新沪教版初中数学中考总复习（知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（基础版）（家教、补习、复习用）

1、沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：实数知识讲解 （基础） 【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用. 【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n0）”的数叫有理数无理数：无

2、限不循环小数叫无理数实数：有理数和无理数统称为实数要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如是无理数，等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35、tan27、cos29等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2

3、.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0可用式子表示为： （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数用式子表示：若a是实数，则|a|0要点诠释：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数a、b互为倒数.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根a（a0）的

4、平方根记作（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根a（a0）的算术平方根记作5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.

5、3.对于实数a、b， 若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab，bc，则ac.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果ab0， a2b2ab；或利用倒数转化：如比较与.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数满足运算律：加法的交换律a+b=b+

6、a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负几个数相乘，有一个因数为0，积就为0乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得05.乘方与开方（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表

7、示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方（3)零指数与负指数 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用a10（

8、其中110，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a10，其中110，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a10，其中110，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】类型一、实数的有关概念1（1）a的相反数是，则a的倒数是_（2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简=_（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约_【答案】（1）5 ； （2）-a-b； （3）1

9、.02107亩.【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：（3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解举一反三：【变式】据市旅游局统计，今年“五一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ）A8.55106 B8.55107 C8.5

10、5108 D8.55109【答案】C.类型二、实数的分类与计算2下列实数、sin60、3.14159、-、中无理数有（ ）个A1 B2 C3 D4【答案】C. 【解析】无理数有sin60、.【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断举一反三：【高清课程名称： 实数 高清： 369214：经典例题1】【变式】在中，哪些是有理数? 哪些是无理数?【答案】都是有理数；都是无理数.3（2015梅州）计算： +|23|（）1（2015+）0【答案与解析】解：原式=2+3231=1【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等只要准确把握各自的意义，就能正确的进

11、行运算举一反三：【高清课程名称：实数 高清：369214：经典例题8-9】【变式1】计算：（2015甘南州）计算：|1|+20120（）13tan30【答案】解：原式=1+1（3）3=+3=3【变式2】计算：【答案】设n=2001，则原式=（把n2+3n看作一个整体）=n2+3n+1=n(n+3)+1=20012004+1=4010005.类型三、实数大小的比较4比较下列每组数的大小：（1）与 （2）a与（a0）【答案与解析】（1），而与可以很容易进行比较得到：，所以；（2）当a-1或Oa1时，a；当-1a1时，a；当a=时，a=.【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比

12、较，那么我们可以利用倒数关系比较； （2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.举一反三：【变式】比较下列每组数的大小：（1）和 （2）和【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，所以.（2）因为，所以.类型四、平方根的应用5已知：x ，y是实数，若axy-3x=y，则实数a的值是_.【答案】

13、.【解析】，即两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，(y-3)2=0， x=， y=3又axy-3x=y， a=.【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+ S102的值.【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，（2）因为OA1=，OA2=，OA3=，所以OA10=（3）S12+ S22+ S32+ S102=.【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的

14、选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.举一反三：【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有_个苹果【答案】2（512）.沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：实数巩固练习 （基础）【巩固练习】一、选择题1. 在实数，0，3.1415，0.1010010001（每两个1之间依次多1个0），sin30 这8个实数中，无理数有（ ）A1个 B2个 C3个 D

15、4个2我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ）A66.6107 B6.66108 C0.666108 D6.661073（2015杭州）若kk+1（k是整数），则k=（）A6 B7 C8 D94在三个数0.5、中，最大的数是( ) A0.5 BCD不能确定5用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ） A0.1（精确到0.1） B0.05（精确到百分位）C0.050（精确到0.001） D0.05（精确到千分位）6我国古代的“河图”是由33的方格构成，每个方格内均

16、有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是( ) 二、填空题7则= .8 （2014辽阳）5的小数部分是 9若互为相反数，则a+b的值为_10已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，则的值为_ 11已知：若符合前面式子的规律，则a+b=_12将正偶数按下表排列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2 第2行 4 6 第3行 8 10 12 第4行 14 16 18 20 根据上面的规律，则2006所在行、列分别是_三、解答题13 计算：（1） （2）14若，比较a、b、c的大小。15

17、在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图（1）所示的几何图形（1）请你利用这个几何图形求的值为_（2）请你利用图（2）再设计一个能求的值的几何图形16.（2014春双流县月考）求（2+1）（22+1）（24+1）（232+1）+1的个位数字【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30、tan45等而0.1

