第五章 大数定律与中心极限定理

1、 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理1第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 大数定律大数定律 2 中心极限定理中心极限定理1.1 切比雪夫不等式切比雪夫不等式1.2 依概率收敛依概率收敛1.3 大数定律大数定律 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理2概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规是研究随机现象统计规律性的学科。律性的学科。条件下进行大量重复试验时才会呈现出来。条件下进行大量重复试验时才会呈现出来。随机现象的规律性只有在相同的随机现象的规律性只有在相同的也就是说，也就是说，要从随机现象中去寻求

2、必然的法则要从随机现象中去寻求必然的法则 应该研究大量随机现象应该研究大量随机现象。 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理3式，式，研究大量的随机现象，研究大量的随机现象，极限定理的内容很广泛，极限定理的内容很广泛，大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理下面我们先介绍下面我们先介绍 大数定律大数定律有两种：有两种：常常采用极限形常常采用极限形由此导致对极限定理进行研究。由此导致对极限定理进行研究。其中最重要的其中最重要的 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理4大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过

3、程中的生产过程中的废品率废品率1 1大数定律大数定律 (law of large number)大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性。大量的随机现象中平均结果的稳定性。 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理51.1 切比雪夫不等式切比雪夫不等式证明证明.,)(,)(222成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XPXDXEX 取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明.则则有有的的概概率率密密度度为为设设),(xfX 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 Hai

4、Nan University第五章 大数定律与中心极限定理6.22XP 22XP .122XP 得得|( )xPXf x dx xO( )f x 22|( )xxf x dx 221()( )xf x dx 222DX 被积函数被积函数放大放大积分区间积分区间放大放大证毕. HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理7未知情况下，|PX的概率的一种估计方法。例如在上面不等式中，3 ,4 | 3 0.8889PX| 4 0.9375PX切比雪夫不等式给出了随机变量的分布X事件取 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理8例例10设一批种子的良种率为，

5、16任意选出600粒，值不超过0.02的概率。1(600, )6XB115()600,()600666E XD X解解设表示600粒种子中的良种数，X这600粒种子中良种所占比例与之差的绝对16从中试用切比晓夫不等式估计：则 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理9由切比雪夫不等式有10060060010.020.026XXPP 1002()12112D XP X 600156610.4213144 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理10例例11利用切比雪夫不等式证明()0 ,D X 若()1P XE X则 ()()0P XE XP XE

6、 X证明 ()0PXE X 1()0PXE X ()0PXE X而11()nPXE Xn 概率的次可概率的次可列可加性列可加性11()nPXE Xn HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理11由概率的非负性及切比雪夫不等式得 21()0()1/D XPXE Xnn0 1()0PXE Xn所以(1, 2 ,)n 10()000nPXE X ()00PXE X ()1P XE X即因此证毕. HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理12上例结论()0()1D XP XE X又由方差性质知()1()0P XE XD X由此证明了方差性质（4）()01

7、D XP XC HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理13解解 由于由于例例1 已知随机变量已知随机变量X和和Y的数学期望的数学期望方差以及相方差以及相关系数分别为关系数分别为()( )2,E XE Y ()1,D X ( )4,D Y ,0.5,X Y 用切比雪夫不等式估计概率用切比雪夫不等式估计概率6.P XY ()()( )0,E XYE XE Y ,(,)()( )1,X Ycov X YD XD Y ()( )( ) 2( , )5 2 3,D X YD XDYcov X Y 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式2()()()66310.0833.3612D X

8、YPXYE XY HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理14例例2 掷一颗骰子掷一颗骰子1620次，估计次，估计“六点六点”出现出现的次数的次数X在在250290之间的概率？之间的概率？解解由切比雪夫不等式估计由切比雪夫不等式估计)61,1620( BX,270611620)( npXE,22565611620)1()( pnpXD 290250XP20|270| XP2202251 4375.0 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理15解：解：数数表示夜晚同时开灯的盏表示夜晚同时开灯的盏设设X)2()7 . 0 ,10000( BX则则,

