论文题目 ：半无限长弦振动的求解1

1、 前言 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 用用MATLAB求解时所用到的函数求解时所用到的函数 无限长的弦的自由振动无限长的弦的自由振动 半无限长弦振动半无限长弦振动 达朗贝尔公式： 达朗贝尔公式的适用范围：波动方程为：没有边界条件，有初始条件；初始位移为：u|t=0=(x), 初始速度为ut|t=0=(x) 。 x+atx-at11u(x, t)= (x+at)+(x-at)+() d22a2-a= 0uuttxx 无限长的弦的自由振动无限长的弦的自由振动 例题1：定解问题 utt-a*auxx=0 (-x) u（x,t=0）= sinTlx =(x) ut (x,t=0)=0 由达朗贝尔公式求得：

2、 u（x,t=0）= sinTlxcosTl(at) ，用软件MATLAB进行求解得的图像按时间先后得到图形如下所示：00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.5

3、0.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05 结论结论：由常规求解得到的波形为sinTlxcosTl（at)，在(3l7x4l7)的波形sinTlx向x轴的负方向传播及在(3l7x4l7)的波形sinTlx向x轴的正方向传播；在MATLAB上进行求解所得图像与之符合，两例波所通过的地区振动消失而弦静止在原平衡位置. 例题2：定解问题： utt-a*auxx=0 (-x) u（x,t=0）=(x)=0 ut (x,t=0)=(x)=1 由达朗贝尔公式求得：表示的波形向左和向右以a的速度移动.波也通过的地区,振动消失但偏离了

4、原平衡位置，用软件MATLAB进行求解的图像.按时间先后得到图形如下所示： 1x x= ( ) d-2a00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.0500.10.20.30.40.50.60.70

5、.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05 结论结论：用MATLAB求解得到的结果与常规求解所得结果一致，波也通过的地区,振动消失但偏离了原平衡位置. 用端点反射来解决半无限长弦振动问题用端点反射来解决半无限长弦振动问题例题1:半无限长弦振动的初始位移和初始速度都为零，端点做很小的振动；u|x=0=Asin(wt)，求该弦的振动。 解：设u(x,t)表示t时刻x处的位移 定解问题 : utt-a*auxx=0 (0 xat,则端点的影响未传到由达朗贝尔公式 得u(x,t)=0ii当xat，考虑到端点的影响，对问题进行延拓，设t=0时

6、刻,(x) =0 (x0) ; (x)= (x) (x0) (x) = 0 (x0); (x)=(x) (x0)代入达朗贝尔公式并且满足边界条件，假设(x)=0时，则(x)=2 Asin（-wx/a）.得到的解为u（x,t）= Asinw（t-x/a），结论：在没有端点x=0影响下得到的波形是为零,然而随着时间的改变,被端点反射的波影响的部分的波形为u（x,t）= Asinw （t-x/a）. 例题2.求解无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻R 而相接。初始电压分布Acoskx,初始电流分布Acoskx,在什么条件下端点没有反射（这种情况叫做匹配） 解：设v(x,t)为t时刻x,处的电

7、压 j(x,t)为t时刻x,处的电流定解问题：电压 vtt-a*avxx=0 x0 v(x,t=0)=Acoskx= (x) Vt (x,t=0)= =(x) 电流 jtt-a*ajxx=0 j(x,t=0)= Acoskx=(x) jt(x,t=0)= =(x) A k s i n k xL CC / LAksinkxL(1).xat,认为端点的影响不能传到，由达朗贝尔公式求解得： v（x,t）=Acosk(x-at) j（x,t）= Acosk(x-at) (2). xat,考虑到端点的影响，令 v（x,t）=Acosk(x-at)+V1 (x+at) ， j（x,t）= Acosk(x-

8、at) +j1 (x+at) 由jt=-vx/L， Vt=-jx/C的关系得 j1 (x+at)=- V1 (x+at) 再加上边界条件v(x=0,t)=Rj(x=0,t),解得 C/L C/LL/C a tA c o s k a t11 - RC / LC / L1 + RC / Lj a tA c o s k a t11 - RC / L1 + RC / Lvvx,tAcosk xatAcoskat1-R C/L（）1+R C/L则j x,tAcosk x at Acoskat1-R C/L（）C/L1+R C/LAcoskat由表达式可知(x+at)项为反射波，要使反射波不存在，则 =0即 = 则R0称为传输线的特性阻抗。结论 ：在没有端点x=0反射波的影响的时候的电压和电流的波形分别是v（x,t）= Acosk(x-at)和j（x,t）= Acosk(x-at)，受到端点的反射波影