18、010010001尽管有规律，但它是无限不循环小数，是无理数是无理数，而不是分数在上面所给的实数中，只有，0.1010010001这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，故选C.2.【答案】B；【解析】科学记数法的表示形式为10n的形式，其中1|10，n为整数确定n的值是关键点，由于665 575 306有9位，所以可以确定n=91=8.有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，故选B3.【答案】D.【解析】kk+1（k是整数），910，k=9故选：D4.【答案】B；5.【答案】D；【解析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可：A、0.050

19、49精确到0.1应保留一个有效数字，是0.1，故本选项正确；B、0.05049精确到百分位应保留一个有效数字，是0.05，故本选项正确；C、0.05049精确到0.001应是0、050，故本选项正确；D、0.05049精确到千分位应是0.050，故本选项错误.故选D.6.【答案】C；【解析】设左下角小方格内的点数为x（如图），则依题意得2+5+x=x+1+p,解得p=6. 二、填空题7【答案】1；【解析】根据非负数的性质，要使，必须，即.因此.8【答案】2；【解析】由12，得21不等式的两边都加5，得52551，即354，5的小数部分是（5）3=2，故答案为：29【答案】0； 【解析】由绝对值

20、非负特性，可知，又由题意可知：所以只能是：a2=0，b+2=0，即a=2，b= 2 ，所以a+b=0.10【答案】0；【解析】原式=.11【答案】109；【解析】规律，所以a=99，b=10，a+b=109.12【答案】第45行第13列【解析】观察数列2，4，6，8，10，.每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个.每行数字的个数按照1，2，3，4，5，.，n 递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数.如果2006在第n行，那么设,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。到第44行（含44行）共有数字（44+1）=990个；到第45行（含45行）共有数字

21、（45+1）=1035个；2006是第1003个，在45行13列.三、解答题13.【答案与解析】 （1）原式=（2）原式=14.【答案与解析】 -1；-1且0；c0；所以容易得出：abc.15.【答案与解析】（1）(2) 16.【答案与解析】解：原式=（221）（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1=（241）（24+1）（28+1）（232+1）+1=2641+1=264；21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，2的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，64=164，264的个位数字与24的个位数字相同，为6，原式的个位数字为6沪教版初中数学中考总复

22、习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：整式与因式分解知识讲解（基础） 【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数单独一个数或一个字母也是单项式要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字

23、因数（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式 （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列3.整式单项式和多项式统称整式4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项5.整

24、式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除幂的运算性质：单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的

25、每一项，再把所得的积相加用式子表达： 多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加用式子表达： 平方差公式：完全平方公式： 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，

26、底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）公式的推广： (，均为正整数) （4）公式的推广： (为正整数).考点二、因式分解1.因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法： （2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求

27、根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1若3xm+5y2与x3yn的和是单项式，则nm 【答案】【解析】由3xm+5y2与x3yn的和是单项式得3xm+5y2与x3yn是同类项， 解得， nm=2-2= 【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计

28、算. 同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三：【变式】若单项式是同类项，则的值是( ) A、-3 B、-1 C、D、3【答案】由题意单项式是同类项， 所以，解得，应选C.2下列各式中正确的是( ) A. B.a2a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8【答案】A；【解析】选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2a3=a5，所以B错；选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的

29、正指数幂的倒数，A正确.答案选A.【点评】考查整数指数幂运算.举一反三：【变式1】下列运算正确的是 ( )A B C D【答案】A.2-3 = ； B. ；C. 正确 ；D. 故选C.【高清课程名称： 整式与因式分解 高清：399488：例1-例2】【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )(1)a4a3a12； (2)a6a3a2； (3)a5a5a10；(4)(a3)2a9； (5)(ab2)2ab4； (6)A无 B1个 C2个 D3个【答案】A.3利用乘法公式计算： (1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以

30、利用完全平方公式，将a+b看成一项，则(a+b+c)2=(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的a，将符号相反的项，看成公式中的b，原式=2+(2a2-3b2)2-(2a2-3b2) =4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.举一反三：【变式】如果a2+ma+9是一个完

31、全平方式，那么m=_.【答案】利用完全平方公式：(a3)2=a26a+9. m=6.类型二、因式分解4（2015春兴化市校级期末）因式分解（1）9x281（2）（x2+y2）24x2y2（3）3x（ab）6y（ba）（4）6mn29m2nn3【思路点拨】（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.【答案与解析】解：（1）原式=9（x29）=9（x+3）（x3）；（2）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y22xy）=（x

32、+y）2（xy）2；（3）原式=3（ab）（x+2y）；（4）原式=n（9m2+n26mn）=n（3mn）2【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【高清课程名称： 整式与因式分解 高清：399488：例3（1）-（2）】【变式】（2015春陕西校级期末）分解因式：（1）（2x+y）2（x+2y）2（2）8a2b+2a3+8ab2【答案】解：（1）原式=（2x+y）+（x+2y）（2x+y）（x+2y）=3（x+y）（xy）；（2）原式=2a（a24ab+4b