9、7000)( XE,2100)( XD由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式,)(1| )(|2 XDXEXP 68007200PX故故200|7000| XP220021001 9475. 0 为为所所求求 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理16解：解：数数表示夜晚同时开灯的盏表示夜晚同时开灯的盏设设X)1()7 . 0 ,10000( BX则则,7000)( XE,2100)( XD由中心极限定理由中心极限定理)1 , 0()1(NpnpnpX 近近似似 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理17 21002002100200 680072

10、00PX故故 21007000720021007000210070006800XP121002002 13644. 42 1 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理18定义定义【1.1】设是随机变量设是随机变量12,nYYY序列，序列，lim1nnP Ya 是一个常数。是一个常数。a若对任意正数，若对任意正数， 有有则称则称 依概率收敛于依概率收敛于，记为，记为12,nYYYaPnYa 性质性质设，设，,PPnnXa Yb 则则在点连续，在点连续，( , )a b又设函数又设函数( , )g x y(,)( , )Pnng X Yg a b 1.2 依概率收敛依概率收

11、敛 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理19请注意请注意 : .10可可能能性性很很小小生生的的的的发发生生，而而只只是是说说他他发发并并不不排排除除事事件件；的的概概率率很很大大，接接近近于于充充分分大大时时，事事件件当当，意意味味着着对对任任意意给给定定的的依依概概率率收收敛敛于于 XXXXnaXnnn.定定性性弱弱些些，它它具具有有某某种种不不确确中中的的普普通通意意义义下下的的收收敛敛依依概概率率收收敛敛比比高高等等数数学学第五章第五章第五章第五章第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律与

12、中心极限定理大数定律与中心极限定理2020/8/8lim|0nnPXX nX,X.PnXX 12,nX X XX0,lim |1nnPXXlim |0nnP XXPnXX n|nXXAnn11/2n O12PAnnXn 1212k HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理21定义定义【1.2】设是随机变设是随机变(1, 2 ,)nXn 量序列，量序列，lim1nnnP Ya 若存在常数序列若存在常数序列或或令令11,nnkkYXn lim0nnnP Ya (1, 2 ,),nan 则称服从则称服从大数定律大数定律.nX使得对任意正数，有使得对任意正数，有 HaiNan

13、University第五章 大数定律与中心极限定理22定理定理1.1（契比雪夫大数定理）（契比雪夫大数定理）有有则则对对于于任任意意正正数数并并有有公公共共的的上上界界且且都都具具有有有有限限的的方方差差两两两两不不相相关关设设随随机机变变量量 ,C)X(D,C)X(D,C)X(D, ,X,X,Xn21n21.)(lim| )(|lim0111111 niiniinniknXEnXnPXEnXP HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理23.| )(1|, ,0, , ,| )(1|11成立的概率很小等式不充分大时当即对于任意正数时这个事件的概率趋于当明等式表是一个随机

14、事件 niiniiXEnXnnXEnX HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理24证明证明nCXDnXnDniinii )(11121由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得,)()(221111110nCXDXEnXnPniinniinii ，则则在在上上式式中中令令 n.)(0XEn1Xn1Pn1iin1ii 证毕证毕故两两不相关因为,nX HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理25关于定理关于定理1.1的说明的说明:. )X(En1Xn1X,X ,X , n in1in1iin21 值值的的算算术术平平均均接接近近于于它它们们的的数数学

15、学期期望望均均的的算算术术平平随随机机变变量量很很大大时时当当（这个接近是概率意义下的接近）（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下, n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均, 当当n无限增加时无限增加时, 几乎变成一个常数几乎变成一个常数. HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理261.3几个常见的大数定理几个常见的大数定理定理定理【1.1】（切比雪夫定理的特殊情况）（切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量相互独立，设随机变量相互独立，12,nXXX且具有相同的数学期望和方差：且具有相同的数学期望和方差：(),kE X 2()(1, 2 ,),kD

