2022年人教版高中数学《数学归纳法》教学设计

1、构设原形情形提高课堂教学效率数学归纳法第一课时教学设计1 教材分析 1.1 教材的位置与作用 数学归纳法在争论涉及正整数无限性的问题时是一种特别重要的方法 ,它的位置和作用 可以从三个方面来看：（1）中学数学的很多重要结论,如等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式,二项 式定理等都可以用数学归纳法进行证明由归纳、猜想得出一些与正整数有关的数学 命题,用数学归纳法加以证明,可以使同学对有关学问的把握深化一步（2）运用数学归纳法可以证明很多数学命题,既可以开阔同学的眼界,又可以使他们受到 推理论证的训练（3）数学归纳法在进一步学习数学时要常常用到,因此把握这种方法为今后的学习打下了 基础1

2、.2 教学的重点与难点数学归纳法的基本思想,即先验证使结论有意义的最小的正整数 n ,假如当 n n 0 时,* 命题成立, 再假设当 n k k n 0 , k N 时,命题成立 （这时命题是否成立不是确定的）,依据这个假设, 如能推出当 n k 1 时,命题也成立, 那么就可以递推出对全部不小于 n 的正整数 n 0 ,1 n 0 2 ,命题都成立,这是问题的重点和难点数学归纳法原理及其简洁的应用是本节课的教学重点2 教学目标分析 2.1 学问与技能 培育同学分析问题、解决问题的才能,更重要的是可以开阔同学的眼界,仍可以使他们 受到推理论证的训练,也让同学感受到数学文化的熏陶,培育同学的科

3、学文化素养2.2 过程与方法 建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法数学归纳法原理是很抽象的,但又与生活中的很多实例是相关的,可以例举大量的实例让同学感受或进行试验,即从做中 学,从而上升到理论熟悉,这就需要抽象概括的才能于是,同学就主动建构了数学归纳法 的原理和解决问题的两个步骤这样课堂教学方法不仅突破了教学的难点,同时也解决了数 学课堂枯燥无味的感觉,培育了同学观看社会、喜爱生活,真正发挥数学的文化训练功能2.3 情感态度与价值观教学中留意数学与文化的教学,让同学充分熟悉到数学中到处有人文精神,勉励同学探索制造,充分表达课程改革的精神3 学情分析 3.1 同学学习本课内容的基础其

4、实在上这节课之前时,同学早就接触过归纳法了例如在高一年级学习数列时,常常遇到给出数列的前几项,求它的一个通项公式,用的方法就是数学归纳法,确定等差数列、等比数列的通项公式,用的也是归纳法3.2 同学学习本课内容的才能同学通过学习数列有关内容,已经把握依据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结 论的推理方法, 即不完全归纳法 不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立,但同时也 应看到,它是争论数学的一把钥匙,是发觉数学规律的一种重要手段3.3 同学学习本课内容的心理依据皮亚杰 J Piaget 关于心理进展阶段学说, 他提出儿童青少年认知进展经受四个阶段, 即感知运算、前运算、详细运算和形式运算

5、阶段高三同学经过二年的高中学习,认知水平已经从形象转向抽象,思维才能也得到了提高他们有才能学会由特别到一般的思维方式,并且使自己的感性熟悉上升到理性熟悉4 教学过程设计4.1 构设原形情境当同学在学习某种新学问之前,假如他们先明白这项学问在生活中的原型材料,那么对学问的懂得会自然,接受也坦然,记忆长远,学习态度也会表现得更主动更有爱好在教学时 , 我先让同学看了这样一段录象：新华社 2022 年 12 月 31 日和中心电视台 2022年元月 6 日先后报道：在 20 世纪的的最终几分钟里 , 一项新的多米诺骨版吉尼斯纪录 , 在北京颐和园体育健康综合馆和网球馆产生了中国、日本和韩国的62 名

6、青年同学胜利推倒了340 多万张骨牌,一举打破了此前由荷兰人所保持的 297 万张的世界纪录从电视画面可以看到, 骨牌瞬时依次倒下的场面蔚为壮丽,期间显示的图案丰富多彩,令人叹为观止, 同学赞口叫绝这就是“ 多米诺骨牌效应”,其中包蕴的科学道理简洁地说,就是能确保前一张骨牌倒下就后一张骨牌必倒,这个较为新异的情形场面是数学归纳法原理的直观展现,有助于同学对数学归纳法原理的懂得和证题步骤的把握4.2 挖掘生活原形,发觉定义 追问 1 ：你们仍可以举一些生活中的例子吗？ 生 1 ：一排排放得很近的自行车,只要碰倒第一辆,就会倒下一排 生 2 ：过年的时候 , 有放鞭炮的传统, 只要前排的鞭炮响,

