2019-2020年高二数学7.3两条直线的位置关系(备课资料)大纲人教版必修

1、2019-2020年高二数学7.3两条直线的位置关系(备课资料)大纲人教版必一、参考例题例1: (xx年全国)两条直线 Ax+ By + C= 0, Ax+ By + C2= 0垂直的充要条件是()A. AA+ B E2= 0B. A1A2 B1E2 = 0C. = 1D. = 1解：当B, Ba都不为零时，k1= , k2= k1 k2= = 1AA+ BB2= 0.当B = 0时，两直线垂直的充要条件是A= 0，当B2 = 0时，两直线垂直的充要条件是A = 0,所以满足 AA2+BiB2= 0，故选A.评述：一定要注意 A, B及Az, B不能同时为零，也要注意斜率等于零与斜率不存在的

2、两条直线互相垂直.例2: ( 1997年全国)如果直线ax+ 2y + 2= 0与直线3xy 2 = 0平行，那么系数 a 为()A. 3B. 6C. D.解：若两直线平行，则，解得a= 6.故选B.评述：此题通过直线方程的系数比例关系来判断两直线的位置关系二、参考练习题若原点在直线I上的射影是点P ( 2, 1),则直线l的方程是()A.x+ 2y = 0B.x+ 2y 4= 0C.2x y + 5= 0D.2x + y + 3= 0解：由已知，得 kop= 一，再由I丄OP所以kop- ki = 1.- k1 = 2.又直线I过点P ( 2, 1),所以I方程为：y 1 = 2 (x+ 2

3、)即 2x y + 5 = 0.故选C若A (4, 2), B(6 , 4) , C(12 , 6) , Q2 , 12)，则下面四个结论，正确的个数 是()AB/ CD ABL CD | AC| = | BD|AC丄 BDA.1B.2C.3D. 4解：T kAB=,kcD=.AB方程为 y 2=( x+4)即 3x+ 5y+ 2= 0 C (12 , 6)不在 AB上.AB/ CD又 I kAD=.kAB kAD= 1ABL AD| AC| = . (12 4)2 (6-2)2 = 162 .42I BD|= . (2 一6)2 (12 4)2 = _42 162I AC| = | BD|/

4、 kAC=6-212 4,kBD412 42-6 kAC kB= 1即 ACLBD四个结论都正确，故选D.评析：此题属于数学中多选题型，需要逐一分析,主要考查学生对基本知识点、基本公式、基本方法的掌握情况3.求经过点(2， 1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线L的方程. 解法一：设直线L的斜率为k直线L与直线2x+y-10=0 垂直， k (-2 ) =-1. k=.又 L经过点A (2, 1 ),所求直线L的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0. 解法二：设与直2x+y-10=0垂直的直线方程为 x-2y+m=0.直线L的经过点A(2,1), 2-2 x 1+m=0. m=0.所求

5、直线L的方程为x-2y=0.备课资料 参考例题例1:等腰直角三角形，斜边中点是M(4, 2), 一条直角边所在的直线方程是y =2x,求另外两边所在的直线方程.解：设斜边所在直线 AB斜率为k，斜边与直角边所夹角为 45 .所以 tan 4 5 =解得k= 3或k=,当k=-3时，斜边方程为 y 2=- 3 (x-4)1卩3x+ y 1 4 = 014解得=2x285斜边上一个顶点为 A (),另一个顶点B()，另一条直角边所在方程：x + 2y 2= 0,当k=时，同理可得另两边所在的直线方程:x 3y+ 2= 0, x+ 2y 1 4 = 0.例2:光线从A ( 3,4)点射出，至U x轴

6、上的B点后，被x轴 反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点 Q 1, 6) 点，求BC所在直线的方程.解：如图所示，依题意，B点在原点0左侧，设坐标为(a，0).由 入射角等于反射角，得/1 = / 2，Z 3=7 4，-kAB= kBC又 kAB= kBc=，. BC的方程 y 0 =( x a)即 4 x( 3+ a) y 4 a= 0-4a令x = 0,解得C点坐标为(0 ,),则kDc= = _ + 10a 103 a/ 3=Z4 .4_ 18 10a3 a 3 akBC - 00 - kpc1 kBc 010 kDC解得a=-，代入BC方程得5x - 2y+ 7= 0.

