2022年中考数学复习二次函数教案

1、学习好资料 欢迎下载中考数学专题复习五 二次函数【教学笔记】考点一：求二次函数的解析式1、用待定系数法求二次函数的解析式,要依据给定点的特性挑选相宜的式子来求解 . 2、已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设顶点式 y=ax-h2+k. 3、已知抛物线与 x 轴两交点坐标或已知抛物线与 y=ax-x 1x-x 2来求解；x 轴一交点坐标与对称轴,可通过设交点式4、所给的三个条件是任意三点时,可设一般式 y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解. 考点二：依据二次函数图象及性质判定代数式的符号1、二次函数图象与系数的关系 . 2、留意二次函数的系数与其图象的外形、对称轴、特别点的关系 .

2、 3、二次函数与 x、y 轴的交点问题,依据题意得出抛物线对称轴 . 考点三：二次函数与实际问题1、如物体的运动规律问题、销售利润问题、几何图形的变更问题、存在性问题等. 2、最值问题3、函数与方程结合考点四：二次函数的综合应用1、动点问题2、数形结合3、分类争论4、与几何图形结合、勾股定理等学习好资料 欢迎下载【典型例题】考点一：求二次函数的解析式【 例 1】例 1：（ 2022.四川攀枝花）将抛物线 y= 2x2+1 向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度所得的抛物线解析式为（C ）A y= 2（x+1）2 By= 2（x+1 ）2+2 2 2Cy= 2（x 1）+2 Dy=

3、 2（x 1）+1 【 例 2】 （ 2022. 资 阳 ） 已 知 抛 物 线 与 x 轴 交 于 A （ 6, 0） 、 B （ , 0 ） 两 点 , 与 y 轴 交于 点 C, 过 抛 物 线 上 点 M （ 1, 3） 作 MN x 轴 于 点 N , 连 接 OM （ 1） 求 此 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 2）如 图 1,将 OMN沿 x 轴 向 右 平 移 t 个 单 位（ 0t 5）到 OMN的 位 置 , MN、 MO与 直 线 AC 分 别 交 于 点 E、 F当 点 F 为 MO 的 中 点 时 , 求 t 的 值 ；如 图 2,如 直 线 MN 与 抛 物 线

4、 相 交 于 点 G ,过 点 G 作 GH MO 交 AC 于 点 H ,试 确 定 线段 EH 是 否 存 在 最 大 值 ？ 如 存 在 , 求 出 它 的 最 大 值 及 此 时 t 的 值 ； 如 不 存 在 , 请 说 明 理 由 【 分 析 】 （ 1） 设 抛 物 线 解 析 式 为 y=a （ x 6）（ x+） , 把 点 M （ 1, 3） 代 入 即 可 求 出 a,进 而 解 决 问 题 （ 2）如 图 1 中 ,AC 与 OM 交 于 点 G 连 接 EO ,首 先 证 明 AOC MNO ,推 出 OM AC ,在 RT EOM 中 , 利 用 勾 股 定 理 列

5、 出 方 程 即 可 解 决 问 题 由 GHE AOC 得 = =,所 以 EG 最 大 时 ,EH 最 大 ,构 建 二 次 函 数 求 出 EG 的最 大 值 即 可 解 决 问 题 学习好资料 欢迎下载【 解 答 】 解 ： （ 1） 设 抛 物 线 解 析 式 为 y=a （ x6） （ x+） , 把 点 M （ 1, 3） 代 入 得 a=,（ x 6 ） （ x+） ,抛 物 线 解 析 式 为 y= y= x2+x+2 （ 2） 如 图 1 中 , AC 与 OM 交 于 点 G 连 接 EO AO=6 , OC=2 , MN=3 , ON=1 , =3 , =, AOC=

6、MON=90, AOC MNO , OAC= NMO , NMO+ MON=90, MON+ OAC=90, AGO=90, OM AC ,MNO是 由 MNO 平 移 所 得 , OM OM , OM AC , MF=FO, EM=EO, EN CO , =, =, EN =（ 5t） ,在 RT EOM 中 , ON=1, EN =（ 5 t ） , EO=EM = + t,（+ t）2=1+ （t ）2, t=1 如 图 2 中 , GH OM , OM AC , GH AC , GHE=90,t2 +t+=（ t2） EGH+ HEG=90, AEN + OAC=90, HEG= AE

7、N, OAC= HGE , GHE= AOC=90, GHE AOC ,=, EG 最 大 时 , EH 最 大 , EG=GNEN = （ t+1 ）2+（ t+1 ） +2 （ 5 t ） =2+ t=2 时 , EG 最 大 值 =, EH 最 大 值 = t=2 时 , EH 最 大 值 为学习好资料欢迎下载【例 3】（ 2022.资阳） 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,过点 A 、C、D 作抛物线 y=ax2+bx+c （a 0）,与 x 轴的另一交点为 E,连结 CE,点 A、B、D 的坐标分别为（2,0）、（ 3,0）、（ 0,4）（1）求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的

