第三章随机向量及其分布

1、第三章第三章 随机向量及其分布随机向量及其分布 3.1 随机向量的概念及其分布函数 3.2 二维离散型随机向量 3.3 二维连续型随机向量 3.4 二维随机向量函数的分布 许多随机试验的结果，需要用n(n2)个的随机变量X1, X2, Xn同时来描述，这n个的随机变量一起构成随机向量(二维或多维随机向量)。例如，一次射击的弹着点的平面坐标可看作是二维随机向量(X,Y)；气象观测站观测每天某整点的天气状况，可将温度、湿度、风力和风向等观测值可看作多维随机向量(X1,X2, Xn)；又如学生体检时的各项检查指标值可看作多维随机向量。 从几何角度看，一维随机变量就是第2章讨论的随机变量，它可看作是直

2、线(一维空间)上的随机点；二维随机变量可看作是平面(二维空间)上的随机点；三维随机变量可看作三维空间中的随机点。3.1 随机向量的概念及其分布函数随机向量的概念及其分布函数3.1.1 随机向量的定义和联合分布随机向量的定义和联合分布 定义定义 3.1.1 设(,F,P) 为概率空间，如果Xi为随机变量(i =1, 2, , n)，则称向量(X1,X2,Xn)为随机向量。随机向量是一个取向量值的随机变量，也称随机向量为多维随机变量。例如 在打靶练习中，一次射击的弹着点的平面坐标可看作是二维随机向量(X,Y).定义 设(,F,P) 为概率空间，(X , Y)是二维随机变 量，对任意实数x、y ,

3、二元函数 FX,Y (x , y) = P Xx , Yy 称为(X , Y)的联合分布函数联合分布函数。随机点(X , Y) 落在右上端点为(x , y) 的半无限区域(-, x(-, y的概率 定义定义3.1.2 设(,F,P) 为概率空间，(X1,X2,Xn)为其上的随机向量，它的联合分布函数定义为12,1122112,21( ,(, , , ):( ),)( ,)nnX XXnnnniiniFx x P XxXxXxPX xxxx xR ，定义 设(, F, P) 为概率空间，(X , Y)是二维随机变 量，对任意实数x、y , 二元函数 FX,Y (x , y) = P Xx , Y

4、y 称为(X , Y)的联合分布函数联合分布函数。推广到推广到n维：维：1112221122211122111122211222(+ ,+)(,+ , ) (+ ,)+ (,) +) P x P Xxh XxhP Xx XxhP Xxhxhx xhXxP XxXxXX-12121212,1122,122,112,12(+ ,+)( ,+) (+ ,)+( ,)X XX XX XX XFxh xhFx xhFxh xFx x-121 12 2,1212(+,+)( , )( ,)X Xxh xhFt tx x 记为是差分随机点(X1 , X2) 落在矩形区域的概率 1111111111(1)()

5、()xhxXXXFtFxhFx阶差分 112212121111112112(+,+)(,),22212+,1,12( , )=( ,)( ,)+xh xhx xXXxhxhxXXxXXFt tFtFtxhx阶差分12121212111222212,2,11+=(,)( ,)(,)( ,+)XXXXXXXXxhxhFFFFxxxhxxhx1212n1111222nnn11122122n, ,12,: ( )+ (+ ,+,+)( ,)X ,X ,X( , , )nniiiiinnnX XXn P x x +h , x x +h ,x x +h=P xX xhxh xhxhXXXFt txtxx随

6、机向量在的概率n维矩形域 区 P(x1X x1+h1 , x2Y x2+h2) = = FX,Y(x1+h1, x2+h2)-FX,Y (x1+h1, x2)-FX,Y (x1, x2+h2)+FX,Y (x1, x2) 1 122 12(+ , +)(,),12( , )xhxhx xX YFt t,X Y123(,)P xxh yyh zYZzhX, ,123(,)X Y ZFxh yh zh123(,)( , , ), ,123( , , )x h y hz hx y zX Y ZFt t t , ,23, ,13, ,12( ,)(, ,)(, )X Y ZX Y ZX Y ZFx y

7、h zhFxh y zhFxh yh z, ,3, ,2, ,1( , ,)( , )(, , )X Y ZX Y ZX Y ZFx y zhFx yh zFxh y z, ,( , , )X Y ZFx y z定理定理3.1.1 设(,F,P) 为概率空间，随机向量(X1,X2,Xn)的联合分布函数为为其上的随机向量，它的联合分布函数定义为 ，则12, ,nX XXF112121212 ,1212,12,12,1 2 (i)0( ,)1( ,)lim( ,) = 0=1,2, ( ,) = 0lim( ,)iinnnnnnXXXnnXXXnXXXnXXixxXnxx Fx xxx xxFx