16、 Xk 令令11,nkkXXn 则对于则对于任意的，有任意的，有0 lim|nPX11lim|0nknkPXn 11lim|1nknkPXn 或或 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理27证明证明11()nkkEXn 11()nkkDXn 由于由于由切比雪夫不等式得由切比雪夫不等式得2211/|1nkknPXn 11lim|1nknkPXn 则则证毕证毕.11()nkkE Xn 11nkn 211()nkkD Xn 22211nnn HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理28注意注意切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律表明表明，11nkkXn

17、与其数学期望偏差很小的概率接近于与其数学期望偏差很小的概率接近于1.差不多不再是随机的差不多不再是随机的11nkkXn 了，了， 取值接近于其数学期望的概率接近于取值接近于其数学期望的概率接近于1。切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性平均值稳定性的科学描述的科学描述即当即当充分大时，充分大时，n如果数学期望与方差相同，如果数学期望与方差相同，nX变量序列，变量序列，独立随机独立随机则则 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理29定理定理【1.1】也可叙述为也可叙述为设随机变量相互独立，设随机变量相互独立，12,nXXX且具有相同的数学期望和方差：且

18、具有相同的数学期望和方差：(),kE X 2()(1, 2 ,),kD Xk 则序列则序列11nkkXXn 依概率收敛于，依概率收敛于， 即即PX HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理30定理定理【1.2】（伯努利大数定理）（伯努利大数定理）设是次独立重复试验中事件设是次独立重复试验中事件Ann发生的次数，发生的次数，A则对任意的则对任意的0 , 有有lim|1AnnPpn lim|0AnnPpn 或或pA是事件发生的概率，是事件发生的概率， 是否具有稳定性呢？是否具有稳定性呢？替事件的概率，频率替事件的概率，频率事件发生的频率能否代事件发生的频率能否代 HaiNa

19、n University第五章 大数定律与中心极限定理31证明证明0(1, 2 , )1kkAXknkA 在第 次试验中 不发生在第 次试验中 发生令令1,nAkknX 则则其中相互独立，其中相互独立，12,nXXX(0,1)且均服从参数为的分布。且均服从参数为的分布。 p因而因而(),()(1) (1, 2 , ),kkE Xp D Xppkn11lim|1niniPXpn 由定理由定理1.1得得lim|1AnnPpn 此定理说明此定理说明了了频率的稳定频率的稳定性性即即证毕证毕. HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理32关于关于伯努利伯努利定理的说明定理的说明:

20、 故而当故而当n很大时很大时, 事件发生的频率与事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应在实际应用中用中, 当试验次数很大时当试验次数很大时, 便可以用事件便可以用事件发生的频率来代替事件的概率发生的频率来代替事件的概率. 伯努里大数定律表明，事件伯努里大数定律表明，事件A发生的发生的频率频率nA/n依概率收敛于事件依概率收敛于事件A的概率的概率p，它它以严格的数学形式表达了频率的稳定性以严格的数学形式表达了频率的稳定性. HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理33定理定理4（泊松大数定理）（泊松大数定理）. 1pn1nPlim

21、0pn1nPlim , 0 ,An ,pk A ,n1kknnn1kknnnk 或或有有则则对对于于任任意意正正数数的的次次数数出出现现次次试试验验中中事事件件记记在在前前以以中中发发生生的的概概率率是是次次试试验验在在第第事事件件列列中中如如果果在在一一个个独独立立试试验验序序证明证明引入随机变量引入随机变量 ., 2 , 1, 1, 0kAkAkXk发生发生次试验中次试验中若在第若在第不发生不发生次试验中次试验中若在第若在第则类似于定理则类似于定理4.3可得结论可得结论. HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理34定理定理【1.3】（辛钦大数定理）（辛钦大数定理）

