《高等代数2》教学大纲

1、高等代数2Advanced Algebra一、课程基本情况课程类别：学科基础课课程学分： 5学分课程总学时： 80 学时，其中讲课： 80学时课程性质：必修开课学期：第二学期先修课程：初等代数，初等几何，解析几何，高等代数1 适用专业： 数学与应用数学，信息与计算科学，统计学，应用统计学教 材：高等代数，高等教育出版社，北京大学数学系，2013年，第四版。开课单位： 数学与统计学院数学系课程性质、教学目标和任务高等代数是数学类各专业的一门重要基础课之一，通过这门课的学习，使学生获得：二次型化为标准形的配方法与合同变换法，矩阵正定、半正定、不定的定义与判别方法，对称矩阵与对角矩阵合同的计算方法；

2、线性空间的定义与基本性质，子空间的交与和、直和，维数公式的及其证明与应用；线性变换的定义与基本性质，矩阵特征值特征向量的定义与计算方法，两矩阵相似的充分条件，矩阵相似对角化方法；-矩阵，不变因子，行列式因子，初等因子；欧氏空间的定义，欧氏空间的对称变换及其性质，正交矩阵，实对称矩阵与对角矩阵相似计算法。同时，使学生受到严格的代数方法训练，为学习后继课程打下基础。本大纲为第二学期讲授内容，涉及教材第五至第九章。三、教学内容和要求第5章 多项式二次型（12学时数）5.1 二次型及其矩阵表示（2学时）（1）了解矩阵合同的概念以及矩阵合同满足反身性、对称性、传递性的关系； （2）理解线性替换、非线性替

3、换以及二次型矩阵的概念； （3）掌握二次型与对称矩阵之间的关系与互化；重点：二次型与二次型矩阵；难点：非线性替换把二次型化为二次型。5.2 标准形（4学时）（1）了解对称矩阵合同于对角矩阵的证明； （2）理解标准形概念，理解把二次型化为标准形配方法的证明； （3）掌握把二次型化为标准形的两种方法：配方法与合同变换法；重点：把二次型化为标准形的两种方法：配方法与合同变换法；难点：对称矩阵合同于对角矩阵的证明。5.3 唯一性（2学时）（1）了解复规范形及其把二次型化为复规范形的证明； （2）理解惯性定理的证明； （3）掌握复对称矩阵以及实对称矩阵合同于对角阵的性质与方法，掌握正惯性指数、负惯性 指

4、数、符号差的概念。重点：惯性定理及其证明；难点：惯性定理的证明。5.4 正定二次型（2学时）（1）了解判别矩阵正定方法的证明； （2）理解矩阵的子式、顺序主子式、正定、半正定、负定、半负定以及不定的概念； （3）掌握判别矩阵正定的方法以及矩阵正定、半正定的充要条件。重点：二次型以及实对称矩阵正定、半正定的判定；难点：实对称矩阵正定充要条件的证明。5.5 习题课（2学时）第六章 线性空间（16学时）6.1 集合、映射（1.5学时）了解集合、子集与元素的概念以及映射可逆的充要条件是双射的理论推导；理解恒等映射与映射的乘积概念；掌握单射、满射、双射，以及可逆映射的概念。重点：单射、满射、双射与可逆映

5、射；难点：映射可逆的充要条件是双射的证明。6.2 线性空间的定义与简单性质（2学时）了解零元素、负元素的意义与性质；理解线性空间关于加法与数乘的封闭性；掌握线性空间的定义。重点：线性空间的定义；难点：利用线性空间的定义解决问题。6.3 维数-基与坐标（1.5学时）了解线性空间向量组的等价、线性相关、线性无关、极大无关组、秩的概念以及与第三 章相对应的若干性质；理解维数、基与坐标的概念；掌握线性空间维数、基与坐标的求法。重点：线性空间维数、基与坐标的概念与求法；难点：。6.4 基变换与坐标变换（1.5）了解线性空间中向量组线性相关性的证明；理解基变换与坐标变换公式；掌握过渡矩阵的概念与求法以及坐