8、对称轴 l 交 x 轴于点 F,交线段 CD 于点 K,点 M、N 分别是直线 l 和 x 轴上的动点,连结 MN ,当线段 MN 恰好被 BC 垂直平分时,求点 N 的坐标；（3）在满意（ 2）的条件下,过点 M 作一条直线,使之将四边形 AECD 的面积分为 3：4 的两部分,求出该直线的解析式考点 ：二次函数综合题分析： （1）依据平行四边形的性质可求点C 的坐标,由待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）连结 BD 交对称轴于 G,过 G 作 GN BC 于 H,交 x 轴于 N,依据待定系数法即可求出直线 BD 的解析式,依据抛物线对称轴公式可求对称轴,由此即可求出点 N 的坐标；（

9、3）过点 M 作直线交 x 轴于点 P1,分点 P 在对称轴的左侧,点 况争论即可求出直线的解析式P 在对称轴的右侧,两种情解答： 解：（ 1）点 A、 B、D 的坐标分别为（2,0）、（ 3,0）、（ 0,4）,且四边形 ABCD是平行四边形,AB=CD=5 ,点 C 的坐标为（ 5,4）,过点 A、C、D 作抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）,解得故抛物线的解析式为y=x2 +x+4（2）连结 BD 交对称轴于 G,在 Rt OBD 中,易求 BD=5 , CD=BD ,就 DCB= DBC ,又 DCB= CBE , DBC= CBE,过 G 作 GNBC 于 H,交 x 轴于 N,

10、学习好资料欢迎下载x+4 易证 GH=HN ,点 G 与点 M 重合,故直线BD 的解析式 y=依据抛物线可知对称轴方程为x=,就点 M 的坐标为（,）,即 GF=,BF=,0）；BM=,又 MN 被 BC 垂直平分, BM=BN=,点 N 的坐标为 （3）过点 M 作直线交 x 轴于点 P1,易求四边形AECD 的面积为 28,四边形 ABCD 的面积为 20,由 “四边形 AECD 的面积分为3：4” 可知直线 P1M 必与线段 CD 相交,设交点为Q1,四边形 AP 1Q1D 的面积为 S1,四边形 P1ECQ1 的面积为 S2,点 P1 的坐标为（ a,0）,假设点 P 在对称轴的左侧

11、,就 P1F= a,P1E=7 a,由 MKQ 1 MFP1,得 =,易求 Q1K=5P 1F=5（ a）, CQ1= 5（ a）=5a 10, S2=（5a 10+7 a）,依据 P1（, 0）, M （,）可求直线 P1M 的解析式为 y= x 6,如点 P 在对称轴的右侧,就直线 P2M 的解析式为 y=x+点评： 考查了二次函数综合题,涉及的学问点有：平行四边形的性质,待定系数法求抛物线的解析式,待定系数法求直线的解析式,抛物线对称轴公式,分类思想的运用,综合性较强,有一定的难度【课后练习】1、（2022.四川成都） 将抛物线 y=x 2 向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单

12、位长度,得到的抛物线的函数表达式为（A）Ay=（x+2 ）2 3 B y= （x+2 ）2+3 C y= （x 2）2+3 D y=（x 2）2 3 2、2022 年四川资阳 如图,已知抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（3,0）,与 y 轴的交点为 B（0,3）,其顶点为 C,对称轴为 x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M 为 y 轴上的一个动点,当 ABM 为等腰三角形时,求点M 的坐标；（3）将 AOB 沿 x 轴向右平移学习好资料欢迎下载 ABCm 个单位长度（ 0m3）得到另一个三角形,将所得的三角形与重叠部分的面积记为 S,用 m 的代数式表示 S

13、分析： （1）依据对称轴可知,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为（1,0）,依据待定系数法可得抛物线的解析式为 y= x2+2x+3 （2）分三种情形：当 MA=MB 时；当 AB=AM 时；当 AB=BM 时；三种情形争论可得点 M 的坐标（3）平移后的三角形记为 PEF依据待定系数法可得直线 AB 的解析式为 y= x+3 易得直线 EF 的解析式为 y= x+3+m 依据待定系数法可得直线 AC 的解析式 连结 BE,直线 BE 交 AC 于 G,就 G（,3）在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中分二种情形：当 0m 时；当m3 时；争论可得用 m 的代数式表示 S

14、解答：解： （1）由题意可知,抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为（1,0）,就）,解得故抛物线的解析式为y= x2 +2x+3 （2）当 MA=MB时, M （0, 0）；当 AB=AM时, M （0,3）；当 AB=BM 时, M （0,3+3）或 M （ 0,3 3）所以点 M 的坐标为：（ 0,0）、（ 0, 3）、（ 0, 3+3）、（ 0,3 3（3）平移后的三角形记为 PEF设直线 AB 的解析式为y=kx+b ,就,解得就直线 AB 的解析式为y= x+3 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度（ 0m3）得到 PEF,易得直线 EF 的解析式为y= x+3+

15、m 设直线 AC 的解析式为y=k学习好资料,解得欢迎下载x+b,就就直线 AC 的解析式为y= 2x+6连结 BE,直线 BE 交 AC 于 G,就 G（,3）在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中当 0m 时,如图 1 所示设 PE 交 AB 于 K,EF 交 AC 于 M 就 BE=EK=m ,PK=PA=3 m,联立,解得,即点 M （3 m, 2m）故 S=S PEF S PAK S AFM = PE 2PK 2AF.h=（3 m）2m.2m=m2+3m当 m 3 时,如图 2 所示设 PE 交 AB 于 K ,交 AC 于 H由于 BE=m ,所以 PK=PA=3 m,又由于直线