33、2）=2a（a2b）25若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A. 1B. -1C.D. 2【思路点拨】 对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解： -6可分解成或，因此，存在两种情况： 由（1）可得：，由（2）可得：. 故选择C. 【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解： _.【答案】类型三、因式分解与其他知识的综合运用6已知a、b、c

34、是ABC的三边的长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】 式子a2+2b2+c2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b2写成b2+b2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论【答案与解析】 解: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0 a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0 (a-b) 2+(b-c) 2=0 即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c.所以ABC是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常

35、考知识点）巩固练习中考总复习：整式与因式分解巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.下列计算中错误的是( )A.B.C.D.2. 已知与一个多项式之积是，则这个多项式是( )A.B.C.D.3把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ）A B C D4（2015佛山）若（x+2）（x1）=x2+mx+n，则m+n=（）A1 B2 C1 D25. 如果，则为 ( )A5 B6 C5 D66把进行分组，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题7已知，则的值为 8(1)已知3，2， _(2)已知6，8， _9分解因式： _10（2015秋乌海校级期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长

36、为b的小正方形（ab）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 （填写序号）（a+b）2=a2+2ab+b2 （ab）2=a22ab+b2a2b2=（a+b）（ab） （a+2b）（ab）=a2+ab2b211多项式可分解为，则,的值分别为_.12.分解因式：_ _. 三、解答题13将下列各式分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）.14.（2015春故城县期末）（1）实验与观察：（用“”、“=”或“”填空）当x=5时，代数式x22x+2 1；当x=1时，代数式x22x+2 1；（2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明

37、它是正确的；（3）拓展与应用：求代数式a2+b26a8b+30的最小值15. 已知，求下列代数式的值：(1)； (2).16.若三角形的三边长是，且满足，试判断三角形的形状. 小明是这样做的： 解：，. 即 ，. 该三角形是等边三角形. 仿照小明的解法解答问题： 已知：为三角形的三条边，且，试判断三角形的形状.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D； 【解析】.2.【答案】C； 【解析】这个多项式为.3.【答案】D；【解析】运用提取公因式法和公式法因式分解.4.【答案】C； 【解析】原式=x2+x2=x2+mx+n，m=1，n=2m+n=12=1故选：C5.【答案】B； 【解析】由题意.6.【

38、答案】D； 【解析】原式.二、填空题7【答案】5；【解析】由得 8【答案】(1)；(2)； 【解析】（1）；（2）.9【答案】；【解析】原式令，.10【答案】； 【解析】图甲中阴影部分的面积=a2b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（ab），而两个图形中阴影部分的面积相等，a2b2=（a+b）（ab）故可以验证故答案为：11【答案】； 【解析】，所以，.12.【答案】；【解析】.三、解答题13.【答案与解析】（1）；（2）.（3）；（4）因为所以：原式 14.【答案与解析】解：（1）把x=5代入x22x+2中得：25+102=331；把x=1代入x22x+2中得：12+1=1，故答案为：，=

39、；（2）x22x+2=x22x+1+1=（x1）2+1，X为任何实数时，（x1）20，（x1）2+11；（3）a2+b26a8b+30=（a3）2+（b4）2+5（a3）20，（b4）20，（a3）2+（b4）2+55，代数式a2+b26a8b+30的最小值是515.【答案与解析】（1） .（2）已知两边同除以，得 .16.【答案与解析】 ，该三角形是等边三角形.沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：分式与二次根式知识讲解（基础） 【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数

40、量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1分式设A、B表示两个整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中

41、，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断（4）分式有无意义的条件：在分式中， 当B0时，分式有意义；当分式有意义时，B0 当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0 当B0且A = 0时，分式的值为零考点二、分式的运算1基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 = 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为

42、积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算 （分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方2零指数 .3负整数指数 4分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的5约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分6通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分要点诠释： 约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因

43、式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积 (2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉 (3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及其应用1分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3分式方程的增根问

44、题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解4分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性要点诠释： 解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0

45、，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审仔细审题，找出等量关系；(2)设合理设未知数；(3)列根据等量关系列出方程；(4)解解出方程；(5)验检验增根；(6)答答题考点四、二次根式的主要性质1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.要点诠释： 与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数但与都是非负数，即，因而它的运算的结果是有差别的，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时， =；时，无意义，

46、而.考点五、二次根式的运算1二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后

47、算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，通过约分达到化简目的；(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：