22、()(1, 2 ,),kE Xk 12,nXXX设随机变量设随机变量独立同分布，独立同分布， 且具有数学期望且具有数学期望 则对任意的则对任意的 0 , 有有 11lim|1nknkPXn （证明略）（证明略）说明说明伯努利大数定律是辛钦大数定律伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。的特殊情况。 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理35辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值例如例如要估计某地区的平均亩产量，要估计某地区的平均亩产量，提供了一条实际可行的途径。提供了一条实际可行的途径。某些有代表性的地块，某些有代表性的地块，要收割要收割

23、亩产量，亩产量，平均亩产量的一个估计。平均亩产量的一个估计。n例如例如块，块，计算其平均计算其平均n则当则当较大时，较大时， 可用它作为整个地区可用它作为整个地区辛钦定理辛钦定理具有广泛具有广泛的适用性的适用性.注注 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理36 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理37(GG1).G,LLD| .DGDLG1122(,),(,),(,)nnXYXYXY1122(,),(,),(,)nnAnXYXYXYD ( )PAnP An A D|.AnDnn,D|D DG HaiNan University第五章 大数定

24、律与中心极限定理38 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理39、典型例题、典型例题?2111210,22221理理问是否满足契比雪夫定问是否满足契比雪夫定具有如下分布律：具有如下分布律：相互独立相互独立设随机变量设随机变量nnnPnanaXXXXnn 解解 独立性依题意可知独立性依题意可知, 检验是否具有数学期望？检验是否具有数学期望？ )(nXE222n21na)n11(0n21na , 0 例例1 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理40说明每一个随机变量都有数学期望说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？检验是否具有有

25、限方差？222222211121)(0)(nnnPnanaXn )(2nXE22221)(2anna )(nXD22 )()(nnXEXE ,2a 说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件故满足契比雪夫定理的条件. HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理41有有意正数意正数证明对任证明对任且且独立同分布独立同分布设随机变量设随机变量 , 2 , 1,)(, 0)(,221 kXDXEXXXkkn解解. 11lim212 nkknXnP是相互独立的，是相互独立的，因为因为, 21nXXX也是相互独立的，也是相互独立的，所以所以,

26、 22221nXXX, 0)( kXE由由22 )()()( kkkXEXDXE 得得,2 由由辛钦定理辛钦定理知知有有对于任意正数对于任意正数 , . 11lim212 nkknXnP例例2 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理42例例3.) 1(2)(,)(,21221依依概概率率收收敛敛到到均均存存在在，证证明明量量序序列列，是是独独立立同同分分布布的的随随机机变变设设iiniiniXnnYXDXEXXXiX)1n(n2E)Y(En1iin 因因为为证证明明 n1ii)X(iE)1n(n2 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理43

27、n1ii)1n(n2)X(Di)1n(n4)Y(Dn1ii222n n1i2222i)1n(n4)1n(n3)1n2(2)1n(n6)1n2)(1n(n42222 ，由切比谢夫不等式得，由切比谢夫不等式得从而对任意给定的从而对任意给定的0 2nn)Y(D|Y|P0 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理44)n(0)1n(n3)1n2(222 . PnY因此因此 HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理45例例4 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的的同样的 球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一球，从罐中有放回

28、地抽取若干次，每次抽一 个，并记下号码个，并记下号码. 否则次取到号码第001kXk 设设，k=1,2, 问对序列问对序列Xk能否应用大数定律？能否应用大数定律？nkknXnP11| 1 . 01|lim 即即对对任意的任意的0,解解: ,9 . 01 . 001kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律数定律. HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理46四、小结四、小结大大数数定定律律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：最根本

29、的性质之一： 平均结果的稳定性平均结果的稳定性 2)()( kkXDXE )(kXE),(pnBnA大大数数定定律律伯伯努努利利1|lim pnnPAn大大数数定定律律切切比比雪雪夫夫1|1|lim1 niinXnP大大数数定定律律辛辛钦钦1|1|lim1 niinXnP HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理47. 213)2(;86) 1 ( :,19)(,12)(1XPXPXDXE估计用切比雪夫不等式已知例;)(| )(|2XDXEXP)(21)()(3213)2(XEXEXXEPXP解:由切比雪夫不等式)(18)()(6186) 1 (XEXEXXEPXP6)

