因式分解的高级方法

1、因式分解的高级方法双十字相乘法双十字相乘法原理计算(2x - 3y + 5)(3x + y -1)= 6x2 - 7xy - 3y2 +13x + 8y - 5 .从计算过程可以发现，乘积中的二次项6x2 -7xy-3y2只和乘式中的一次项有关，而与常数项 无关；乘积中的一次项13x + 8y，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘 式中的常数项有关系。2 .所以运用双十字乘法对Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F型的多项式分解因式的步骤：用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右

2、 端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y的一次项的系数E，同是还必须 与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x的一次项的系数D.对称式与轮换对称式【定义1】一个n元代数式f (xi，x2，七)，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对 于任意的 i，j (1 i j n )，都有 f (x，,，x，匕 x ,，x ) = f (x，,，x ,，x，,，x )那么，就称 1ijn1jin这个代数式为n元对称式，简称对称式。x + y例如，x + y，xy，x2 + y2 + z2，xy + yz + zx 都是对称式。xy如果H元对称式是一个

3、多项式，那么称这个代数式为元对称多项式。由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式f(X，y，z)中，若有ax3项，贝I必有ay3，az3项；若有bx2 y项，贝I必有bx2 z， by2z，by2x，bz2x，bz2y项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义，可以写出含h个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母 x，y，z的二次对称多项式的般形式是：a( x 2 + y 2 + z 2) + b( xy + yz + zx) + c( x + y + z) + d【定义2】如果一个h元多项式的各项的次数均等于同一个常数

4、那么称这个多项式为h元尸 次齐次多项式。由定义2知，h元多项式f (x x2， x)是r次齐次多项式，当且仅当对任意实数t有f (tx， tx ,，tx ) = trf (x，x，七 x )。n12n例如，含三个字母的三元三次齐对称式为:a(x3 + y3 + z3) + b(x2y + x2z + y2x + y2z + z2x + z2y) + cxyz。【定义3】一个h元代数式f (x1，xy，x“)，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变 符号，即对于任意的i，j (1 i j h)，都有f (x，,，x，,，x，,，x ) = -f (x，,，x，,，x，,，x )那么就称这个代

5、数式为h元交代式。1 i j h1 j i h例如，x - y，(x - y)(y - z)(z - x)，一y 均是交代式。x + y【定义4】如果一个h交代数式f (x，x ,，x )，如果将字母x，x ,，x以x代x，x代12n12n 213x , x代x ，x代x后代数式不变，即f (x，x ,，x )三f (x，x ,，x，x )那么称这个代数式2nn-1 1 n1 2n2 3n 1为h元轮换对称式，简称轮换式。显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，a(x2 + y2 + z2)是对称式也是轮换式；b（x2y + y2z + z2x）是轮换式，但不是对称式。对称式、

6、交代式、抡换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式;（3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；（4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；（5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。【定义5】下面n个对称多项式称为n元基本对称多项式。z=1气（X，b （X， i j n 的多项式。这个结论对解题的指导作用。b （X，b（x1，例如，二元基本对称多项式是指x + y，xy，三元基本对称式是指x+ y + z，xy + yz + zx，xyz当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n

7、元对称多项式都可以表示为基本对称多项式xn)二.x1 i2 气 nx ) = x x.x2ik对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需 作类似的处理即可。下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧（1）若f 3, y z）是对称式，则在解题中可设x y z。（为什么？）（2）若f （x，y，z）是对称式，则当x，y满足性质p时，x，z； y，z也满足性质p。（3）若f （x，y，z）是轮换式，则在解题中可设x最大（小），但不能设x y z（为什 么？）（4）若f （x，y，z）是轮换式，且x，y满足性质p，则

8、y，z； z，x也满足性质p。（5）若f （x，y，z）是交代多项式，则x- y，y - z，z -x是f （x，y，z）的因式，即其中 g （x，y，z）是对称式。f （x，y，z） = （x- y）（y - z）（z - x）g（x，y，z）其中 g（x，y，z）是对称式。在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用 的。齐次对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式一次：a（x + y），二次：a（x2 + y2） + bxy三次：a （x 3 + y 3） + bxy （x + y）(2)三元齐次对称多项式一次：a(x + y + z)二次：a