16、AC 的解析式为 y= 2x+6,所以当x=m 时,得 y=6 2m,所以点 H（m,6 2m）故 S=S PAH S PAK= PA.PHPA 2=（ 3 m）.（6 2m）（3 m）2= m 2 3m+综上所述,当 0m 时, S=m 2+3m ；当m3 时, S= m 2 3m+3、2022 年四川资阳 已知抛物线 p：y=ax 2+bx+c 的顶点为 C,与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧）,点 C 关于 x 轴的对称点为 C ,我们称以 A 为顶点且过点 C,对称轴与 y 轴平行的抛物线为抛物线 p 的“梦之星” 抛物线,直线 AC 为抛物线 p 的“梦之星 ”直

17、线如一条抛物线的“梦之星 ”抛物线和 “梦之星 ”直线分别是 yx 22x1 和 y2x2,就这条抛物线的解析式为 _解析： 先求出 y=x2+2x+1 和 y=2x+2 的交点 C 的坐标为（ 1,4）,再求出 “ 梦之星 ”抛物线 y=x 2+2x+1 的顶点A 坐标（1,0）,接着利用点 C 和点 C关于 x 轴对称得到 C（1, 4）,就可设顶点式 y=a（x 1）2 4,然后把 A 点坐标代入求出 a 的值即可得到原抛物线解析式解答：解： y=x2+2x+1= （x+1）2,A 点坐标为（1,0）,解方程组 得 或,点 C 的坐标为（ 1,4）,点 C 和点 C 关于 x 轴对称,

18、C（1, 4）,设原抛物线解析式为 y=a（x 1）2 4,把 A（ 1,0）代入得 4a 4=0,解得 a=1,原抛物线解析式为 y=（x 1）2 4=x2 2x 3故答案为 y=x2 2x 34、2022 年四川成都 将二次函数y学习好资料3化为y欢迎下载的形式,结果为（）x22xxh2k（A ）yxx1 234x22x12（B）yx122（C）yx1 24yx122（D）解：y22x2.应选 D；x1 2考点二：依据二次函数图象及性质判定代数式的符号【例 1】2022 年四川资阳 二次函数 y=ax2 +bx+c （ a 0）的图象如图,给出以下四个结论：4ac b20； 4a+c2b；

19、 3b+2c0； m（am+b）+ba（m 1）,其中正确结论的个数是（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个解： 抛物线和 x 轴有两个交点,b 2 4ac 0, 4ac b 20,正确；对称轴是直线 x= 1,和 x 轴的一个交点在点（0,0）和点（ 1,0）之间,抛物线和 x 轴的另一个交点在（3,0）和（2,0）之间,把（2, 0）代入抛物线得：y=4a 2b+c0, 4a+c 2b,错误；把（ 1, 0）代入抛物线得：y=a+b+c 0, 2a+2b+2c0, b=2a, 3b,2c0,正确；抛物线的对称轴是直线 x= 1, y=a b+c 的值最大,即把（ m,0）（ m 0）代

20、入得： y=am2+bm+ca b+c, am 2+bm+b a,即 m（am+b） +ba,正确；即正确的有 3 个,应选 B【例 2】（2022.资阳） 如图,抛物线y=ax2+bx+c（ a 0）过点（ 1,0）和点（ 0, 2）,且顶点在第三象限,设 P=a b+c,就 P 的取值范畴是（）C 2P0 D 1P0 A 4P0 B 4P 2 学习好资料 欢迎下载分析： 求出 a0,b 0,把 x=1 代入求出 求出 2a 4 的范畴即可a=2 b,b=2 a,把 x= 1 代入得出 y=a b+c=2a 4,解答： 解：二次函数的图象开口向上,a0,a+b 2=0,对称轴在y 轴的左边,

21、0, b0,图象与 y 轴的交点坐标是（0,2）,过（ 1,0）点,代入得：a=2 b, b=2 a, y=ax2 +（2 a）x 2,把 x= 1 代入得： y=a （ 2 a）2=2a 4,b0, b=2 a0, a2,a 0, 0a2,02a4,42a 4 0,即4P0,应选 A【 课 后 练 习 】21、 （ 2022. 资 阳 ） 已 知 二 次 函 数 y=x +bx+c 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 , 且 图 象 过 A （ x 1, m） 、B （ x 1+n , m） 两 点 , 就 m 、 n 的 关 系 为 （）A m= n B m= n C m= n 2D m=

22、 n 2【 分 析 】 由 “ 抛 物 线 y=x2+bx+c 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 ” 推 知 x= 时 , y=0 且 b 2 4c=0 ,2即 b =4c , 其 次 , 根 据 抛 物 线 对 称 轴 的 定 义 知 点 A 、 B 关 于 对 称 轴 对 称 , 故 A （ ,m） , B （ +, m） ； 最 后 , 根 据 二 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 即 可 得 出 结 论 【 解 答 】解 ：抛 物 线 y=x 2+bx+c 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 ,当 x= 时 ,y=0 且 b 2 4c=0 ,即 b2=4c 又 点 A