30、(61218)(126XEXPXEXP6)(XEXP436916)(122XD9)(91221)(123XEXPXEXP9)(XEXP989919)(122XD HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理4894005200 XP)(9400)()(5200XEXEXXEP73009400)()73005200XEXP于于是是有有由由题题设设知知解解.700)(,7300)( XDXE2100)(2100XEXP2100)(XEXP.98210070012100)(1222XD例例2 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数平每毫升白细胞数平均是均是7

31、300,标准差是标准差是700,利用切比雪夫不等式估计每利用切比雪夫不等式估计每毫升男性成人血液中含白细胞数在毫升男性成人血液中含白细胞数在5200至至9400之间之间的概率的概率. HaiNan University第五章 大数定律与中心极限定理494.5 中心极限定理中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结(central limit theorem)Soft Computing Lab.50一、问题的引入一、问题的引入实例实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成

32、的微这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和小误差的总和, 这些因素包括这些因素包括: 瞄准误差、测量瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等如外形、重量等) 的的误差以及射击时武器的振动、气象因素误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、如风速、风向、能见度、温度等风向、能见度、温度等) 的作用的作用, 所有这些不同所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们并且它们中每一个对总和产生的影响不大中每一个对总和产生的影响不大.问题问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀某个随机变量是由大量相互独立且均匀

33、小的随机变量相加而成的小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况研究其概率分布情况.Soft Computing Lab.51对我们来说重要的是这些随机因素的总影响对我们来说重要的是这些随机因素的总影响研究独立随机变量之和所特有的规律性研究独立随机变量之和所特有的规律性问题问题当当n无限增大时，这个和无限增大时，这个和的极限分布是什么的极限分布是什么？本节内容本节内容 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理52自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，态分布之后，在自然界中极为常见。在自然界中极为常见。观察表明，观察

34、表明，的随机因素的影响所造成，的随机因素的影响所造成，总影响中所起的作用不大。总影响中所起的作用不大。这种量一般都服从或近似服从正态分布这种量一般都服从或近似服从正态分布人们发现正态分布人们发现正态分布而每一个别因素在而每一个别因素在如果一个量是由大量相互独立如果一个量是由大量相互独立 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理53 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故不，故不研究研究n个随机变量之和本身而考虑它的个随机变量之和本身而考虑它的标准化的标准化的随机变量随机变量的分布函数的极限的分布函数的极限.111()

35、()nnkkkknnkkXEXZDX 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做态分布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.n 1niiX( , )N 111()()nniiiiniiXE XDX(0,1)N2(), () (1,2,)nnnnE XD XnnX111()()nnkkkknnkkEXXZDX1121 (1,2,) nnkkkknkkXn()0,()1 (1,2,)nnE ZD ZnnZ(0,1)N111 (1,2,)nXZn1X0 (2,3,),nXn HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理

36、大数定律与中心极限定理56定义定义【2.1】 设是独立的设是独立的12,nXXX随机变量序列，随机变量序列，(),()kkE XD X存在，存在，令令111()()nnkkkknnkkXE XZD X 221lim2xtnnP Zxedt 有有nX则称服从则称服从中心极限定理。中心极限定理。若对任意实数，若对任意实数，xnX HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理57定理定理【2.1】(独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理)（列维林德维格（列维林德维格Levy-Lindberg 定理）定理）设随机变量独立同分布，设随机变量独立同

37、分布，12,nXXX具有数学期望和方差：具有数学期望和方差：(),kE X 2()0kD X (1, 2 ,),k 随机变量之和随机变量之和1nkkX 的标准化变量的标准化变量111()()nnkkkknnkkXEXYDX 为为 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理581111()()nnnkkkkkknnkkXEXXnYnDX 的分布函数对任意实数，的分布函数对任意实数，( )nFxx1lim( )limnkknnnXnFxPxn 122/2xtedt ( )x （证明略）（证明略）则则满足满足 HaiNan University第五章

