的各分力是同时出现的力.但各分但各分 力和它的合力不能同时出现力和它的合力不能同时出现.二、力的分解二、力的分解1.概念：概念：求一个已知力的求一个已知力的 的过程的过程.力的分解与力的合力的分解与力的合 成互为成互为 .2.遵从原则：遵从原则： 定则定则.3.矢量运算法则：矢量运算法则：平行四边形定则和三角形定则平行四边形定则和三角形定则.4.分解的方法分解的方法(1)按力产生的按力产生的 进行分解进行分解.(2)按问题需要分解按问题需要分解.(3)

4、正交分解正交分解.分力分力逆运算逆运算平行四边形平行四边形效果效果1.共点力合成的方法共点力合成的方法(1)作图法作图法 根据两个分力的大小和方向，再利用平根据两个分力的大小和方向，再利用平 行四边形定则作出对角线，根据表示分行四边形定则作出对角线，根据表示分 力的标度去度量该对角线，对角线的长力的标度去度量该对角线，对角线的长 度代表了合力的大小，对角线与某一分度代表了合力的大小，对角线与某一分 力的夹角就可以代表合力的方向力的夹角就可以代表合力的方向.如如(2)解析法解析法 根据力的平行四边形定则作出力根据力的平行四边形定则作出力 的合成的图示，如图的合成的图示，如图123所示所示.它与它

5、与F2的夹角为的夹角为，以下是合力计算的几种特殊情况：以下是合力计算的几种特殊情况：相互垂直的两个力的合成，如图相互垂直的两个力的合成，如图124所示所示.由几何知识，合力大小由几何知识，合力大小F 方向方向夹角为夹角为的大小相同的两个力的合成，如图的大小相同的两个力的合成，如图125所示所示.由几何知识，作出的平行四边形为菱形，其对角线相互垂由几何知识，作出的平行四边形为菱形，其对角线相互垂直且平分，则合力大小直且平分，则合力大小F2F1cos ，方向与，方向与F1夹角为夹角为 .夹角为夹角为120的两等大的力的合成，如图的两等大的力的合成，如图126所示所示.由几何知识得出对角线将画出的平

6、行四边形分为两个等边由几何知识得出对角线将画出的平行四边形分为两个等边三角形，故合力的大小与分力相等三角形，故合力的大小与分力相等.2.合力大小范围的确定合力大小范围的确定(1)两个共点力的合力范围：两个共点力的合力范围：|F1F2|FF1F2. 即当两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小即当两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小. 当两力反向时，合力最小，为当两力反向时，合力最小，为|F1F2|；当两力同向时，；当两力同向时， 合力最大，为合力最大，为F1F2.(2)三个或三个以上力的合力最大值是各力大小的代数和三个或三个以上力的合力最大值是各力大小的代数和.最最 小值可能为零，

7、也可能不为零：若其中最大的力小值可能为零，也可能不为零：若其中最大的力Fn小于小于 或等于其余力的代数和或等于其余力的代数和F，则合力，则合力F的最小值的最小值Fmin0； 若其中最大的力若其中最大的力Fn大于其余力的代数和大于其余力的代数和F，则合力，则合力F的的 最小值最小值FminFnF. 1.确定以下两组共点力的合力范围：确定以下两组共点力的合力范围： (1)3 N,5 N,7 N； (2)3 N,5 N,9 N. 解析：解析：(1)3 N和和5 N的合力范围为的合力范围为2 NF8 N. 若取若取F7 N，则和第三个力，则和第三个力(7 N)合成时，合力可以合成时，合力可以 为零，即

8、为零，即Fmin0.若取若取F8 N，则和第三个力，则和第三个力(7 N)合成时合合成时合力可取最大值，即力可取最大值，即Fmax15 N.综上知合力的范围为综上知合力的范围为0F合合15 N.(2)3 N和和5 N的合力最大为的合力最大为8 N，故和第三个力，故和第三个力(9 N)合成时合成时最小为最小为Fmin1 N；最大为；最大为Fmax17 N，即，即1 NF合合17 N.答案：答案：(1)0F合合15 N(2)1 NF合合17 N1.按力的效果分解按力的效果分解(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；(2)再根据两个实际分力方向画