23、（ x 1, m） , B （ x1+n , m ） , 点 A 、 B 关 于 直 线 x= 对 称 , A（ ,m ）, B（ +, m）,将 A 点 坐 标 代 入 抛 物 线 解 析 式 ,得 m= （ ）2+ （ ） b+c , 即 m=+c , b 2=4c , m= n 2 , 故 选 D 22、函数 y ax b 和 y ax bx c a 0 在同始终角坐标系内的图象大致是（）学习好资料 欢迎下载【答案】 C；【解析】a 0,分 a0,a0 两种情形来争论两函数图象的分布情形2如 a0,就 y ax+b 的图象必经过第一、三象限,y ax bx c 的图象开口向上,可排除 D

24、2如 a0,b0,就 yax+b 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,y ax bx c 的图象的对称轴在 y 轴的左侧,故 B 不正确2如 a0,b0,就 yax+b 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上,y ax bx c 的图象的对称轴在 y 轴的右侧,故 C 正确2如 a0,就 y ax+b 的图象必经过其次、四象限,y ax bx c 的图象开口向下,故 A 不正确考点三：二次函数与实际问题【例 1】2022 年四川资阳 某商家方案从厂家选购空调和冰箱两种产品共 20 台,空调的选购单价 y1（元 /台）与选购数量 x1（台）满意 y1= 20 x1+1500（ 0 x

25、1 20,x1 为整数）；冰箱的选购单价 y2（元 /台）与采购数量 x2（台）满意 y2= 10 x2+1300（0 x2 20,x2 为整数）（1）经商家与厂家协商,选购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调选购单价不低于 1200 元,问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完在（1）的条件下,问选购空调多少台时总利润最大？并求最大利润解答：解：（ 1）设空调的选购数量为x 台,就冰箱的选购数量为（20 x）台,由题意得,解不等式得,x11,解不等式得,x15,所以,不等式组的解集是 11x15,x 为正整数, x 可

26、取的值为 11、12、13、14、15,所以,该商家共有 5 种进货方案；（2）设总利润为 W 元, y2= 10 x2+1300= 10（20 x）+1300=10 x+1100 ,就 W= （1760 y1）x1+（1700 y2）x2=1760 x （20 x+1500 ）x+ （1700 10 x 1100）（ 20 x）,=1760 x+20 x 2 1500 x+10 x 2 800 x+12022=30 x 2 540 x+12022=30 （x 9） 2+9570,当 x 9 时, W 随 x 的增大而增大,11x15,当 x=15 时, W 最大值=30（15 9）2+957

27、0=10650 （元）,答：选购空调学习好资料欢迎下载15 台时,获得总利润最大,最大利润值为10650 元【例 2】2022 年四川成都 在美化校内的活动中,某爱好小组想借助如下列图的直角墙角（两边足够长）,用长为 28 米长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD （篱笆只围 AB、 BC 两边）,设 AB=x 米；（1）如花园的面积为 192 平方米,求 x 的值；（2）如在 P 处有一棵树与墙 CD 、AD 的距离分别是 15 米和 6 米,要将这棵树围在花园内（含边界,不考虑树的粗细）,求花园面积 S 的最大值；【解析】 AB+AC=28m ,6 x ; 28 x 15解： （1）由题意可知

28、：x（28-x）=192,解得 x=12 或 16； x 的值为 12米或 16 米；（2）Sx28xx228x6x13 ；当 x=13 米时,S max195m2【课后练习】1、2022 年四川成都 某果园有 100 棵橙子树, 平均每棵树结600 个橙子 .现预备多种一些橙子树以提高果园产量, 但是假如多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会削减. 依据体会估量, 每多种一棵树,平均每棵树就会少结5 个橙子,假设果园多种x 棵橙子树 . 1直接写出平均每棵树结的橙子数y（个）与 x 之间的关系式；2果园多种多少棵橙子树时,可以使橙子的总产量最大？最大为多少个？解： （1）y 60

29、0 5 x ；2 设果园多种 x 棵橙子树时,橙子的总产量为 z 个.由题知：Z（100 x）y（100 x）（ 600-5x）5x10）2 60500 a 50 当 x10 时, Z最大60500. 果园多种 10 棵橙子树时,可以使橙子的总产量最大,最大为 60500 个. 2、某体育用品店购进一批单件为 40 元的球服,假如按单价 60 元销售样,那么一个月内可售出 240 套,根据销售体会,提高销售单价会导致销售量的削减,即销售单价每提高 5 元,销售量相应削减 20 套设销售单价为 x（x 60）元,销售量为 y 套（1）求出 y 与 x 的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时,月

30、销售额为 14000 元？（3）当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？解： （1）销售单价为 x 元,就销售量削减20,故销售量为 y=240 20= 4x+480（x60）；学习好资料 欢迎下载（2）依据题意可得,x（ 4x+480 ）=14000,解得 x1=70,x2=50（不合题意舍去）,故当销售价为 70 元时,月销售额为 14000 元；（3）设一个月内获得的利润为 w 元,依据题意得：w= （x 40）（4x+480 ）= 4x 2+640 x 19200 = 4（x 80）2+6400当 x=80 时, w 的最大值为 6400故当销售单价为 80