38、第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理59和方差的独立同分布的随机变量之和和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从近似服从正态分布。正态分布。当当充分大时，充分大时，n1(0,1)nkkXnNn 也可写成也可写成11(0,1)/nkkXXnNnn 或或2(,/ )XNn 独立同分布的独立同分布的随机变量随机变量的算数平均值的算数平均值12,nXXX定理表明定理表明n个具有期望个具有期望00.96, 10.04kkP XP Xp5001 (20, 19.2 )kkNX1, 0,kX(1,2,500)k k12500,XXX50010.95kkPNXN19.2)1 (2004. 0

39、005pnpnppn) 2 .1920(N95. 0500500112020 19.219.2kkkkXNPPNX65. 12 .1920N27.23N (1.65)0.95 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理61定理定理【2.2】（李雅普诺夫（李雅普诺夫Liapunov定理）定理）设随机变量设随机变量12,nXXX相互独立，相互独立，具有数学期望和方差：具有数学期望和方差：(),kkE X 2()0kkD X (1, 2 ,),k 记记221,nnkkB 若存在正数若存在正数, 使得当时，使得当时，n 2211|0nkkknEXB H

40、aiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理62则随机变量之和的标准化量则随机变量之和的标准化量1nkkX 11111()()nnnnkkkkkkkknnnkkXEXXZBDX 11lim( )limnnkkkknnnnXFxPxB 的分布函数对任意实数，的分布函数对任意实数，( )nFxx221( )2xtedtx （证明略）（证明略）满足满足 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理63在定理的条件下，随机变量在定理的条件下，随机变量11nnkkkknnXZB 11nnknnkkkXB Z 当

41、很大时，近似服从正态分布。当很大时，近似服从正态分布。(0,1)Nn近似服从正态分布近似服从正态分布21(,)nknkNB 无论各个随机变量服从什么分布，无论各个随机变量服从什么分布，态分布。态分布。其和其和当很大时，就近似服从正当很大时，就近似服从正n定理表明定理表明即即只要满只要满足定理条件，足定理条件， HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理64定理定理【2.3】（棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯 DeMoivreLaplace定理）定理）设随机变量服从参数为设随机变量服从参数为(1, 2 ,)nn ,n p(01)p的二项分布，的二项

42、分布，( , ),nB n p 即即则对任意则对任意lim(1)nnnpPxnpp 的，的，x有有221( )2xtedtx 1/2p 01p HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理65证明证明(01) 分布的随机变量之和，分布的随机变量之和，12,nXXX1nnkkX 将分解为个相互独立服从同一将分解为个相互独立服从同一n n即即(1, 2 , )kXkn 其中的分布律为其中的分布律为kXP011pp (),()(1)kkE Xp D Xpp HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理66

43、由定理由定理2.1得得lim(1)nnnpPxnpp 2212xtedt 2121lim2nxtkknXnPxedtn 1lim(1)nkknXnpPxnpp ( )x 证毕证毕. HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理67正态分布是二项分布的极限正态分布是二项分布的极限分布。分布。二项分布的概率。二项分布的概率。当充分大时，当充分大时，n例例随机变量随机变量( , )(1, 2 ,),nB n pn 当当n充分大时充分大时nP ab ()()bnpanpnpqnpq (1)qp定理表明定理表明可利用正态分布的概率求可利用正态分布的概率求n

44、npanpbnpPnpqnpqnpq HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理68下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.ENDENDEND HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理70中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量

45、之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实线这一值得注意的事实. HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理71例例150550.977? 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，平均每箱重是一个随机变量，平均每箱重 千克，标准千克，标准差差 千克。若用最大载重量为千克。若用最大载重量为利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，利用中心极限定理说明每辆车最多可装