7、另解：由入射角等于反射角可知BC定过点A关于x的对称点A (-3 , -4 )及D点关于y轴的对称D/( 1，6).由两点式得 A D/方程即BC方程5x - 2y+ 7 = 0.例3:等腰三角形两腰所在的直线方程为7x-y-9 = 0与x + y- 7= 0,它的底边所在直线通过点A(3 , -8)，求底边所在的直线方程.解法一：设 11: 7x-y- 9= 012： x+ y- 7 = 0直线丨1、丨2的斜率分别为k1 , k2,则底边所在的直线 l至U |1的角与|2到l 1的角为等腰 三角形两底角，故相等于是有即:(其中k为所求直线斜率)解得：k =- 3或k =.所求直线方程为 3x

8、+ y- 1 = 0,或x- 3y -27= 0.解法二：设顶角平分线的斜率为k，由已知kl1 = 7, kl2=- 1，于是有解得k=或k =- 3由平面几何知识知道，顶角的平分线与底边垂直，所以底边的斜率为-3和.故所求直线方程为3x + y- 1 = 0，或 x - 3y-27 = 0.解法三：设底边所在直线的方程为y+8= k (x - 3).即 kx-y- 3k-8= 0由方程组解得等腰三角形顶点 B的坐标为(2 , 5).由方程组(k丰7)解得底边一端点C的坐标为().由方程组解得底边另一端点 D的坐标为().由丨BC| = | BD|，得3k 1)27 -k)(5 -30k -5

9、6、7 -k)J15)2 (5_ 4k -8)2k 1)解得k= 3或k =故所求直线方程为：3x+y 1 = 0或x 3y 27= 0.备课资料、两直线11： Ax + By + G = 0, 12： Ax + Ry + C2= 0的位置关系与二元一次方程组的 关系.若二元一次方程组有惟一解，即有惟一解，则丨1,丨2相交.若二元一次方程组无解，则I 1 / 12.若二元一次方程组有无数个解，则直线 I 1与I 2重合.二、 两直线 li： Ax+ By + G = 0, 12 ： Ax + By + G2= 0(其中 A2, B2, G2 全不为 0)的位置 关系与方程系数的关系：I 1/

10、I2,I 1, I2相交，I 1, I2 重合.三、参考例题例1 两条直线y= kx + 2k + 1和x + 2y4= 0的交点在第四象限，则k的取值范围是()A. ( 6, 2)B. ( , 0)G. ( ,)D. (,+ )解法一：解方程组得交点为(一)此点在第四象限4k 2心102k +1即226k +1门1 k10 2k +1L.26 ,故选 G.解法二：如图，直线 x + 2y4= 0与x轴的交点是 A (4, 0)，方程y = kx+ 2k+ 1表 示的是过定点P ( 2, 1)的一组直线，其中 PB为过点P且与x+ 2y 4= 0平行的直线.由于直线的交点在第四象限，因此满足条

11、件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率 kPB k v kPA而 kpA= , kpB=,所以一 k 故选G.评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会.例2若a+b+c=0,求证直线ax+by+c=0必经过一个定点.证明：由a+b+c=0,且a、b不同时为0,设b丰0,贝U a=-(b+c),代入直线方程ax+by+c=0,得(x-y ) +(x-1)=0.此方程可视为直线 x-y=0与x-仁0交点的直线系方程.解方程组得x=1, y=1，即两直线交点为(1, 1).故直线ax+by+c=0过定点(1, 1).备课资料一、参考

12、例题例1: (1994年全国)点(0 , 5)到直线y = 2x的距离是()A.B.C.D.解：直线方程化为2x y = 0，由点到直线距离公式可得d=.选 B.例2: (1992年全国文)原点关于直线8 x + 6y= 25的对称点坐标是()A. (2,) B. ()C. (3, 4)D. (4, 3)解法一：取各点横纵坐标一半代入已知直线方程检验，D符合解法二：设对称点坐标 P (xo, yo),则PO中点坐标符合已知直线方程，且kpo -()=1, TOC o 1-5 h z x0y08 +6 空=2522即，解得P (4, 3).选DX。4二、参考练习题1 .已知一直线I被两平行线3x

13、+4 y 7 = 0和3x +4 y+8= 0所截线段长为3,且I 过点(2 , 3)，求I的方程.解：若I斜率不存在，则与题意不符；设直线的斜率为k,直线I的方程为：kx y + 32k = 0由已知两条平行线间的距离为=3,而I与此两条平行线所截线段长为3,设I与两平行线的夹角为a ,则t an a = 1,两平行线斜率为一.概括两条直线的夹角公式:一(一4)31牛）解得 k1 =, k2= 7.所以直线I的方程是x 7y+ 19= 0 或 7x+ y17= 0.在直线x 3y 2= 0上求两点，使它与点(一2, 2)构成等边三角形的三个顶点.解法一：点(一2, 2)到直线x 3y 2的距