31、元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是 6400 元考点四：二次函数的综合应用【例 1】2022 四川资阳 已知直线 y=kx+b （k 0）过点 F（ 0,1）,与抛物线 y= 1 x 2相交于 B、C 两点 . 4（1）如图 13-1,当点 C 的横坐标为 1 时,求直线 BC 的解析式；（2）在（ 1）的条件下,点 M 是直线 BC 上一动点,过点 M 作 y 轴的平行线,与抛物线交于点 D,是否存在这样的点 M,使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？如存在,求出点 M 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）如图 13-2,设B m n）m0,过点E（ ,1）的直线 l

32、 x 轴, BRl 于 R,CS l 于 S,连接 FR、FS试判定 RFS 的外形,并说明理由分析： （1）第一求出C 的坐标,然后由C、F 两点用待定系数法求解析式即可；（2）由于 DM OF,要使以 M 、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形,就 DM=OF ,设 M（x,x+1 ）,就 D（x,x 2）,表示出 DM ,分类争论列方程求解；（ 3）依据勾股定理求出 BR=BF ,再由 BR EF 得到 RFE=BFR ,同理可得EFS=CFS,所以RFS=BFC=90 ,所以 RFS 是直角三角形解答：解： （1）由于点 C 在抛物线上,所以 C（1,）,又直线 BC 过 C、F 两

33、点,故得方程组：解之,得,所以直线 BC 的解析式为： y= x+1；学习好资料 欢迎下载（2）要使以 M 、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形,就设 M （x,x+1）,就 D（x,x2）,MD y 轴,MD= x+1x2,x2|=1,由 MD=OF ,可得 |x+1 当x+1x2 =1 时,解得 x1=0（舍）或 x1= 3,所以 M （ 3,）,当x+1x2, = 1 时,解得, x=,MD=OF ,如图 1 所示,所以 M （,）或 M （,）,综上所述,存在这样的点 M ,使以 M 、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形,M 点坐标为（3,）或（,）或（,）；（3）过点 F 作

34、 FT BR 于点 T,如图 2 所示,点 B（m,n）在抛物线上,m2=4n,在 Rt BTF 中, BF= = =,n0, BF=n+1 ,又 BR=n+1 , BF=BR BRF= BFR,又 BRl,EFl, BR EF, BRF=RFE, RFE=BFR,同理可得 EFS=CFS, RFS=【课后练习】BFC=90 , RFS 是直角三角形1、2022 四川成都 如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线ya x123与 x 轴交于 A、B 两点（点 A在点 B 左侧）,与 y 轴交于点 C（0,8 3）,顶点为D,对称轴与x轴交于点 H.过点 H 的直线 l 交抛物线于 P, Q 两

35、点,点 Q 在 y 轴右侧 . 1求 a 的值及点 A、B 的坐标；学习好资料 欢迎下载2当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3： 7 的两部分时,求直线 l 的函数表达式；3当点 P 位于其次象限时,设PQ 的中点为 M ,点 N 在抛物线上,就以DP 为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？如能,求出点N 的坐标；如不能,请说明理由解析 ：（ 1）抛物线ya x123与与 y 轴交于点 C（ 0,8 3）. a33,解得： a1 3, y1 3x1 23 当 y0 时,有1 3x1 230, X 12,X 2 4 A 4,0,B2 ,0. 8（ 2） A4,0,B2 ,0,C（0,

36、3）, D 1, 3 S四边形ABCDS AHDS 梯形OCDHS BOC 1 23312 83 3 11228310. 从面积分析知,直线 l 只能与边 AD 或 BC 相交,所以有两种情形： 当直线 l 边 AD 相交与点 M 1时,就 S AHM1 3 10103, 1 23（ y M1） 3 yM1 2,点 M1（ 2, 2）,过点 H（ 1,0）和 M1（ 2, 2）的直线 l 的解析式为y 2x2. 当直线 l 边 BC 相交与点 M 2时,同理可得点2）的直线 l 的解析式为y4 3x4 3. M 2（1 2, 2）,过点 H（ 1,0）和 M 2（1 2,综上：直线 l 的函数

37、表达式为 y2x2 或 y4 3x4 3. （3）设 P（x 1,y1）、 Q（ x2,y2）且过点 H（ 1, 0）的直线 PQ 的解析式为 ykx+b, kb0, ykxk. 由ykx2k2x8,1x22kx8k0M1 3xy33333 x1x2 23k,y1+y2kx 1+k+kx 2+k3k2, 点 M 是线段 PQ 的中点,由中点坐标公式的点（3 2k1,3 2k2）. 学习好资料欢迎下载假设存在这样的N 点如下图,直线DN PQ,设直线 DN 的解析式为ykxk-3 ykxk3由y1x22x8,解得： x1 1, x23k1, 333N（ 3k1, 3k23）四 边 形DMPN是

38、菱 形 , DN DM , 3 k 2 3 k223 k23k23 222整理得：3k 4k 24 0,k21 3k24 0, k210,3k240,解得k233, k0,k233, P（331,6）, M （31,2）, N（231,1）PMDN 2 7,四边形 DMPN 为菱形以 DP 为对角线的四边形 DMPN 能成为菱形,此时点 N 的坐标为（2 3 1, 1） . 2、2022 四川成都 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax 22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、 B两点（点 A 在点 B 的左侧）,经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物