48、，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.【典型例题】类型一、分式的意义1使代数式有意义的的取值范围是（ ）A. B. C.且 D.一切实数【答案】C；【解析】解不等式组得且，故选C【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即需要中的x0；分母中的2x-10.举一反三：【高清课程名称：分式与二次根式 高清：399347：例1】【变式】当x取何值时，分式有意义?值为零?【答案】当时，分式有意义，即时，分式有意义.当且时，分式值为零，解得，且，即时，分式值为零.类型二、分式的性质2已知,求下列各式的值.(

49、1); (2).【答案与解析】(1)因为,所以.即.所以.(2),所以.【点评】观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.举一反三：【变式】已知求的值.【答案】 由得所以即.所以.类型三、分式的运算3（2015眉山）计算：【答案与解析】解： = =【点评】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.举一反

50、三：【高清课程名称：分式与二次根式 高清：399347：例2】【变式】（2015宁德）化简： 【答案】解：原式=： =类型四、分式方程及应用4如果方程有增根, 那么增根是 .【答案与解析】 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是.答案: 【点评】使分母为0的根是增根.5为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的

51、工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用【答案与解析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天 根据题意得： 方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30 x=x（x+25），即x235x750=0解之，得x1=50，x2=15 经检验，x1=50，x2=15都是原方程的解但x2=15不符合题意，应舍去当x=50时，x+25=75答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可

52、方案一：由甲工程队单独完成（ 所需费用为：250050=125000（元）方案二：由甲乙两队合作完成所需费用为：（2500+2000）30=135000（元）【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率工作时间（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1（2）首先根据（

53、1）中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用举一反三：【变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售经市场调查，批发每天售出6吨（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利

54、润【答案】（1）设原计划零售平均每天售出x吨根据题意，得，解得x1=2，x2=16经检验，x=2是原方程的根，x=16不符合题意，舍去答：原计划零售平均每天售出2吨（2）实际获得的总利润是：2000620+2200420=416000（元）类型五、二次根式的定义及性质6当x取何值时，的值最小？最小值是多少？【答案与解析】 ，当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3.【点评】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即0（a0）.由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.类型六、二次根式的运算【高清课程名称：分式与二次根式 高清：399347：例3】7计算：； 【答

55、案与解析】原式【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：分式与二次根式巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列各式与相等的是( )A B. C. D. 2（2015泰安）化简：（a+）（1）的结果等于（）Aa2 Ba+2 C D3若分式的值是0，则x为（ ）A0 B.1 C.-1 D.14下列计算正确的是 （ ）5在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使

56、用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（）A10 B10C10 D106函数中自变量x的取值范围是（ ）A. x2B. x=3 C. x2且x3 D. x2且x3二、填空题7（2014春张家港市校级期末）下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“” 8化简的结果是_.9.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是_千米/时.10在中，是最简二次根式的有 个.11. 若最简二次根式是同

57、类二次根式，则x的值为 .12（1）把化简的结果是 .（2）估计的运算结果应在 之间.（填整数）三、解答题13（2015南京）计算：（）14.（1）已知：，求的值. （2）已知：，求的值.15在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的.信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.16.已知.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】化简= . 2.【答案】B；【解析】=a+2故选B3.【答案】B；【解析】分式

58、的值为0，则解得. 4.【答案】A；【解析】根据具体选项，应先进行化简，再计算. A选项中，B选若可化为，C选项逆用平方差公式可求得，而D选项应将分子、分母都乘，得.故选A. 5.【答案】B；【解析】设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，10故选B6.【答案】A；【解析】2-x0，x2，3不在x2的范围内. 二、填空题7【答案】，；【解析】=； 是最简分式； =； =1； 是最简分式；只有是最简分式故答案为：，8【答案】；【解析】找到最简公分母为（m+3）(m-3)，再通分. 9【答案】4.8； 【解析】平均速度=总路程总时间，设从学校到家的路程为s,则.10【答案】3；【解析】是最简二次根式. 11

59、【答案】-1； 【解析】根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1.12【答案】（1）； （2）3和4； 【解析】（1） （2） 三、解答题13.【答案与解析】解：（）=14.【答案与解析】 （1） 2=+1原式=1（2） .15.【答案与解析】 设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款x元.根据题意, 得,解这个方程得.经检验,是原方程解. 答：甲班平均每人捐款5元.16.【答案与解析】 由二次根式的定义及分式性质，得沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：数与式综合复习知识讲解（基础） 【考纲要求】(1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒

60、数、相反数与绝对值理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算；（2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；（3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算【知识网络】 【考点梳理】考点一、实数的有关概念、性质1实数及其分类 实数可以按照下面的方法分类： 实数还可以按照下面的方法分类：要点诠释：整数和分数统称有理数无限不循环小数叫做