9、(x2 + y2 + z2) + b(xy + yz + zx)三次：a(x3 + y3 + z3) + b x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + cxyz判定mx + ny + rz是否为多项式f (x,y,z)的因式的方法是：令mx + ny + rz = 0 ,计算 f (x，y，z)，如果f (x，y，z)=0，那么mx+ny + rz就是f (x，y，z)的因式，在实际操作时， 可首先考虑mx+ny + rz的如下特殊情形：x，x + y，x- y，x + y + z，x- y + z拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个

10、符号相反的项，使得便于用分 组分解法进行分解因式.例如：x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2)2 - 4x2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程， 分解后要注意将新字母还原.例如：x 4 - 2 x 2 - 3，设x 2 = y，则原式=y2 - 2y - 3 = (y - 3)(y +1)，最后再换回来就是=y2 - 2y - 3 = (x2 - 3)(x2 +1)主元法当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作

11、为常数 去解决问题.例如：a 2 + b + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc=a 2 + 2ab + 2ac + b + c 2 + 2bc = a 2 + 2a (b + c) + (b + c)2 = (a + b + c)2六：因式定理与待定系数若x = a时，f (x) = 0,:即f (a)= 0 ，则多项式f (x)有一次因式x - a ;若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等.考点：1.双十字相乘法；2.对称式与轮换对称式；3.拆、添项法；4.换元法；5.主元法;6.因式定理与待定系数.重难点：对称式与轮换对称式；拆、添项法.易错点：因式分解过程中计算错误.题模一：

12、双十字相乘法例 111(1) 6x2 -7xy-3y2 + 13x + 8y-5(2) 20 x2 + 9xy-18y2-18x + 33y-14【答案】 (1)(2x 3y + 5)(3x + y 1) (2) (4x 3y + 2)(5x + 6y 7)【解析】 (1)先用十字相乘法分解6x2-7xy-3y2，再将常数项-5的两个因数写在第二个十字 的右边，由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8,再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等 于13x，那么原式就可以分解成(2x-3y + 5)(3x + y -1)(2) 20 x2 + 9xy-18y2 - 18x + 33y-14 = (4x

13、-3y + 2)(5x + 6y-7)例 1.1.2(1) 15x2 -20 xy-x + 8y-2(2) 9x2 -16y2 +18x + 40y-16【答案】 (1) (3x 4y + 1)(5x 2) (2) (3x 4y + 8)(3x + 4y 2)(2) 9x2 -16y2 + 18x + 40y-16 = (3x一4y + 8)(3x + 4y 一2)题模二：轮换对称式法例1.2.1分解因式f (x, y, z) = xy(x2 - y2) + yz(y2 - z2) + zx(z2 -x2)【答案】见解析【解析】(x- y)(y -z)(z -x)是它的因式。又因为f (x，y

14、，z)是4次齐次式，所以它还有一个一 次对称式因式x + y + z于是，f (x，y，z)可表示为f (x，y，z) = k (x - y )(y - z )(z - x)(x + y + z ). 令x = 0, y = 1, z = 2,得 k = -1,f (x, y, z) = -(x - y)(y - z)(z - x)(x + y + z).例122分解因式f (x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz【答案】见解析【解析】f (x, y, z)是3次齐次对称多项式.令x + y + z = 0，得f (x, y,z) = x3 + y3 -(x + y+ 3

15、xy (x + y )=x3 + 3xy (x + y )+ y 3-(x + y ) =(x + y ) -(x - y=0 x + y + z是f (x, y, z)的一个因式.故它的另一个因式比为二次齐次对称式.所以f (x, y, z)可 表示为 f (x, y, z) = (x + y + z )A C2 + y2 + z2)+ B (xy + yz + zx)令 x = y = 0 , z = 1,得 A = 1.再 令x = 0 , y = z = 1,得B = -1 .所以 f (x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 xy yz xz).题模三