39、线的另一个交点为D,且 CD4AC（1）直接写出点 A 的坐标,并求直线 l 的函数表达式（其中 k、 b 用含 a 的式子表示）；5（2）点 E是直线 l 上方的抛物线上的动点,如ACE的面积的最大值为 4,求 a 的值；（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点,点 Q 在抛物线上, 以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？如能,求出点P 的坐标；如不能,请说明理由y y E A C O B x A C O B x D l D l 备用图学习好资料 欢迎下载【答案】：（ 1）A（ 1, 0）, yaxa；（2）a 2 5；7）或（ 1, 4）（3）P 的坐标为（ 1, 26 7【解析

40、】：（1）A（ 1,0）直线 l 经过点 A, 0 kb,bky E x D x ykxk令 ax22ax3akxk,即 ax2 2ak x3ak0 O CD4AC,点 D 的横坐标为4 A C B 3k a 1 4, k aF D l 直线 l 的函数表达式为yaxa25 8 aB （2）过点 E作 EF y 轴,交直线l 于点 F设 E（ x,ax22ax3a）,就 F（x, axa）EF ax22ax3a axa ax23ax4aSACESAFESCFE 1 2 ax23ax4a x1 1 2 ax23ax4a x1 2 ax23ax4a 2 a x 3 2 2 25 8 a ACE的面

41、积的最大值为 ACE的面积的最大值为54, 25 8 a 5 4,解得 a 2y （3）令 ax22ax3aaxa,即 ax23ax4a0 解得 x1 1,x24； D（4,5a）yax22ax3a,抛物线的对称轴为x1 O 设 P（ 1,m）A C 如 AD 是矩形的一条边,就Q（ 4,21a）l m21a5a26a,就 P（1,26a）四边形 ADPQ为矩形, ADP90AD2PD2AP22Q P 52 5a2 142 26a5a2 112 26a即 a2 1 7, a0, a7, P1（1, 26 77）如 AD 是矩形的一条对角线,学习好资料欢迎下载y 就线段 AD 的中点坐标为（2,

42、5a 2）, Q（2, 3a）Q m5a3a 8a,就 P（1,8a）O 四边形 APDQ为矩形, APD90A C B x AP 2PD 2AD 2 D l 11 2 8a 2 14 2 8a5a 25 2 5a 2P 即 a 2 1 4, a0, a 1 2, P2（1, 4）综上所述,以点 A、 D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形,点 P 的坐标为（ 1,26 7）或（ 1, 4）73、（ 2022 年四川自贡） 如图,已知抛物线 y=ax 2x+c 与 x 轴相交于 A、B 两点,并与直线 y= x 2 交于B、C 两点,其中点 C 是直线 y= x 2 与 y 轴的交点,连接 AC

43、（1）求抛物线的解析式；（2）证明：ABC 为直角三角形；（3） ABC 内部能否截出面积最大的矩形 面积；如不能,请说明理由DEFG ？（顶点 D、E、F、G 在 ABC 各边上）如能,求出最大分析：（1）由直线 y=x 2 交 x 轴、y 轴于 B、C 两点,就 B、C 坐标可求 进而代入抛物线y=ax2x+c,即得 a、c 的值,从而有抛物线解析式（2）求证三角形为直角三角形,我们通常考虑证明一角为90或勾股定理此题中未提及特别角度,而已经 A、B、C 坐标,即可知 AB、AC、BC,就明显可用勾股定理证明（3）在直角三角形中截出矩形,面积最大,我们易得两种情形,一点为 AB 边上有两点

44、, AC、BC 边上各有一点争论时可设矩形一边长 进而描述面积函数利用二次函数最值性质可求得最大面积C,AB、AC、BC 边上各有一点,x,利用三角形相像等性质表示另一边,解答：（1）解：直线y=学习好资料欢迎下载x 2 交 x 轴、 y 轴于 B、C 两点, B（ 4,0）, C（0, 2）,y=ax2x+c 过 B、C 两点,解得, y=x2x 2（2）证明：如图1,连接 AC,y=x2x 2 与 x 负半轴交于A 点,A（1,0）,在 Rt AOC 中,AO=1,OC=2, AC=,在 Rt BOC 中, BO=4,OC=2, BC=2AB=AO+BO=1+4=5 , AB2=AC2+B

45、C2, ABC 为直角三角形（3）解：ABC 内部可截出面积最大的矩形 DEFG ,面积为,理由如下：一点为 C,AB、AC、BC 边上各有一点,如图 2,此时 AGF ACB FEB设 GC=x,AG= x, GF=2 2x,S=GC.GF=x.（2）= 2x 2+2 x= 2（ x）2= 2（x）2+,即当 x= 时, S 最大,为AB 边上有两点, AC、BC 边上各有一点,如图 3,此时 CDE CAB GAD,设 GD =x, AD=x,x,CD =CA AD=x, DE=5S=GD.DE=x.（5x）=x 2+5x=（x 1）2 1= （x 1）2+,即 x=1 时, S 最大,为

46、综上所述,ABC 内部可截出面积最大的矩形 DEFG ,面积为学习好资料 欢迎下载【课后作业】一、挑选题1已知抛物线 C : y x 23 x 10,将抛物线 C 平移得到抛物线 C 如两条抛物线 C、 C 关于直线 x1对称就以下平移方法中,正确选项（）A将抛物线 C向右平移5 个单位 B将抛物线 C向右平移 3 个单位2C将抛的线 C向右平移 5 个单位 D将抛物线 C向右平移 6 个单位2已知二次函数 y ax 2bx c的图象如下列图,就以下 5 个代数式： ac,a+b+c,4a-2b+c ,2a+b,2a-b中,其值大于 0 的个数为 A2 B3 C4 D5 3二次函数 y ax