8、xxinFx xx Fx xxxR，即12,=1 + ,+ ,)+ (=1nXXXF即 121212121211, ,12, ,2, ,2, ,12, ,12(iii) ( ,) ( =1,2, )(,)=( ,), ,( ,)+0+=( ,)0nnnnnX XXniX XXnX XXnX XXX XXnnxxxFx xxx inFxxFxxFx xFx xx关于每个变元 右连续，即 121212,12,1,1( )( ,) ( =1,2, )()( =1,2,), ( ,)( ,)nnniiXXXnijXXXiinXXXniiFx xxx inxjn jiFxxFxxxxxx关于每个变元 单

9、增 不减 ，即固定且时1 12 2 1 21212(+,+, ,+)(, ,), ,12(iv) ( ,)0=1,2,( , , ) 0n n nnnnixh xhxhx xxX XXnx xxhin Ft ttR和，有 定理3.1.1的(i)(iii)易于理解，对于(iv)仅证n=2的情况。11122211111122222111221222210(+ ,+)(,+) (+ , +(+ ,)+ (,)P Xxh XxhP Xx XxhP Xxh XxP x Xxhx XxhP Xx Xx-12121212,1122,122,112,12(+ ,+)( ,+) (+ ,)+( ,)X XX X

10、X XX XFxh xhFx xhFxh xFx x-121 12 2,1212(+,+)( , )( ,)X Xxh xhFt tx x 定理3.1.1中的四条性质称为随机向量分布函数的特征性质。柯尔莫哥洛夫存在定理: 若有定义于Rn上的实函数F(x1, x2, xn)满足上述四条性质，则可以构造一个概率空间(,F,P)和其上的随机向量(X1,X2,Xn)，使其联合分布函数： 12, ,121212( ,)=( ,)( ,)，RnnX XXnnnFx xxF x xxx xx联合分布与边缘分布联合分布与边缘分布：随机向量(X1,X2,Xn)的联合分布函数 刻画了随机向量的整体统计特性，根据整

11、体与各个分量的关系，随机向量每个分量的统计特性也应当由其联合分布函数完全刻画。可由随机向量的联合分布得到一维一维随机变量的边缘分布：随机变量的边缘分布：12, ,12( ,)nX XXnFx xx1111()=XP XxxF1312=(,+ ,+ ,+ )nXxPXXX2121, ,122,3, , ,1= l+ ,+ ,+( ,)im( ,)jnnX XXnnX XxXjFxFx xx同样，一维随机变量同样，一维随机变量X2的边缘分布：的边缘分布：12212213, ,121,3, ,2222, ,2()=(+ , , + ,+ )= lim( ,+ ,+ ,+),()(, )nnjXnX

12、XXnxXXXjnFxP XxXxP XXXFxFx xx i1122i, ,121,2,i, ,i,i,( )=()=lim( ,) + ,+ ,+ i=1,2,3, ,n()njnXX XXnxjn,j iX XXFxFx xP XxFxx 同样，可由随机向量的联合分布得到二维随机变量二维随机变量的边缘分布的边缘分布 此外，由联合分布函数的定义可知，联合分布函数具有对称性，即121,12212( ,)=(,X XPFxXx Xxx12112, ,121, ,12(, )( ,)-nnnXXXXnnX XXnFx xx x =Fx xx212111223, ,123,12, ,( ,=(,+

13、 ,+ )= lim( ,),+)+,nnjnX XXnxnXjXXP XxFxXx XXFxx xx,1111,arctanarctan22( ) , ( )X YXYX YFx yxyXYFxFy设的联合分布函数为 求 和 的边缘分布函数例：,( )()(,) ( ,)1111arctanarctan22111111 arctan arctan2222XX YyFxP XxP XxFxxyxYx =解：,( )()(,) (, )1111arctanarctan2211 =arctan2YX YxFyP YyPYyFyxyyX =联合分布函数性质的推广联合分布函数性质的推广：1212121

14、2, , ,12(v) 0= , , =1,2, (,)= lim( ,)()iiknikjkXXXiiiX XXnxj I AknAi iiInFx xxFx xknx对任意，设，则二维边缘分布的维边缘分布由 维联合分布推广唯一确定12121212n, , ,12(vi) ( , , )(1,2, )()(,)=( ,)()iinninXXXiiiX XXni iinFx xxFx xxn设为的任意置换 全排列，则维联合分布的完全对称性。3.1.2 随机变量的独立性随机变量的独立性定义定义3.1.3 设(,F,P) 为概率空间，X1,X2,Xn为其上的随机变量，如果1212, ,121212