9、出平行四边形；再根据两个实际分力方向画出平行四边形；(3)最后由平行四边形知识求出两分力的大小最后由平行四边形知识求出两分力的大小. 如图如图127所示，物体的重力所示，物体的重力G按产按产生的效果分解为两个分力，生的效果分解为两个分力，F1使物体使物体下滑，下滑，F2使物体压紧斜面使物体压紧斜面.2.按问题的需要进行分解按问题的需要进行分解 具体分以下三个方面：具体分以下三个方面：(1)已知合力和两个分力的方向，求两个分力的大小已知合力和两个分力的方向，求两个分力的大小.如图如图1 28所示，已知所示，已知F和和、，显然该力的平行四边形是，显然该力的平行四边形是 唯一确定的，即唯一确定的，即

10、F1和和F2的大小也被唯一地确定了的大小也被唯一地确定了.(2)已知合力和一个分力的大小与方向，求另一分力的大小已知合力和一个分力的大小与方向，求另一分力的大小 和方向和方向.如图如图129所示，已知所示，已知F、F1和和，显然此平行四，显然此平行四 边形是唯一确定的，即边形是唯一确定的，即F2的大小和方向的大小和方向(角角也已确定也已确定)也也 被唯一地确定了被唯一地确定了.(3)已知合力、一个分力的方向和另一分力的大小，即已知已知合力、一个分力的方向和另一分力的大小，即已知 F、(F1与与F的夹角的夹角)和和F2的大小，这时则有如下的几种可的大小，这时则有如下的几种可 能情况：能情况：第一

11、种情况是第一种情况是FF2Fsin，则有两解，如图，则有两解，如图1210所示所示.第二种情况是第二种情况是F2Fsin时，则有唯一解，如图时，则有唯一解，如图1211所示所示.第三种情况是第三种情况是F2F时，则有唯一解时，则有唯一解.如图如图1213所示所示.3.正交分解法正交分解法(1)定义：把各个力沿相互垂直的方向分解的方法定义：把各个力沿相互垂直的方向分解的方法.(2)优点：把物体所受的不同方向的各个力都分解到相互优点：把物体所受的不同方向的各个力都分解到相互 垂直的两个方向上去，然后再求每个方向上的分力的垂直的两个方向上去，然后再求每个方向上的分力的 代数和，这样就把复杂的矢量运算

12、转化成了简单的代代数和，这样就把复杂的矢量运算转化成了简单的代 数运算，最后再求两个互成数运算，最后再求两个互成90角的合力就简便多了角的合力就简便多了.(3)运用正交分解法解题的步骤运用正交分解法解题的步骤 正确选择直角坐标系，通常选择共点力的作用点为正确选择直角坐标系，通常选择共点力的作用点为 坐标原点，坐标轴坐标原点，坐标轴x、y的选择可按下列原则去确定：的选择可按下列原则去确定： a.尽可能使更多的力落在坐标轴上尽可能使更多的力落在坐标轴上. b.沿物体运动方向或加速度方向设置一个坐标轴沿物体运动方向或加速度方向设置一个坐标轴. c.若各种设置效果一样，则沿水平方向、竖直方向设若各种设

13、置效果一样，则沿水平方向、竖直方向设 置两坐标轴置两坐标轴.正交分解各力，即分别将各力投影到坐标轴上，如图正交分解各力，即分别将各力投影到坐标轴上，如图1214所示，分别求所示，分别求x轴和轴和y轴上各力投影的合力轴上各力投影的合力Fx和和Fy，其中，其中FxF1xF2xF3x；FyF1yF2yF3y 求求Fx与与Fy的合力即为共点力的合力的合力即为共点力的合力.合力大小：合力大小：F ，合力的方向与合力的方向与x轴夹角：轴夹角：arctan . 1.正交分解法分解的力不一定是按力的实际效果进行分正交分解法分解的力不一定是按力的实际效果进行分 解的解的.2.使用正交分解法时，坐标轴的建立非常关

