信息论及编码试卷和答案

1、.wd.wd.wd.一、11填空题1948年，美国数学家 香农 发表了题为“通信的数学理论的长篇论文，从而创立了信息论。必然事件的自信息是 0 。离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍 。对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为_信源符号等概分布_。假设一离散无记忆信源的信源熵HX等于2.5，对信源进展等长的无失真二进制编码，那么编码长度至少为3 。对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是 香农编码 。某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_个码元错误，最多能纠正_1_个码元错误。设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待

2、传送的信息传输率R_小于_C大于、小于或者等于，那么存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与_译码规那么_和_编码方法_有关5居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。 假设我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生的消息，问获得多少信息量解：设A表示“大学生这一事件，B表示“身高1.60以上这一事件，那么P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 2分故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*

3、0.25/0.5=0.375 2分I(A|B)=-log0.375=1.42bit 1分四、5证明：平均互信息量同信息熵之间满足I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)证明： 2分同理 1分那么因为 1分故即 1分五、18.黑白气象 图的消息只有黑色和白色两种，求：1 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵；2 假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为 ，求其熵。3分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。解：1信源模型为1分2由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。2分由4分得极限状态概

4、率2分3分31分1分。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。2分六、18.信源空间为，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率要求有编码过程。七6.设有一离散信道，其信道传递矩阵为，并设，试分别按最大后验概率准那么与最大似然译码准那么确定译码规那么，并计算相应的平均错误概率。13分最小似然译码准那么下，有，23分最大后验概率准那么下，有，八10.二元对称信道如图。1假设，求、和；2求该信道的信道容量。解：1共6分2，3分此时输入概率分布为等概率分布。1分九、18设一线性分组码具有一

5、致监视矩阵1求此分组码n=?,k=?共有多少码字2求此分组码的生成矩阵G。3写出此分组码的所有码字。4假设接收到码字101001，求出伴随式并给出翻译结果。解：1n=6,k=3,共有8个码字。3分2设码字由得3分令监视位为，那么有3分生成矩阵为2分3所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。4分4由得，2分该码字在第5位发生错误，101001纠正为101011，即译码为1010011分一、填空题此题10空,每空1分,共10分1、必然事件的自信息量是_0_，不可能事件的自信息量是_无穷_。2、一信源有五种符号a，b，

6、c，d，e，先验概率分别为Pa=0.5，Pb=0.25，Pc=0.125，Pd=Pe=0.0625。符号“a的自信息量为_1_bit，此信源的熵为_1.875_bit/符号。3、如某线性分组码的最小汉明距dmin=6，最多能纠正_2_个随机错。4、根据密码算法所使用的加密密钥和解密密钥是否一样，可将密码体制分成_对称单密钥_和_非对称双密钥_。5、平均互信息量I(X;Y)与信源熵和条件熵之间的关系是_I(X:Y)=H(X)-H(X/Y)_。6、克劳夫特不等式是唯一可译码_存在_的充要条件。00，01，10，11是否是唯一可译码_是_。三、单项选择题(此题共10小题；每题2分，共20分)1、对连

7、续集的熵的描述不正确的选项是AA 连续集的熵和离散集的熵形式一致，只是用概率密度代替概率，用积分代替求和B 连续集的熵值无限大C 连续集的熵由绝对熵和微分熵构成D 连续集的熵可以是任意整数2、设信道输入为xm，输出为y，假设译码准那么是当P(y | xm)P(y | xm)，对所有mm时，将y判为m，那么称该准那么为DA 最大后验概率译码准那么B 最小错误概率准那么C 最大相关译码准那么D 最大似然译码准那么3、线性分组码不具有的性质是CA 任意多个码字的线性组合仍是码字B 最小汉明距离等于最小非0重量C 最小汉明距离为3D 任一码字和其校验矩阵的乘积cmHT=04、关于伴随式的描述正确的选项

8、是AA 伴随式s与传送中信道出现的错误图样e有关B 通过伴随式s可以完全确定传送中信道出现的错误图样eC 伴随式s与发送的具体码字有关D 伴随式s与发送的具体码字有关，与传送中信道出现的错误图样e也有关5、率失真函数的下限为BAH(U) B0 CI(U; V) D没有下限6、纠错编码中，以下哪种措施不能减小过失概率DA 增大信道容量B 增大码长C 减小码率D 减小带宽7、某无记忆三符号信源a,b,c 等概分布，接收端为二符号集，其失真矩阵为,那么信源的最大平均失真度Dmax 为 DA 1/3 B 2/3 C 3/3 D 4/38、一珍珠养殖场收获240 颗外观及重量完全一样的特大珍珠，但不幸被

9、人用外观一样但重量仅有微小差异的假珠换掉1 颗。一人随手取出3 颗，经测量恰好找出了假珠，不巧假珠又滑落进去，那人找了许久却未找到，但另一人说他用天平最多6 次能找出，结果确是如此，这一事件给出的信息量 A。A 0bit B log6bit C 6bit D log240bit9、随机噪声电压的概率密度函数 p(x) =1/2，x 的取值范围为1V 至+1V，假设把噪声幅度从零开场向正负幅度两边按量化单位为0.1V 做量化，并且每秒取10 个记录，求该信源的时间熵B A 21.61bit/s B 43.22bit/s C 86.44 bit /s D 以上都不对10、彩色电视显像管的屏幕上有5