16、：拆、添项法1例131【答案】x4 + y 44(x 2 + 2 y 2+xy)(x 2 + 2 y 2-xy)【解析】11x 4 +y 4 = x 4 + x 2 y 2 +y 4 一 x 2 y 2 =44-(xy )2 =Y 1)x2 +3 y2 - xy 27题模四：换元法例 1.4.1【答案】因式分解：(x2+6x) +18(X2 + 6x)+80(x + 2)(x + 4)(x2 + 6 x +10).【解析】令 x2 + 6x = a，则原式=a2 + 18a + 80 = (a + 8)(a +10) =(x2 + 6x + 8)(x2 + 6x +10)=(x + 2)(x

17、+ 4 )(x2 + 6 x +10)题模五:主元法例 1.5.1 (a + b - 2ab)(a + b - 2) + (1+ ab)2【答案】(a2 + b2 - ab -1)2【解析】(a + b - 2ab)(a + b - 2) + (1-ab)2=(a + b)2 - 2(ab + 1)(a + b) + (1+ ab)2=(a2 + b2 - ab -1)2题模六：因式定理与待定系数法例161因式分解：x35x2 + 9x6【答案】(x 一 2)(x2 - 3x + 3)【解析】以x = 1,2,土3,土6 (常数6的约数)分别代入原式，若值为0,则可找到一次因式，然后用除法或待

18、定系数法，求另一个因式。解：x = 2时，x3 -5x2 + 9x-6 = 0 ,.原式有一次因 3式 x = 2，.，. x3 - 5x2 + 9x - 6 = (x - 2)x2 - 3x + 3).随练 1.1 因式分解：6x2 - 5xy 6y2 - 2xz 23yz 20z2 【答案】(2x - 3 y - 4 z)(3x + 2 y + 5z)【解析】6x2 - 5xy 6y2 - 2xz 23yz 20z2 = (2x - 3y - 4z)(3x + 2y + 5z)随练 1.2 因式分解：f (x, y, z) = (x y)3 + (y z+(z x【答案】见解析【解析】可设

19、f = k(x y)(y z)(z x)，可求出k = 3随练1.3 分解因式：x8+x4 +1答案】(x2 + x + 1)(x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)【解析】x8+ x4+ 1 = x8+2x4+ 1 - x44=(x2+ x + 1)(x2 - x + 1)(x4 - x2+ 1)随练 1.4 分解因式：(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) +15【答案】(x + 2)( x + 6)(x2 + 8 x +12)【解析】(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) +15=(x + 1)(x + 7)( x + 3)(x + 5) +

20、15 = (x 2 + 8 x + 7)( x 2 + 8x +15) +15 = (x 2 + 8x + 7)2+8(x 2 + 8 x + 7) +152 + 8x + 10)Q + 8x +12)= (x + 2)(x + 6)(x2 + 8x +12)随练 1.5 分解因式：(x2-3x + 2)(x2 -3x-4) + 9【答案】(x2-3x -1)2【解析】(x2 - 3x + 2)(x2 - 3x - 4) + 9 = (x2 - 3x + 2)2 - 6(x2 - 3x + 2) + 9 = (x2 - 3x -1)2随练1.6因式分解：2x3-13x2 + 3 【答案】(2x-1)(x2-6x-3)【解析】 用最高次项的系数2的约数1, 2别去除常数项3的约数1, 3得商1,2, 土1 , 3，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当x =1时，原式值为0.故可知有因式2222x-1.设2x3 - 13x2 + 3 =（2x1）（x2 + ax3）（a是待定系数）比较右边和左边x2的系数得2a -1 = -13 , a = -62x3 -13x2 + 3 =(2x1)Cx2 一 6x - 3).作业 1 因式分解：6x2 - 13xy + 2y2 +16x + y - 6【答案】(x 2 y + 3)(6x y 2)作业 2