6、标变换公式。重点：过渡矩阵与坐标变换公式；难点：线性空间中向量组线性相关性的证明。6.5 线性子空间（2学时）了解平凡子空间、非平凡子空间与生成子空间的定义；理解扩基定理的证明；掌握线性子空间的概念与判别方法、生成子空间与生成元的关系。重点：线性子空间的概念与判别方法；难点：扩基定理的证明。6.6 子空间的交与和（2学时）了解多个子空间的交与和；理解两个子空间的交与和的定义及其基本性质；掌握维数公式的证明与应用。重点：子空间的交与和、维数公式；难点：维数公式的证明。6.7 子空间的直和（2学时）了解多个子空间的直和及其等价表示；理解两个子空间直和的定义、余子空间及其求法；掌握两个子空间的和为直

7、和的等价条件。重点：两个子空间直和的定义以及和为直和的等价条件；难点：两个子空间的和为直和的等价条件的证明。6.8 同构（2学时）了解两个子空间同构的充要条件及其证明；理解同构的定义；掌握同构映射的基本性质。重点：同构定义与同构映射的基本性质；难点：关于两个子空间同构的充要条件的证明。6.9 第六章习题课（1.5学时）第七章 线性变换（24学时）7.1 线性变换的定义（1学时）了解恒等变换、零变换与数乘变换；理解线性变换的定义；掌握线性变换的基本性质。重点：线性变换的定义与基本性质；难点：变换是否为线性变换的判别。7.2 线性变换的运算（2学时）了解逆变换也是线性变换的证明；理解逆变换、负变换

8、的定义以及线性变换多项式的定义；掌握线性变换的加法、数乘与乘法的运算及其运算律。重点：线性变换的运算及其运算律；难点：线性变换的多项式。7.3 线性变换的矩阵（4学时）了解线性变换的和、乘积、数乘与逆对应矩阵的和、乘积、数乘与逆；理解线性变换在一组基下的矩阵的定义；掌握两矩阵相似的定义、线性变换在一组基下的矩阵的求法以及线性变换在不同基下的 矩阵求法。重点：两矩阵相似的定义、线性变换在一组基下的矩阵的求法以及线性变换在不同基下的 矩阵求法。难点：关线性变换在不同基下矩阵的关系及其证明。7.4 特征值与特征向量（4学时）了解特征值特征向量的背景与应用；理解线性变换以及矩阵的特征值与特征向量的定义

9、、特征多项式、特征子空间与迹的定 义；掌握线性变换以及矩阵的特征值特征向量的求法、哈密尔顿-凯莱定理、矩阵相似 的必要条件。重点：线性变换以及矩阵的特征值特征向量的求法、哈密尔顿-凯莱定理；难点：哈密尔顿-凯莱定理的证明。 7.5 对角矩阵（2学时）了解关于线性变换在某组基下为对角矩阵的充分条件及其证明；理解线性变换在某组基下为对角矩阵的充要条件及其证明；掌握属于不同特征值的特征向量线性无关的结论以及矩阵对角化的充要条件。重点：矩阵可对角化的充要条件及其矩阵对角化的方法；难点：线性变换在某组基下为对角矩阵的充要条件的证明。7.6 线性变换的值域与核（3学时）了解线性变换的秩+线性变换的零度=线

10、性空间的维数之结论的证明；理解线性变换的秩、零度的定义以及单射的充要条件为满射的结论；掌握线性变换值域与核的定义及其基本性质。重点：线性变换值域与核的定义及其基本性质；难点：线性变换的秩+线性变换的零度=线性空间的维数之结论的证明。7.7 不变子空间（2学时）了解本节定理12的证明；理解不变子空间与变换矩阵化简之间的关系；掌握不变子空间的定义与基本性质。重点：不变子空间的定义与基本性质；难点：本节定理12的证明。7.8 Jordan标准形介绍（2学时）了解任一复矩阵都与Jordan矩阵相似的证明；理解Jordan块与Jordan标准形的定义；掌握任一复矩阵都与Jordan矩阵相似的结论。重点：

