证明不等式的四个基本技巧

1、文档编码 : CI7R6X4T9Z9 HI3S1R7O7I3 ZT1O6T7A9D1证明不等式的四个基本技巧 2.1 三角换元 如对含平方的根的表达式的积分,如1x dx ,1xy dy ,z21dzz1 cos,选择合适换元可简化不就可接受以下三角换元sin , ytan ,等式；【试题 9】证明对正实数a b c , , ,有：C a22b 22c 229 abbcca 21 【解析】选 A B C ,2 ,接受三角换元a2tanA, b2tanB, c2tan就利用恒等式1tan21改写 21 为：cos 28 tan2A1 tan2B1 tan2C1 18tanAtanBtanBtan

2、CtanCtanA即：4cos2A1Bcos2CsinAsinBcosCcosAsinBsinCsinAcosBsinC9cos2cosAcosBcosC即：4 9cosAcosBcosCsinAsinBcosCcosAsinBsinCsinAcosBsinC 由三角恒等式cosABCcosABcosCsinABsinCBsinCcosAcosBsinAsinBcosCsinAcosBcosAsinBsinCcosAcosBcos CsinAsinBcos CsinAcosBsinCcosAsin即：sinAsinBcos CcosAsinBsinCsinAcosBsinCcosAcosBco

3、sCcosABC将代入式得：设4cosAcosBcosCcosAcosBcosCcosABC229ABC,应用 AMGM 不等式得：3第 1 页cos Acos Bcos CcosAcos Bcos C3fxcosx是上凸函数,故由琴3由于 A B C ,2 ,在 x ,2 对余弦函数生不等式得其函数的均值小于均值的函数；即：cosAcosBcosCcosABCcos3cos 333于是：cosAcosBcos CcosAcosBcos C3将代入22 式：4cos 3cos 3cos39利用三角恒等式：cos34cos33cos3或cos3cos33cos3cos3式变为：4cos3cos3

4、3cos3cos3cos3 cos9于是：4cos3coscoscos41cos227接受 AMGM 不等式：11cos 2cos 21cos 21cos 2cos 21cos 23223223即：cos2cos 21cos 21 ,即：3cos41cos2422327本式当且仅当tanAtanBtanC1,或 abc1时,等号成立；2这就证明白式成立；【试题 10】设 a b c d为正实数,且中意：11411411111abc4d4试证： abcd3 . tanC,d2tanD【解析】接受三角换元,设a2tanA,b2tanB,c2且 A B C D ,2 ,就代数等式变换成三角等式：第

5、2 页112A112B112C112D13 2tantantantan即：cos 2Acos2Bcos2Ccos2D1即：sin2A1cos 2Acos 2Bcos2Ccos2D应用 AMGM 不等式得：2cos 2Bcos 2Ccos 2D3 cosBcos CcosD3由得：sin2A3 cosBcos CcosD2322同理可得：sin2B3 cosCcosDcosA ；sin2C3 cosDcosAcos ；2sin2D3 cosAcosBcos C . 四式相乘得：sin2Asin2Bsin2Csin2D34cos2Acos2Bcos2Ccos 2D即：tan2Atan2Btan2C

6、tan2D34即：a b c d 4 4 443 ,即： abcd3. 证毕；【试题 11】设 x y z , , 为正实数,且 xyzxyz,试证：11x211y211z2【解析】接受三角换元,设xtanA, ytanB, ztanC,且 A B C ,2就代数式变换成三角式：tanAtanBtanCtanAtanBtanC由于 A B C ,2 ,就式中意三角形内角的条件,即：ABC由于11x211y211z 2112A112B112CtantantancosAcosBcos C就待证式变为：cosAcosBcosC3. 2定理 2.1 ：在任何锐角三角形ABC 中,恒有：cosAcosB

7、cosC3232证明 ：由于 f cosx在 0 ,2 区间是向上凸函数,由琴生不等式知：函数的均第 3 页值不大于均值的函数；即：cosAcosBcosCcosABCcos313 2. 332即：cosAcosBcosC证毕；在证明定理 1.5 的注解中,已经说明白琴生不等式,即：对于向下凸出的函数,函数的均值不小于均值的函数；那么,对于向上凸出的函数,函数的均值不大于均值的函数；事实上,函数在 x , 照旧是凸函数,但是是向下凸出的函数；或许有2人认为 2 3 式并不是对全部角成立,可事实上 2 3 式对锐角、直角、钝角三角形都成立；定理 2.2 ：在任意三角形ABC 中,恒有：cosAc