10、105 个像元，设每个像元有64 种彩色度，每种彩度又有16种不同的亮度层次，如果所有的彩色品种和亮度层次的组合均以等概率出现，并且各个组合之间相互独立。每秒传送25 帧图像所需要的信道容量C A 50.106 B 75.106 C 125.106 D 250.106第7章线性分组码1. 一个(5, 3)线性码C的生成矩阵为：1求系统生成矩阵；2列出C的信息位与系统码字的映射关系；3求其最小Hamming距离，并说明其检错、纠错能力；4求校验矩阵H；5列出译码表，求收到r=11101时的译码步骤与译码结果。解：1线性码C的生成矩阵经如下行变换：得到线性码C的系统生成矩阵为2码字的编码函数为生成

11、了的8个码字如下信息元系统码字0000000000100111010010100110110110010011101101001101100111111110(3) 最小汉明距离d=2，所以可检1个错，但不能纠错。(4) 由，得校验矩阵(5) 消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由c=mGs 得码字序列c0=00000, c1=00111,c2=01010, c3=01101,c4=10011, c5=10100,c6=11001, c7=11110那么译码表如下：000000011101010011011001110100110011111010000

12、1011111010111010001100100010010111001000011110001000101110111110010001101100000100110010110110010010101011100011111当接收到r =(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为c=01101。2设7, 3线性码的生成矩阵如下1求系统生成矩阵；2求校验矩阵；3求最小汉明距离；4列出伴随式表。解：1生成矩阵G经如下行变换得到系统生成矩阵：2由，得校验矩阵为3由于校验矩阵H的任意两列线性无关，3列那么线性相关，所以最小汉明距离d=3。47, 3线性码的消息

13、序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由c=mGs 得码字序列：c0=0000000，c1=0010111，c2=0101010，c3=0111101，c4=1001101，c5=1011010，c6=1100111，c7=1110000。又因伴随式有24=16种组合，过失图样为1的有，过失图样为2的有，而由，那么计算陪集首的伴随式，构造伴随表如下：伴随式陪集首伴随式陪集首00000000000010110010001101100000010011000100101001000001111001100001110010000110000011001000000

14、1000111001001000100000010010110100001001000000100011001010000010000001011000001103一个(6, 3)线性码C的生成矩阵为：1 写出它所对应的监视矩阵H；2 求消息M=(101)的码字；3 假设收到码字为101010，计算伴随式，并求最有可能的发送码字。解：1线性码C的生成矩阵G就是其系统生成矩阵GS，所以其监视矩阵H直接得出：2消息M=(m0,m1,m2)=(101)，那么码字c为：3收到码字r=(101010)，那么伴随式又6, 3线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111

15、，由c=mGs 得码字序列：c0=000000，c1=001110，c2=010011，c3=011101，c4=100101，c5=101011，c6=110110，c7=111000。伴随式有23=8种情况，那么计算伴随式得到伴随表如下：伴随式陪集首000000000101100000011010000110001000100000100010000010001000001111100010伴随式001对应陪集首为000001，而c=r+e，那么由收到的码字r=(101010)，最有可能发送的码字c为：c=101011。4设(6, 3)线性码的信息元序列为x1x2x3，它满足如下监视方程组

16、1求校验矩阵，并校验10110是否为一个码字； 2求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。解：1由监视方程直接得监视矩阵即校验矩阵为：因为收到的序列10110为5位，而由6, 3线性码生成的码字为6位，所以10110不是码字。2由，那么生成矩阵为：信息码元序列M=101，由c=mGs 得码字为c：第8章 循环码1. (8, 5)线性分组码的生成矩阵为1证明该码是循环码；2求该码的生成多项式。1证明如下：由生成矩阵可知为8、5循环码。2生成多项式如下：2. 证明：为(15, 5)循环码的生成多项式，并写出信息多项式为时的码多项式按系统码的形式。由定理8-1可知n，k循环码的生成多项式g(

17、x)为xn+1的因子， g(x)为n-k次多项式，此题目中知：为一个10次多项式，n-k=15-5=10并且：所以：是的一个因子，也是循环码的生成多项式。按系统码构造多项式如下：3. (7, 4)循环码的生成多项式为，信息多项式为，分别由编码电路和代数计算求其相应的码多项式C(x)。由题目可知代数计算求解过程如下：由编码电路进展求解：编码电路如下所示：编码过程如下：时钟信息元存放器码字输出码字D0 D1 D200 0 0111 1 01200 1 10301 1 10410 1 1150 0 1160 0 0170 0 00可得：4. 令(15, 11)循环码的生成多项式为，计算 1假设信息多项式为，试求编码后的系统码字； 2求接收码组的校正子多项式。(1)解题过程如下：2校正多项式如下所示：5. 码长为n=15的本原BCH码，求不同纠错能力下的BCH码各自的生成多项式。纠错能力：，所以最多能纠正7个错误码。有限域GF24，4次本原多项式，为f(x)的一个根，可知：，计算2t=14个连续幂次为对应的最小多项式：(1)