14、键，一般情使用正交分解法时，坐标轴的建立非常关键，一般情 况下，应尽量使尽可能多的力况下，应尽量使尽可能多的力“落落”在坐标轴上或关于在坐标轴上或关于 坐标轴对称坐标轴对称.3.在实际问题中进行力的分解时，有实际意义的分解方在实际问题中进行力的分解时，有实际意义的分解方 法是按力的实际效果进行分解，其他的分解方法都是法是按力的实际效果进行分解，其他的分解方法都是 为了解题方便而引入的为了解题方便而引入的.2.如图如图1215所示，水平地面上一所示，水平地面上一 重重60 N的物体，在与水平面成的物体，在与水平面成30角角 斜向上的大小为斜向上的大小为20 N的拉力的拉力F作用下作用下 做匀速运

15、动，求地面对物体的支持做匀速运动，求地面对物体的支持 力和地面对物体的摩擦力大小力和地面对物体的摩擦力大小.解析：解析：物体受力如图所示物体受力如图所示.Fcos30Ff0 Fsin30FNmg0 解得：解得：FN50 NFf10 N答案：答案：支持力支持力50 N摩擦力摩擦力10 N 如图如图1216所示，物体所示，物体O质质量量m10 kg，用一轻绳悬挂在水平轻，用一轻绳悬挂在水平轻杆杆BC的的C端，端，C点由细绳点由细绳AC系在竖直系在竖直墙上，墙上，B端用铰链固定端用铰链固定.已知已知ACB30，试求出轻绳，试求出轻绳AC和轻杆和轻杆BC各受各受多大的作用力多大的作用力.思路点拨思路点

16、拨由于由于B端用铰链固定，所以杆端用铰链固定，所以杆C端受的力一端受的力一定沿杆的方向，分析定沿杆的方向，分析C端的受力情况，然后应用力的合端的受力情况，然后应用力的合成法或力的分解法进行求解成法或力的分解法进行求解.课堂笔记课堂笔记方法一：力的分解法方法一：力的分解法物体处于静止状态，由二力平衡知识物体处于静止状态，由二力平衡知识可知悬线可知悬线CO对物体拉力的大小等于物对物体拉力的大小等于物体的重力，所以体的重力，所以F100 N，CO绳对绳对C的的拉力也为拉力也为100 N，此力有两个作用效果，此力有两个作用效果，即斜向右下方拉即斜向右下方拉AC绳和水平向左挤压绳和水平向左挤压BC杆，杆

17、，力的分解示意图如图甲所示，从图力的分解示意图如图甲所示，从图中可得中可得方法二：力的合成法方法二：力的合成法选取选取BC杆为研究对象，其受到向左的挤压作用是杆为研究对象，其受到向左的挤压作用是AC和和CO两绳拉力共同作用的结果，作出力的合成的示意图如图乙两绳拉力共同作用的结果，作出力的合成的示意图如图乙所示，利用图中几何关系解题过程类似于方法一所示，利用图中几何关系解题过程类似于方法一.方法三：力的正交分解法方法三：力的正交分解法选取选取C点为研究对象，点为研究对象，C点受到重物向下的拉力点受到重物向下的拉力F作用，受作用，受到绳到绳AC沿绳向上的拉力沿绳向上的拉力FT作用，还受到作用，还受

18、到BC杆沿杆水平向杆沿杆水平向右的支撑力右的支撑力FN的作用，如图丙所示的作用，如图丙所示.由于物体处于静止状由于物体处于静止状态，故有态，故有水平方向：水平方向：FNFTcos0 竖直方向：竖直方向：FTsinF0 联立解得联立解得FT200 N，FN100 N.答案答案200 N100 N 同样的问题，如果采用不同的方法进行求解，画出同样的问题，如果采用不同的方法进行求解，画出的矢量图是不一样的，因此画矢量图时，必须明确你所的矢量图是不一样的，因此画矢量图时，必须明确你所采用的解题方法采用的解题方法. 物体物体A的质量为的质量为2 kg，两，两根轻细绳根轻细绳b和和c的一端连接于竖直的一端