11、Jordan块与Jordan标准形的定义以及任一复矩阵都与Jordan矩阵相似的结论；难点：任一复矩阵都与Jordan矩阵相似的证明。7.9 最小多项式（1学时）了解最小多项式基本性质的证明；理解最小多项式没有重根的充要条件是矩阵与对角矩阵相似的结论；掌握最小多项式的定义、求法与基本性质。重点：最小多项式的定义、求法与基本性质；难点：最小多项式基本性质的证明。7.10 习题课（3学时）第八章 矩阵（10学时）8.1 矩阵（0.5学时）了解数字矩阵与矩阵的概念；理解矩阵的子式、秩以及可逆的定义；掌握矩阵可逆的判别定理。重点：矩阵可逆的判别定理；难点：矩阵可逆的判别定理的证明。8.2 矩矩阵在初等

12、变换下的标准形（2学时）了解矩阵的初等变换与等价的定义；理解矩阵标准形的定义；掌握矩阵标准形的求法。重点：矩阵标准形的定义与求法；难点：任意矩阵都等价于对角阵的证明 。8.3 不变因子（2学时）了解等价的矩阵有相同的秩与相同的各阶行列式因子的证明；理解不变因子与行列式因子的定义；掌握不变因子与行列式因子的求法。重点：矩阵不变因子、行列式因子的定义与求法；难点：等价矩阵有相同的秩与相同的各阶行列式因子的证明。8.4 矩阵相似的条件（2学时）了解两个数字矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价的证明；理解两个矩阵相似的充分条件；掌握两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子。重点：两个矩阵相似的充

13、要条件是它们有相同的不变因子；难点：两个数字矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价的证明。8.5 初等因子（2学时）了解通过化特征矩阵为对角矩阵求初等因子之方法原理的证明；理解初等因子的定义；掌握初等因子的求法。重点：初等因子的定义与求法；难点：通过化特征矩阵为对角矩阵求初等因子之方法原理的证明。8.6 Jordan标准形的理论推导（1学时）了解Jordan标准形的理论推导；理解任一复矩阵与Jordan标准形相似的充要条件是这个矩阵的初等因子都是一次的。掌握任一复矩阵都与Jordan标准形相似。重点：任一复矩阵都与Jordan标准形相似；难点：复矩阵与Jordan标准形相似的充要条件及其证明。

14、8.7 矩阵的有理标准形（0.5学时）了解矩阵与唯一有理标准形相似的证明；理解有理标准形的定义；掌握有理标准形的求法。重点：有理标准形的定义与求法；难点：。矩阵与唯一有理标准形相似的证明。欧几里得空间（18学时）9.1 定义与基本性质（2学时）了解长度、夹角与单位向量的概念；理解欧几里得空间、度量矩阵以及正交的定义；掌握柯西不等式以及度量矩阵的求法。重点：欧几里得空间、度量矩阵的定义与求法；难点：柯西不等式的证明。9.2 标准正交基（2学时）了解Schimidt正交化方法的推导；理解正交向量组与标准正交基的定义；掌握正交矩阵的定义、基本性质以及Schimidt正交化方法。重点：标准正交基的概念

15、与求法；难点：Schimidt正交化方法的推导。9.3 同构（1学时）了解欧氏空间同构映射的逆映射也是同构映射的证明；理解欧氏空间同构的定义；掌握欧氏空间同构及其基本性质。重点：欧氏空间同构及其基本性质；难点：欧氏空间同构基本性质的证明。9.4 正交变换（2学时）了解第一类与第二类正交变换；理解线性变换是正交变换的等价命题的证明；掌握正交变换与正交矩阵的定义及其基本性质。重点：正交变换与正交矩阵的定义及其基本性质；难点：线性变换是正交变换的等价命题的证明。9.5 子空间（2学时）了解欧氏空间的子空间都有唯一正交补的证明；理解欧氏空间两向量正交以及欧氏空间两子空间正交的定义；掌握欧氏子空间正交与欧氏子空间直和的关系。重点：欧氏空间两向量正交以及欧氏空间两子空间正交的定义及其基本性质；难点：正交补性质的证明。9.6 实对称矩阵的标准形（4学时）了解实对称矩阵正交对角化在二次曲面分类中的应用；理解对称变换的定义与基本性质；掌握实对称矩阵的特征值全为实数、实对称矩阵可正交对角化等结论；掌握通过正交变换把实二次型化为标准形的方法。重点：对称变换的定义与基本性质；通过正交变换把实二次型化为标准形的方法；难点：实对称矩阵与对角矩阵正交