47、2bx c 的图象如下列图,就以下关系式不正确选项 Aa0 Babc0 Ca+b+c0 Db24 ac0180 ,所得抛物线的解析式4在平面直角坐标系中,将抛物线yx22x3围着它与y 轴的交点旋转是 Ayx122 B yx2 14 C yx2 12 D yx2 145如下列图,半圆O的直径 AB4,与半圆 O内切的动圆O1与 AB切于点 M,设 O1的半径为 y,AMx,就y 关于 x 的函数关系式是 12 xx Dy1x2x Ay12 xx By1x2x Cy4444第 5 题第 6 题6如下列图,老师出示了小黑板上的题后,小华说：过点 3 ,0 ；小彬说：过点 4 ,3 和0 ,3 ；小

48、明说： a1,c=3；小颖说：抛物线被 x 轴截得的线段长为 2你认为四人的说法中,正确的有 A1 个 B2 个 C学习好资料欢迎下载 3 个 D4 个7已知一次函数 y ax b 的图象过点 -2 ,1 ,就关于抛物线 y ax 2bx 3 的三条表达：过定点 2 ,1 ；对称轴可以是直线 x l ；当 a 0 时,其顶点的纵坐标的最小值为 3其中全部正确表达的有 A0 个 B1 个 C 2 个 D3 个8如图,直线 y=kx+b （k 0）与抛物线 y=ax 2（a 0）交于 A, B两点,且点 A 的横坐标是2,点 B 的横坐标是 3,就以下结论：抛物线 y=ax 2（a 0）的图象的顶

49、点肯定是原点；x 0 时,直线 y=kx+b（k 0）与抛物线 y=ax 2（a 0）的函数值都随着 x 的增大而增大；AB的长度可以等于 5； OAB有可能成为等边三角形；当3 x2 时, ax2+kxb,C D 其中正确的结论是（）AB 二、填空题yx2 先向左平移2 个单位,再向下平移3 个单位得到的抛物线的解析式为 . y 1、9由抛物线10已知一元二次方程x2bx30的一根为 -3 在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点4 , 55 , 4y 2、1 , 6y3,y1、 y2、 y3、的大小关系是 . P的11如下列图,已知P 的半径为 2,圆心 P在抛物线y1x21上运动,当

50、P 与 x 轴相切时,圆心2坐标为 _第 11 题第 13 题y= 2x2 相同,试写出这个函数解析12一个二次函数的图象顶点坐标为（2, 1）,外形与抛物线式13已知二次函数yax2bxc a 0 的图象如下列图,就以下结论：a、b 同号；当x1 和 x3时,函数值相等； 14已知抛物线的顶点为4a+b0；当 y-2 时, x 的值只能取0,其中正确的有 .（填序号）1,25,与 x 轴交于 A、B 两点,在 x 轴下方与 x 轴距离为 4 的点 M在抛物线24上,且SAMB10学习好资料欢迎下载,就点 M的坐标为15已知二次函数yax2bxc a 0 的图象如下列图,有以下5 个结论：ab

51、c 0； ba+c； 4a+2b+c0； 2c3b； a+bmam+b,m l 的实数 其中正确的结论有_ _只填序号 第 15 题第 16 题216如下列图,抛物线 y 1 x 2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2回答以下问题： 1 抛物线 y2 的顶点坐标 _2 阴影部分的面积 S_3 如再将抛物线 y2绕原点 O旋转 180 得到抛物线 y3,就抛物线 y3的开口方向 _,顶点坐标 _三、解答题17某网店打出促销广告：最潮新款服装 30 件,每件售价 300 元如一次性购买不超过 10 件时,售价不变；如一次性购买超过 10 件时,每多买 1 件,所买的每件服装的售价均降低 3 元已

52、知该服装成本是每件200 元,设顾客一次性购买服装 x 件时,该网店从中获利 y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范畴；（2）顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多？18如下列图,已知经过原点的抛物线 y 2 x 24 x 与 x 轴的另一交点为 A,现将它向右平移 mm0 个单位,所得抛物线与 x 轴交于 C、D两点,与原抛物线交于点 P 1 求点 A 的坐标,并判定PCA存在时它的外形 不要求说理 ； 2 在 x 轴上是否存在两条相等的线段 .如存在,请一一找出, 并写出它们的长度 可用含 m的式子表示 ；如不存在,请说明理由； 3 设 PCD的面积为 S

53、,求 S 关于 m的关系式19. 在平面直角坐标系中,已知抛物线经过 1 求抛物线的解析式；A-4 ,0 、B0,-4 、C2,0 三点 2如点 M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m, AMB的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系式,并求出S 的最大值； 3学习好资料欢迎下载P、 Q、B、O如点 P 是抛物线上的动点,点Q 是直线 y-x 上的动点,判定有几个位置能够使得点为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点yQ的坐标F16 ,0 、与 y 轴正半轴20. 如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线ax2c 与 x 轴正半轴交于点交于点 E0 ,16 ,边长为 16 的正方形 A