7、就它的后一排鞭炮就会响 生 3 ：一列由 n 节车厢连接好的火车,第一节车厢运动,其次节车厢也跟着运动,第三节车厢也跟着运动 第节车厢也跟着运动（同学们的思维很活跃,课堂气氛好） 追问 2 ：那么这些嬉戏或生活中的实例要取得胜利,必需有什么条件做保证呢？ 生 ：例如骨牌中,第一张牌被推倒,后面全部的都倒了 追问 3 ：是这样吗？请同学们再摸索 生 ：仍应当有： 任何相邻两张牌的距离不能太大,必需保证前一张牌倒后一张牌也必定倒,这样就有传递性,即进入循环递推系统 师 ：正确！ 用这种思想设计出来的,用于证明不完全归纳法估计所得的命题的正确性的证明方法就叫做数学归纳法即先证明当 n 取第一个值 n

8、 （例如 0 n ）时,命题成立 然 0后假设当 n k（k N * , k n 0）时,命题也成立,那么就证明这个命题成立由于证明了这一点,就可以判定这个命题对于n 取第一个值后面的全部正整数也都成立4.3 问题解决,加深懂得我们用上面的方法来证明题目：等差数列a n的通项公式ana 1n1d nkN*时证明： 1 当n1时, 左边 =1a , 右边 =a 10da 1, 左边 =右边 , 等式成立12假 设 当nk时 等 式 成 立 , 即aka 1k1d, 那 么 当n有:ak1a kda 1k1 dda 1k11d当nk1, 公式成立 . 由12知, 公式对一切正整数均成立. 4.4

9、例题示范 , 学会应用用上面的方法来证明题目：等差数列an的通项公式ana 1n1dnN*时证明： 1 当n1时 , 左边 =a , 右边 =a 10da 1, 左边 =右边 , 等式成立nk12假 设 当nk时 等 式 成 立 , 即aka 1k1d, 那 么 当有:ak1a kda 1k1 dda 1k11d当nk1, 公式成立 . . 由12知, 公式对一切正整数均成立4.5 解法剖析 , 把握原理例 1 证明 1+3+5+2n3+2n1=n2nN*2n 项和 .方法一 : 观看左边可知 : 它表示一个首项为1, 公差为 2 的等差数列的前左边 =n 12 2n1 n2=右边 , 故等式

10、成立 . 2k2, 方法二 :1 当 n =1 时, 左边 =1, 右边 = 121, 等式成立 . 2假设当nk时, 等式成立 , 即: 135 2k1当nk1时, 代入 ,135 2n3 2 n1 n得:1352 k1k1 2, 所以等式成立 . 综合 12等式对一切正整数n 均成立 . 说 明 方 法 一 不 是 数 学 归 纳 法 , 方 法 二 也 不 是 数 学 归 纳 法 , 而 且 是 错 误 的 . 这 是 因为 ,nk1时的等式是有待于利用归纳假设和已知条件加以证明, 不能直接将nk1代入要求证的等式. 4.5 例题示范 , 学会应用例 2: 用数学归纳法证明 : 1 22

11、 23 2 n n 1 2 n 1 . 6先由同学自己独立完成 , 然后进行讲评 , 证明过程见课本 64 至 65 页. 例 3: 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 如 f n 1 1 1 1 , 就2 3 nn f 1 f 2 f n 1 n f n n ,2 n N . 启示 1 分析要证的等式 . 当 n 2 时 , 左边等于什么 .右边等于什么 . 2 有已知 f n 的表达式 , 写出 f k 与 f k 1 的关系 . 证明 :1 当 n 2 时, 等式左边 = 2 f 1 2 1 3 , 等式右边 = 2 f 2 = 2 1 1 3 ,2所以对 n 2 时, 等式成立 . 2

12、 假设 n k 时, 等式成立 , 即: k f 1 f 2 f k 1 k f k 由已知条件可得 f k 1 f k 1, k 1右边 = k 1 f k 1 先写出右边 , 便于对比变形 那么当 n k 1 时, 左边 = k 1 f 1 f 2 f k 1 f k = k f 1 f 2 f k 1 1 f k 凑成归纳假设 = k f k 1 f k 利用归纳假设得 = k 1 f k 1 = = k 1 f k 1 1 1 = k 1 f k 1 =右边k 1当 n k 1 时, 等式也成立 . 由 12 可知 , 对一切 n 2 的正整数等式都成立 . 说明 验证并不是讲过场 , 要留意观看当 n 取第一个正整数时 , 左边是什么 , 右边是什么 ;其次步的关键是将左边配凑