46、多少箱，才能保证不超载的概率大于才能保证不超载的概率大于吨的卡车承运，吨的卡车承运，n(1,2, )iX in12,nXXX()50,iE X()25,iD X1,2,inn解解 设每辆车最多可装设每辆车最多可装箱，记箱，记为装运的第为装运的第i 箱的重量（千克），则箱的重量（千克），则相互独立且分布相同，且相互独立且分布相同，且 ， 于是于是箱的总重为箱的总重为 12nnTXXX HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理7215050005050002525niinXnnP TPnn 500050()0.977(2)25nn 500050(

47、)25nn 由独立同分布的中心极限定理，有由独立同分布的中心极限定理，有 有有 500050225nn 解得解得98.02n ，即每辆车最多可装，即每辆车最多可装98箱箱. 由题意，令由题意，令 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理73(200,0.6)XB例例1某车间有某车间有200台车床，台车床，问供电所至少要供给这个车间多少电力，问供电所至少要供给这个车间多少电力，作着，作着，以以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。而影响生产。解解某时刻工作着的车床数为，某时刻工作着的车床数为，X

48、则则概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.设至少要供给这个车间设至少要供给这个车间 千瓦电才能以千瓦电才能以99.9%的的r它们独立地工它们独立地工开工率为开工率为 0.6， 开工时耗电各为开工时耗电各为 1千瓦，千瓦，才能才能 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理742002000(0.6) (0.4)rkkkkP XrC 120()( 17.32)48r 由题意有由题意有200 0.6200 0.6()()200 0.6 0.4200 0.6 0.4r 1203.1,48r 141r 查表得

49、查表得所以所以即供给即供给141千瓦电就能以千瓦电就能以99.9%的概率保证这个的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。车间不会因供电不足而影响生产。120()0.99948r HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理75由上面的定理知由上面的定理知用频率估计概率时误差的估计用频率估计概率时误差的估计nPpn nnpPn nnpnnPpqpqnpq nnpqpq 用这个关系式可解决许多实际计算问题。用这个关系式可解决许多实际计算问题。21npq HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理7

50、6第一类问题第一类问题,np 已知已知 求概率求概率nPpn 第二类问题第二类问题次试验？次试验？21npq 要使与的差小于定数的要使与的差小于定数的nn p 概率不小于预先给定的数，概率不小于预先给定的数， 只需求满足上式的最小的。只需求满足上式的最小的。n21nnPpnpq 问至少应做多少问至少应做多少 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理77第三类问题第三类问题2 ()1,x ,nxpq ,np 已知第二类问题中的已知第二类问题中的先求先求,x 有有pqxn 所以所以21nnPpnpq 使得使得由分布函数的性质由分布函数的性质 求求

51、 。 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理78例例2现有一批种子，其中良种占现有一批种子，其中良种占1/6。任取任取6000粒，粒，粒种子中良种所占的比例与粒种子中良种所占的比例与1/6的差不超过多的差不超过多少？少？由由棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理1(6000 ,)6XB解解设良种数为，设良种数为，X1-60.996000XP 设不超过的界限为，设不超过的界限为， 今今问能以问能以0.99的概率保证在这的概率保证在这6000相应的良种粒数在哪个范围内？相应的良种粒数在哪个范围内？则则则则 HaiNan University第五章

52、第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理791 -66000XP 6000 1/660006000 1/6 5/66000 1/6 5/6XP lim( )6000,1/6nnnpPxxnpqnp 6000216000 1/6 5/6 故近似地有故近似地有6000210.996000 1/6 5/6 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理8060000.9956000 1/6 5/6 60002.586000 1/6 5/6 查表得查表得0.0124 即即良种粒数的范围为良种粒数的范围为X1-66000X (1/60.0124)

53、 6000(1/60.0124) 6000X9251075X即即 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理81例例3设一个系统由设一个系统由100个相互独立起作用个相互独立起作用的部件组成，的部件组成，整个系统正常工作，整个系统正常工作，工作，工作，(100,0.1),XB解解设是损坏的部件数，设是损坏的部件数，X整个系统能正常工作，整个系统能正常工作，15 ,X 由棣莫佛拉普拉斯定理有由棣莫佛拉普拉斯定理有15P X 15100 0.1100 0.1 0.9 为了使为了使求整个系统正常工作的概率。求整个系统正常工作的概率。当且仅当当且仅当1