14、离为d=,即等边三角形的高为. 由此得等边三角形的边长为.若设此三角形在直线 x 3y 2 = 0上的顶点坐标为(X0, y),贝U X0= 3y+2,所以其坐 标为(3y0+ 2, y)2 2 2于是有3y0 + 2( 2) +( y。一 2)=(). 整理得(y+ 1)2=.y0 = 1 , X0 = 1 故两点为(-1+ , -1+ )和(一1 , 1 ).解法二：设过点(2, 2)的一条边所在直线的斜率为k.因为等边三角形的内角为60 ，所以三条边中每两条边的夹角都为60 ，于是tan60解得k=或k =.当k =时，这条边所在直线方程为：y 2=( x + 2),x3y2=0解方程组

15、t3弱+1y -2=(x + 2) i3-J3解得 x= 1 , y= 1 .同理，当k =时，可求得另一顶点为(1 + , 1 +).故两点为(一1 + , 1 +)和(一1 , 1 )备课资料一、直线系的概念一般地具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含变量x、y以外，还有可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量.简称参数.由于参数取向不同，就得不同的直线系.二、几种常见的直线系过定点的直线系直线y=kx+b(其中k为参数，b为常数)它表示过定点(O, b)的直线系，但不包括y轴(即x=0).经过定点M(xo, yo)的直线系y-y o=k(

16、x-x o)(k 为参数)它表示经过定点(xo、yo)的直线系，但不包括平行y轴的那一条(即x=xo).已知斜率的直线系y=kx+b(k为常数,b为参数)它表示斜率为k的平行直线系.若已知直线 L： Ax+By+C=o.与L平行的直线系为 Ax+By+m=o,(m为参数且c).若已知直线 L： Ax+By+C=O与L垂直的直线系为 Bx-Ay+ n=O(n为参数).经过两条直线交点的直线系经过两直线 Li : Ax+By+G=O(A2+Bi2z0)与 L2： Ax+B2y+C2=O(A2+B2MO)交点的直线系 为 m(Ax+B1y+C+n(A 2x+B2y+C2)=o(其中 m n 为参数，

17、mf+n2工 O).当m=1,n=O时，方程即为L1的方程；当m=O,n=1时，方程即为L2的方程.上面的直线系可改写成(A1X+B1y+G)+入(A2x+B2y+G)=O(其中入为参数)，但是，方程中不包括直线L2，这个参数方程形式在解题中较为常用.三、常见的点关于直线的对称点有A(a,b)关于x轴的对称点为 A (a , -b);B(a,b)关于y轴的对称点为 B (-a . b);C(a, b)关于直线y=x的对称点为Cz (b,a);D(a,b)关于直线y=-x的对称点为 D (-b,-a );P(a,b)关于直线x=m的对称点为 p/ (2m-a,b);Q(a,b)关于直线.y=n的

18、对称点为 Q (a,2n-b);点E(a,b)关于直线L： Ax+By+C=O勺对称点E，的求法：令 E/ (xo、yo),则有yo -b ” A q一一 =-1,xo _a i B 丿xo a y0 bA- B20 C =0.I 22解此方程组可得对称点E/的坐标.四、常见的直线关于直线的对称直线有设直线 L: Ax+By+C=OL关于x轴的对称的直线是 Ax+B(-y)+C=O ；L关于y轴的对称的直线是 A(-x)+By+C=0;L关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=O;L关于直线y=-x对称的直线A(-y)+B(-x)+C=O 五、针对高考试题特点对于本节内容应注意的问题认真理解

19、和掌握好有关平行、垂直、夹角、距离等基础知识、基本方法及基本问题.认真掌握有关对称的四种基本类型问题的解法即：1点关于点的对称问题；2 直线关于点的对称问题；3。点关于直线的对称问题；4。直线关于直线的对称问题.在由两直线的位置关系确定有关字母的值或讨论直线Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.平面解析几何的核心是坐标法。它需要运用运动变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要注意与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系，本部分内容在这方面体现的也很明显.两条直线的位置关系是解析几何的基础。同时本部分内容所涉及的“数形结合”对 称”化归”等方法也是解析几何的重要思想方法因此对于本部分内容要切实学好、学透、 用活.在历年的高考试题中，本部分内容也是常考问题的热点之一。多以选择题、填空题 形式出现，也与圆锥曲线内容及代数有关知识结合在一起命题，成为试卷中的中等题和 难题.六、参考练习题1 .已知 ABC的三边所在直线的方程分别是Lab： 4x-3y+1