54、BCD的顶点 D与原点 O重合,顶点A 与点 E重合,顶点C与点,重合1 求抛物线的函数表达式； 2如图所示,如正方形ABCD在平面内运动,并且边BC所在的直线始终与x 轴垂直,抛物线始终与边 AB交于点 P 且同时与边 CD交于点 Q运动时,点 P 不与 A、B两点重合,点 Q不与 C、D两点重合 设点 A 的坐标为 m, nm0 当 POPF 时,分别求出点 P 与点 Q的坐标；在的基础上,当正方形 ABCD左右平移时,请直接写出 m的取值范畴；当 n 7 时,是否存在 m的值使点 P 为 AB边的中点 .如存在,恳求出 m的值；如不存在,请说明理由【答案与解析】一、挑选题1. 【答案】

55、C；【解析】C yx23 x10 x3249,49x 0,49,由题意得x 0231,24其顶点坐标为3,49,设 C 顶点坐标为2244x 07,C 的解析式为yx72224由yx3249到学习好资料49欢迎下载Cyx72需向右平移5 个单位,因此选24242. 【答案】 A；【解析】由图象知,a 0,c0, 0b1,2 a b 0,ac0, 2a-b 0又对称轴 b 1,即 2a+b02 a当 x1 时, a+b+c0；当 x-2 时, 4a-2b+c 0综上知选 A3. 【答案】 C；【解析】由抛物线开口向下知2a0,由图象知c0,b0,b0,即 abc0,又抛物线与x 轴有2a两个交点

56、,所以b4 ac04. 【答案】 B；【解析】抛物线yx22x3x122,其顶点 -1 ,2 绕点 0 , 3 旋转 180 后坐标为 1 ,4 ,开口向下旋转后的抛物线解析式为yx2 145. 【答案】 B；【解析】连接O1M、O1O,易知两圆切点在直线OO1上,线段 OO1 OA-y2-y ,O1My,OMOA-AM2-x 由勾股定理得 2-y2y2+2-x2,故y1x2x46. 【答案】 C；【解析】由小华的条件,抛物线过3 ,0 与1 ,0 两点,就对称轴为x2；由小彬的条件,抛物线x 过点 4 ,3 又过 0 ,3 点,对称轴为直线x2；由小明的条件a1,c=3, 得到关系式为yx2

57、bx3,过点 1 ,0 得 b -4 ,对称轴为x42；由小颖的条件抛物线被2 1轴截得的线段长为2,另一交点可能是3 ,0 或-1 ,0 ,当另一交点为-1 ,0 时,对称轴不是 x2所以小颖说的不对. 应选 C. 7【答案】 C；【解析】如过定点 2 ,1 ,就有 4 a 2 b 3 1整理、化简,得-2a+b 1,与题设隐含条件相符；如对称轴是直线 x1,这时 b 1,2a-b 0,与题设隐含条件不相符；2 a2 24 a 3 b b当 a0 时,抛物线开口向下,这时顶点的纵坐标为 y 34 a 4 a2由于 b 20,a 0b 0y最小 34 a综合以上分析,正确表达的个数为 2,应选

58、 C学习好资料 欢迎下载8【答案】 B；【解析】抛物线 y=ax 2,利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0,0）,本选项正确；依据图象得：直线 y=kx+b（k 0）为增函数；抛物线 y=ax 2（a 0）当 x0 时为增函数,就 x0 时,直线与抛物线函数值都随着 x 的增大而增大,本选项正确；由 A、B 横坐标分别为2,3,如 AB=5,可得出直线 AB与 x 轴平行,即 k=0,与已知 k 0 冲突,故 AB不行能为 5,本选项错误；如 OA=OB,得到直线 AB与 x 轴平行,即 k=0,与已知 k 0 冲突,OA OB,即 AOB 不行能为等边三角形,本选项错误；直线 y= kx+b

59、与 y=kx+b 关于 y 轴对称,如下列图：可得出直线 y= kx+b 与抛物线交点 C、D横坐标分别为3,2,2 2由图象可得：当3x2 时, axkx+b,即 ax +kxb,就正确的结论有应选 B二、填空题9【答案】 yx+2 2-3 ；【解析】 yx 2 的顶点为 0 ,0 ,y x+2 2+3 的顶点为 -2 ,-3 ,将0 ,0 先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位可得 -2 ,-3 ,即将抛物线 y x 2 先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位得到抛物线 yx+2 2-3 10【答案】 y 1y 2y 3.【解析】设x2+bx-3 0 的另一根为x2,就抛物

60、线的对称轴为x3 12所以 y1y3,y1y2y3,也可求出11【答案】 6, 2 或 6, 2 ；c 3 x 2 3, x 21,a1,开口向上时,到对称轴的距离越大函数值越大,b2,分别求出 y1,y2,y3 的值再比较大小【解析】当 P 与 x 轴相切时,圆心P 的纵坐标为2,将 y 2y1x21得2 x6,所以x6,2从而圆心 P的坐标为 6, 2 或 6, 2 12【答案】 y= 2（x 2）2+1 或 y=2（x 2）2+1；【解析】图象顶点坐标为（2, 1）可以设函数解析式是y=a（x 2）2+1 又外形与抛物线y= 2x2相同即二次项系数肯定值相同就|a|=2 因而解析式是：y