54、00 0.115100 0.1100 0.1 0.9100 0.1 0.9XP50.9523 每个部件的损坏率为每个部件的损坏率为0.1。至少必须有至少必须有85个部件正常个部件正常 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理82例例4某单位有某单位有200台电话分机，台电话分机，有有5%的时间要使用外线通话。的时间要使用外线通话。否使用外线是相互独立的，否使用外线是相互独立的，装多少条外线，装多少条外线，机用外线时不等待？机用外线时不等待？(200,0.05),XB解解设有部分机同时使用外线，设有部分机同时使用外线，X10 ,(1)3.08n

55、pnpp由题意有由题意有设有条外线，设有条外线，N0.9P XN每台分机每台分机假定每台分机是假定每台分机是问该单位总机要安问该单位总机要安才能以才能以90%以上的概率保证分以上的概率保证分则有则有 HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理83由由棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理P XN (1)(1)XnpNnpPnppnpp103.08(1)NnpNnpp 查表得查表得(1.28)0.90 ,101.283.08N 所以所以13.94 ,N 解得解得即至少要安装即至少要安装14条外线。条外线。0.9 HaiNan University第

56、五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理84例例5一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电压个噪声电压(1, 2 , 20),kV k 设它们是互相独立的随机变设它们是互相独立的随机变量，量，201,kkVV 求的近似值。求的近似值。105P V 100()5 ,()(1, 2 , 20)12kkE VD Vk解解由定理由定理2.1120 520 5100/1220100/1220nkkVVZ 且都在区间且都在区间 (0,10) 上服从均匀分布，上服从均匀分布，记记2121lim2nxtkknXnPxedtn HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极

57、限定理大数定律与中心极限定理85105P V 近似服从正态分布近似服从正态分布1000.387(10/ 12)20VP 10010.387(10/ 12)20VP 1(0.387)0.3482220 510520 510 /122010 /1220VP HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理86例例6对于一个学生而言，来参加家长会对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量。的家长人数是一个随机变量。家长、家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率名家长来参加会议的概率分别为分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有若学校

58、共有400名学名学生，生，且服从同一分布。且服从同一分布。 （1）求参加会议的家长数）求参加会议的家长数超过超过450的概率；的概率；（2）求有一名家长来参加）求有一名家长来参加会议的学生数不多于会议的学生数不多于340的概率。的概率。设一个学生无设一个学生无设各学生参加家长会的家长数相互独立，设各学生参加家长会的家长数相互独立， HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理87解（解（1）学生来参加会议的家长数，学生来参加会议的家长数，则则 的分布律为的分布律为kX012kXkp0.050.80.15得得()1.1,()0.19(1, 2 ,

59、400)kkE XD Xk而参加会议的家长数而参加会议的家长数4001,kkXX 由定理由定理2.1知，知，4001400 1.1400 1.14000.194000.19kkXX 以记第以记第 个个(1, 2 , 400)kXk k HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理88450P X 400 1.111.1474000.19XP 1(1.147)0.1257近似服从正态分布，近似服从正态分布，(0,1)N于是于是400 1.1450400 1.14000.194000.19XP HaiNan University第五章第五章 大数定律

60、与中心极限定理大数定律与中心极限定理89则则(400,0.8),YB（2）以记有一名家长来参加会议的学生数）以记有一名家长来参加会议的学生数Y由定理由定理2.3知知340P Y 400 0.82.5400 0.8 0.2YP(2.5)0.9938 400 0.8340400 0.8400 0.8 0.2400 0.8 0.2YP HaiNan University第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理90.,1,), 2, 1()1, 1(,1221并指出其分布参数并指出其分布参数正态分布正态分布近似服从近似服从随机变量随机变量充分大时充分大时证当证当试试上服从均匀分布上服