15、12n( ,)=( )()() ( ,),则称相互独立。RnnX XXnXXXnnn Fx xxFx FxFx x xxX XX,1111,arctanarctan22X YX YFx yxyXY设的联合分布函数为 例： 求 与 是否独立？ ,11,arctan211,arct,an2, ,=XX YYXX YX YYFxX YXFxFxxYFyFyyx yyFx FyXY 对应 的边缘分布函数为 对应 的边缘分布函数为 对任意实数解： 所以， 与 相有 互独立。定义定义3.1.4 (离散型与连续型随机向量定义)设(,F,P) 为概率空间，( X1,X2,Xn )为其上的随机向量。(1) 若(

16、 X1,X2,Xn )至多取可数多个不同的值，则称之为离散型随机向量离散型随机向量。12n1212n12, ,1212n12, ,1212,12(2) ( ,) (,) =dd( , , )d ( , ( ,),)nnXX XXnxxxX XXnnXnnXnFxfx xxX XXttft tttx xxxxR若存在非负函数，使得随机向量的联合分布函数可以表示为12n12n, ,12 (,)( ,)X XXnX XXfx xx则称为，并称为连续型随机向量的连续型随机向量概率密度函数。例：例：设(,F,P) 为概率空间，( X, Y )为其上的二维随机向量。若( X, Y )至多取可数多个不同的值

17、，则称之为离散型随离散型随机向量机向量。二维离散型随机向量的概率联合分布列 X Yb1b2bjpi a1p11p12p1j a2 P21p22p2j aipi1pi2pij pj11212(1)(2)( )12,1212( )( )( )1212 , 1,2, ,1 , ,2,3, ,nnnllnll llniiiiknnP XaXaXaXXXnXaaainlpXXXll一般地，对为 维离散型随机向量，若 其中称为的联合，都取值于分布列。12(1)(2)( )1212(1)(2)( )12(,)(,) ,nnlllnnnnllnlaaaDDRP XXXDP XaXaXa对于任何n维区域，有 ,

18、2,( , )( , )(,)( , ) (, )( , )X YX YXyYX YDxX Yfx yFP XYfx y dxdyDPX YDfx y dx yxdyyx R若是二维连续型随机向量，是联合密度函数，则联合分布函数: 对于任何区域，有=2,(, ) 1, 01( , ) =0 X YX Ykxyxyx fx y 的联合密度函数： 例其它定理定理3.1.2 设(,F,P) 为概率空间，X1, X2, Xn为其上的随机变量，如果 121212(i)12(1)(2)( )12(1)(2)( )1212(1) ,=,=1,2,=1,2,P=,=,= =, ,1,2,nnniijnnlln

19、lnllnlnX XXP XajinX XXXaXaXaP XaP XaP Xal ll都为随机变量，都有边缘分布列则是其中取值于离散型相互独立的充分必要条件。(2) 若X1,X2,Xn都为连续型随机变量，121212,1212,121212( ,)( ) 1,2,( ,) =()()(), ( ,) ninnXXXnXinXXXnXXXnnnfx xxfxinXXX fx xxfxfxfxx xxR联合密度函数边缘密度函数独立的充分必若为， 为则相互是要条件3.2 二维离散型随机向量二维离散型随机向量3.2.1 二维离散型随机向量的二维离散型随机向量的联合发布列联合发布列与与边缘分布列边缘分

20、布列设二维离散型随机向量(X,Y)的取值为(xi,yj), (i ,j1,2,)，其联合分布列为 P( X=xi , Y=yj )=pij , (i , j =1,2,)联合分布列满足如下两个条件： 11(1) 0(2) 1ijijijpp, (, )( , )ijX YijxxyyX YFx yp二联维离散随机变量的为合分布函数0，则在Y=y发生的条件下X的条件概率密度函数定义为若fX(x)0，在X=x发生的条件下Y的条件概率密度函数定义为,( , )()=,( )X YX| YYfx yfx|yxfy R,( , )()=,( )X YY|XXfx yfy|xyfx R例3.3.6 设(X

21、,Y)的联合密度函数和边缘密度函数分别为2,6 1, 01( , ) =0 11(1)()(2)()23X YX| YY|Xxyxyxfx yfx| y=fy|x=其他 试求，试求。21(1) 1/ 21/ 20,2Yxyx 已知事件发生，,则解解2,2( ) = 3,01,11( , )6122() =4211( )3 ( )222140() =220 YX YX| YYX| Y fyyyfxx fx| y=xfx xfx| y=由于其他 21(2) 1/31/3,1,3Xxy已知事件发生， = 则4,4( ) = 3 (1),01,11( , )618133() =311140( )3 (