19、连接于竖直墙上，另一端系于物体墙上，另一端系于物体A上，在上，在物体物体A上另施加一个方向与水平上另施加一个方向与水平线成线成角的拉力角的拉力F，相关几何关系，相关几何关系如图如图1217所示，所示，60.若要若要使两绳都能伸直，求拉力使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围的大小范围.(g取取10 m/s2)思路点拨思路点拨本题可以利用解析法和正交分解法进行分析，本题可以利用解析法和正交分解法进行分析，通过列出的平衡方程求出绳通过列出的平衡方程求出绳b和绳和绳c的拉力表达式，若要使的拉力表达式，若要使两绳都伸直，则必须保证两绳的拉力都大于或等于零，进两绳都伸直，则必须保证两绳的拉力都大于或等于零，

20、进而求出而求出F的极值的极值. 解题样板解题样板作出物体作出物体A的受力分析图如图的受力分析图如图1218所示，所示，由平衡条件得由平衡条件得FsinF1sinmg0 (2分分)FcosF2F1cos0 (2分分)由式得由式得F (2分分)由式得由式得F (2分分)要使两绳都伸直，则有要使两绳都伸直，则有F10，F20(1分分)所以由式得所以由式得Fmax由式得由式得Fmin综合得综合得F的取值范围为的取值范围为答案答案 解决临界问题，必须在变化中去寻找临界条件，即不解决临界问题，必须在变化中去寻找临界条件，即不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要研究变化的过能停留在一个状态来研究临界问题，

21、而是要研究变化的过程、变化的物理量，寻找临界条件程、变化的物理量，寻找临界条件.1.(2010新泰模拟新泰模拟)如图如图1219所示，所示，F1、F2、F3恰好构恰好构 成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是()解析：解析：由矢量合成法则可知由矢量合成法则可知A图的合力为图的合力为2F3，B图的合图的合力为力为0，C图的合力为图的合力为2F2，D图的合力为图的合力为2F3，因，因F2为直角为直角三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为C图图.答案：答案：C2.有两个互成角度的共点力，夹角为有两个互成角度的共点力，

22、夹角为，它们的合力，它们的合力F随随变变 化的关系如图化的关系如图1220所示，那么这两个力的大小分别是所示，那么这两个力的大小分别是 () A.1 N和和6 NB.2 N和和5 N C.3 N和和4 N D.3 N和和3.5 N解析：解析：设两个力的大小分别为设两个力的大小分别为F1、F2，由图可知，由图可知，F1F27 N，F1F21 N，可得，可得F14 N，F23 N，故，故C正确正确.答案：答案：C 3.(2010东莞调研东莞调研)2008年北京奥运会，年北京奥运会， 我国运动员陈一冰勇夺吊环冠军，我国运动员陈一冰勇夺吊环冠军， 其中有一个高难度的动作就是先其中有一个高难度的动作就是

23、先 双手撑住吊环，然后身体下移，双手撑住吊环，然后身体下移， 双臂缓慢张开到如图双臂缓慢张开到如图1221所所 示位置，则在两手之间的距离增示位置，则在两手之间的距离增 大的过程中，吊环的两根绳的拉大的过程中，吊环的两根绳的拉 力力FT(两个拉力大小相等两个拉力大小相等)及它们的及它们的 合力合力F的的 大小变化情况为大小变化情况为 ()A.FT增大，增大，F不变不变B.FT增大，增大，F增大增大C.FT增大，增大，F减小减小D.FT减小，减小，F不变不变解析：解析：由平衡条件，合力由平衡条件，合力F等于人的重力，等于人的重力，F恒定不变；恒定不变；当两手间距离变大时，绳的拉力的夹角逐渐变大，由平当两手间距离变大时，绳的拉力的夹角逐渐变大，由平行四边形定则知，行四边形定则知，FT变大，变大，A正确正确.答案：答案：A4.物体在斜面上保持静止状态，下列说