新编第四章：第二节：换元公式课件

1、新编第四章：第二节：换元公式新编第四章：第二节：换元公式问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理( 第一类换元公式 : 凑微分法）定理1 公式（1）的目的是将左边的积分在变量代换 u = (x) 下，转化为右边的积分来计算。 如何用公式（1）来求不定积分？关键是寻找 适当的变量代换 u = (x) , 这要根据具体问题 具体分析。 在积分式中 d x 可以看作是对积分变量 x 的微分。( 第一类换元公式 : 凑微分法

2、）定理1 公式（1）的例1 求解（一）解（二）解（三）例1 求解（一）解（二）解（三）例2 求解一般地例2 求解一般地例3 求解例3 求解例4 求解例4 求解例5 求解例5 求解例6 求解一：例6 求解一：解二：例6 求思考题：为什么两种方法所得结果不一样？解一：解二：例6 求思考题：为什么两种方法所得结果不一样？解一例7 求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例7 求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微例8 求解例8 求解例9 求解：类似地可推出例9 求解：类似地可推出例10 求解（一）（使用了三角函数恒等变形）类似地可推出例10 求解（一）（使用了三角函数恒

3、等变形）类似地可推出解（二）例10 求解（二）例10 求例11 求解：例11 求解：例12例12积 分 公 式积 分 公 式问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法注意：上面所用的变量代换形式为：问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”二一般地，设所求积分为令 x = (t)则 d x = (t) d t，得换元公式然后计算出右边的积分，设为x = (t) 要单调可导一般地，设所求积分为令 x = (t)则 d x = 第一类换元公式 第二类换元公式两类换元公式的比较 第一类换元公式 第二类换元公式两类换元公式的比较 例13 求

4、解令例13 求解令例14 求解令例14 求解令例14 求解令例14 求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉例15 求解：倒代换令所以当 x 0 时有相同的计算结果例15 求解：倒代换令所以当 x 0 时有相同的计算结 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(2)例16 求解一：令 积分中为了化掉根式是否一定采用三解二：令例16 求解二：令例16 求例17 求解：令例17 求解：令说明(3)当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例18 求解令说明(3)当被积函数含有两种或两种以上的根式 三、小结 第一类换元公式 第二类换元公式 积分公式表（2）三、小结 第一类换元公式 第二类换元公式 积分公式表（