中考数学满分之路（四）-旋转全等与旋转相似

1、第 页中考数学满分之路（四） 旋转全等与旋转相似一、旋转全等有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形组成的图形中，必有全等三角形.旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.如图，已知ABAC，ADAE，BACDAE. 求证：ABDACE.证明：BACDAE，BACCADDAECAD，即BADCAE，ABAC，BADCAE，ADAE，ABDACE.如图，若ABDACE，则ABAC，BADCAE（进而BACDAE），ADAE.其中ACE可看作是由ABD绕点A逆时针旋转BAC得到的.所以，将

2、一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角满足360且180）后，会得到有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形.1. 如图，点C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作正ABC和正CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC. 以下6个结论：ADBE；APBQ；DEDP；AOB60；PQAE；OC平分AOE.其中，恒成立的有_.（把你认为正确的结论的序号都填上）2. 如图所示，以RtABC的斜边BC为一边在ABC同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB2，则tanAOB的值为_.3. 如图，已知点C为线段BD上一点（不与

3、端点重合），ABCCDE，且ABCCDE90，连接AE，点M为AE的中点，连接MB，MD. 请判断BMD的形状，并说明理由.二、旋转相似将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角满足360且180）并放大（或缩小），再连接对应点后会得到另一组相似三角形. （简述为：旋转相似一拖二）如图，ABCADEABDACE，（可用SAS判定相似）.圆中的旋转相似已知，ABC内接于O，AD是BC边上的高，AE是直径. 求证：. 已知，ABC内接于O，角平分线AD的延长线交O于E. 求证：. 进一步推导，.即若AD是ABC的角平分线，则. （三角形的角平分线长公式）4. 如图，已知AC为正方形ABCD的对角

4、线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90得到线段PE，连接AE，BP，CE.（1）求证：APEABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP的长.5. 如图，在RtABC中，AD平分交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.（1）求证：BC是O的切线；（2）设，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若，求的长.6. 已知锐角的余弦值为，点C在射线BN上，点A在内部，且，过点A的直线D

5、E分别交射线BM，射线BN于点D，E，点F在线段BE上（点F不与点B重合），且. （1）如图1，当AFBN时，求EF的长； （2）如图2，当点E在线段BC上时，设，求y关于x的函数解析式并写出函数的定义域； （3）连接DF，当ADF与ACE相似时，请直接写出BD的长. 图1 图2 备用图三、旋转相似与旋转全等共锐角顶点的两个处于旋转位置的相似三角形组成的图形中，连接对应点后会得到另一组相似三角形；以该公共顶点为等腰三角形的顶角顶点可构造出有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形，从而构造出全等三角形.延长延长CB至P，使BPBC，延长ED至Q，使DQDE，APCAPC，AQE是有公共顶角顶点且

6、顶角相等的两个等腰三角形如图，RtABCRtADE，ABCADE90 连接连接CQ，M为CQ的中点，连接MB，MDMB12MB12PQ，MD12MBMD，APQACE连接PQ，CE 7. 如图，以ABC的AB，AC边为斜边在ABC外部作RtABP和RtACQ，且使ABPACQ，M是BC的中点，连接MP，MQ. 求证：PMQM且PMQ2ABP.8. 已知：等边ABC中，CE平分ACB，D为BC边上一点，且DEDC，连接BE. （1）如图1，若，求BE的长； （2）如图2，取BE中点P，连接AP、PD、AD，求证：且； （3）在（1）的条件下，将CDE绕点C顺时针旋转，如图3，连接BE，取BE中点P，连接AP、AD，当ECAD时，求AP的长. 9. 如图 1，已知等腰RtABC中，E为边AC上一点，过E点作EFAB于F点，以EF为边作正方形EFAG，且AC4，EF2（1）如图1，连接CF，