22、 )(1 ( ) )333811,11409() =30 XX YY|XXY|X fxxxxfyy fy|x=yfy yfy|x= 由于有-其他 求二维正态分布的条件概率密度函数。例例 221212121111( )( )exp2222XYxyfxexpfy, ,2112222211( , )()=( )11 =(+()2(1)21X YX|YYfx yfx|yfy expx y,22112222112212( , )11exp22(1)21X Yfx yxxyy 解解,22212221222211212( , )()=( )11=(+()2(1)21(+() = = ,(1) )X YY|X

23、XYyfx yfX XxY y|xfx expyxXNy 即在发生条件下， 的条件分布为正态分布： 在发生条件下， 的条件分布为正态 分布： 2222121(+() ,(1) ) Y Nx 3.4 二维随机向量函数的分布二维随机向量函数的分布 二维随机向量(XY)的函数Z=g(X Y)一般也是随机变量，其分布的求取是不容易的。它涉及到随机向量的分布类型和函数的复杂程度。这里仅就最简单的情况：和函数和函数进行讨论。1. 离散型随机向量的和函数的分布离散型随机向量的和函数的分布 设离散随机向量(XY)的联合分布为则和函数ZXY的分布列为(,) ,1,2,ijijP Xx Yypi j(), 1,2

24、,ijkkijxyzP Zzpk()(),012ijX ,YP X,Ypiji j, , ,特别地，若的分布列为, ,00()(), 012 kki k-iiiZXYP ZkP Xi,Ykipk, , , 则的分布列为00()() (), 012 kkik-iiiXYP ZkP Xi P Ykip pk, , , 若 与 独立，则例例 已知XY相互独立，分别服从参数为1及2的泊松分布，求和函数Z=X+Y的分布。解解 因为 XPios(1)，YPios(2)则Z=X+Y的取值为z=0,1,2,3,k,12120,1,2, , () (0,1,2,)!0,1,2, , () (0,1,2,)!ij

25、XiP XieiiYjP Yjejj1200120()(,)() ()!()!kikiik ikiP ZkP Xi YkiP Xi P Ykieeiki121212()120()()1212!()!()() 0,1,2,!ik ikkikekki kieekkk 12( )ZXYPios所以，例例 设（设（X,Y）的分布列为：）的分布列为：X Y-102-15/202/206/2023/203/201/20求函数求函数 Z = XY 的分布列。的分布列。(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,2)Z=XY10-2-204P5/202/206/203/203/

26、201/20Z=XY的分布列：Z=XY-2014P9/205/205/201/202 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 若二维连续随机型向量(XY)的联合密度为fX,Y(x,y), 若随机变量(XY)的函数Zg(XY)，可先求Z分布函数FZ(z)，再确定Z密度函数fZ(z)。 (式中的积分是由不等式g(x , y)z所确定的平面区域。)( , ),( )()()( ,(,)Zg x yzX Yg X YzFzP ZzPfx y dxdyd( )( )d由此得 的概率密度 ZZZfzF zz特别对和函数 Zg(XY)=X+Y的分布函数FZ(z)有当XY为独立随机变量时，有,( )

27、(Z)()( , )d dX YZx y zF zPzP XYzfx yx y ( )( )( )z xZXYF zfx fy dy dx ,XY( , )( )( )X Yfx yfx fy,( , )d dX Yz xfx yyx y u ( )()d ddu( )()d XzzYXYxfx fuxuffuxxxx 可得到连续型随机变量和函数 ZX+Y的概率密度函数：一般将积分 称为f(x)与g(x)的卷积，记作：卷积可交换，即 f(x)g(x)=g(x)f(x)。所以结论：结论：两个独立的连续随机变量之和的概率密度是它们两个独立的连续随机变量之和的概率密度是它们 各自概率密度各自概率密度

28、的卷积的卷积。( )( )( )()ZXYZdfzFzfx fzx dxdz( )* ( )( ) ()xxxfgf u gu du( )( )( )( )( )()( )dZXYYXXYfzfzfzfzfzfzx fx x( ) ()df u g xuu例例 已知XY独立且同服从标准正态分布，求Z=X+Y的密度函数。解解222211( ), ( )22XYxyfxefye2222()22()42( )( )*( )( )()112212ZYYXXxz xzzxfzfzfzfx fzx dxeedxeedx(,)2ztxdxdt令且 一般有一般有X1, X2独立且独立且X1N( 1, 12), X2N( 2, 22), 则则X1+X2 N( 1+ 2 , 12+ 22)，即，即 = 1+ 2 , 2 = 12+ 2222222442 (