8、osBcosC3sinAsinBB2证明法一 ：由于CAB ,所以：cosCcosABcosAcosBsinAsinB32cosAcosBcosC1sin2Acos 2Asin2Bcos 2B2 cosAcosBcosAcosB1sin2Asin2B2sinAsinBcos 2Acos 2B2cosAcosB2 cosAcossinAsinB21cosAcosB 22 cosAcosBsinAsinB21cosAcosB20即：32cosAcosBcosC0即：cosAcosBcosC3. 证毕；2证明法二 ：设 BCa , CAb, ABc ,用余弦定理重写不等式；b2c2a2c2a2b2a

9、2b2c232bc2ca2ab2去分母得：3abca b2c 2a2b c2a2b 2c a2b 2c2等价于： abcbcacababc与定理 1.2 中的 14 式相同；第 4 页在 Ch.1,我 们 证 明 了 R 2r 等 效 于 代 数 不 等 式abc b c a c a b a b c ；在证明上述定理时,上式有等效于三角不等式cos A cos B cos C 32；有人会问：是否对任意三角形,cos A cos B cos C 与R r之间,存在自然关系？这里 R 与 r 分布代表 ABC 的外接圆半径与内切圆半径；定理 2.3 ：设 R 与 r 分布代表 系：ABC 的外接

10、圆半径与内切圆半径,就恒有以下关cosAcosBcos C1r24R证明 ：由余弦定理得：cosAb2c2a2,cosBc2a2b2,cosCa2b2c22bc2ca2ab上面三式相加并通分得：cosAcosBcosCa3a b22c2a23b c2a2b2c a2b2c22abc1ab2ac2bcba2ba c 2b c 2c32abc由三角形的面积公式得：S1abc rpr,即：rSabc2pS1bcsinA1 2bcaabc；即：R22R4R4S及海伦公式：S2p papb pc由得：11r14S214pa pbpcRpabcabc12 p2a2 p2b2 p2c2abc11bca ca

11、b abc2abc第 5 页1 2abc c 2 a b 2 a b c 2abc1 2abc c 2 a b c a b 2 a b c 2abc1 2abc ac 2 bc 2 c 3 a b 2 a b c a b 22abc1 2abc ac 2 bc 2 c 3 a b a 2 b 2 a c 2 b c 2 2abc 2abc1 ac 2 bc 2 c 3 a 3 ab 2 a b 2 b 3 a c 2 b c 2 2abc对比式得：cos A cos B cos C 1 r . 证毕；R【练习 4】a 设 p q r , , 为正实数,且 p 2 q 2 r 2 2 pqr 1

12、 ,证明：存在这样一个锐角三角形 ABC ,中意：p cos A,q cos B, r cos C . b 设 p q r 0,且 p 2 q 2 r 2 2 pqr 1 ,证明：当 p cos A,q cos B,r cos C,且 A B C 时, A B C , . 2【 试 题 12 】 设 a b c 为 非 负 实 数 , 且 a 2 b 2 c 2 abc 4 , 证 明 ：0 ab bc ca abc 2 . 【 解 析 】 注 意 到 a b c 1 才 能 保 证 a 2 b 2 c 2 abc 4 , 如 a 1 , 就ab bc ca abc bc abc 1 a bc

13、 0,我们现在证明 ab bc ca abc 2. 设：a 2 p, b 2q , c 2r ,代入 a 2 b 2 c 2 abc 4 得到：p 2 q 2 r 2 2 pqr 1 依据上面的练习题,我们设：a 2 cos A, b 2 cos B, c 2 cos C,当A B C , ,且 A B C 时,我们需要证明：2cos A cos B cos B cos C cos C cos A 2 cos A cos B cos C 1 2我们可以假设 A 3,或 1 2 cos A 0请留意：cos A cos B cos B cos C cos C cos A 2 cos A cos B cos C第 6 页cosAcosBcosCcosBcosC 12cosABC3 2cosA由琴生不等式得：cosAcosBcosC3,即：coscos2并留意： 2cosBcos CcosBCcosBC1cosBC1cosA将代入得：cosA