2021课标版理数高考总复习专题专题十三推理与证明（讲解练）理科数学教学讲练

1、专题十三推理与证明高考理数考点一合情推理与演绎推理考点清单考向基础 考向突破考向合情推理与演绎推理例(2018山东淄博部分学校摸底考试,10)聊斋志异中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2=,3=,4=,5=,则按照以上规律,若8=具有“穿墙术”,则n=()A.35B.48C.63D.80解析根据规律得3=13,8=24,15=35,24=46,所以n=79=63,选C.答案C考点二直接证明与间接证明考向基础1.直接证明 综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证

2、,最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因框图表示PQ1Q1Q2QnQQP1P1P2得到一个明显成立的条件文字语言因为所以或由得要证只需证即证反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法.2.间接证明考向突破考向一直接证明例1已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2.证明x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz,2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz,3x2+3

3、y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2,x+y+z=1,(x+y+z)2=1,3(x2+y2+z2)1,即x2+y2+z2.考向二间接证明例2(2019河北衡水第十三中学模拟,18)已知ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,三边互不相等,且满足b2ac.(1)比较与的大小,并证明你的结论;(2)求证:B不可能是钝角.解析(1)结论:.证明如下:要证,只需证0,则只需证b2ac.因为b2ac是已知条件,所以.(2)证明:假设B是钝角,则cos B0,这与cos B0矛盾,故假设不成立.所以B不可能是钝角.考点三数学归纳法考向基础一

4、般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n=n0(n0N*)时,命题成立.(2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时,命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.注意:(1)两个步骤缺一不可.(2)初始值n0不一定是1.(3)证明当n=k+1时命题成立一定会用到归纳假设(即假设n=k(kn0,kN*)时命题成立).解题时要特别注意从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了哪些项.考向突破考向数学归纳法例(2019辽宁抚顺第十中学期中,21)已知

5、数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(nN*).(1)试求S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;(2)证明你的猜想.解析(1)a1=1,Sn=n2an(nN*),S1=a1=1,S2=1+a2=4a2a2=,S2=S1+a2=1+=.S3=S2+a3=9a3a3=,S3=S2+a3=+=.S4=S3+a4=16a4a4=,S4=S3+a4=+=.猜测:Sn=.(2)用数学归纳法证明如下:当n=1时,S1=1,猜测显然正确.假设当n=k(k1,kN*)时,Sk=.由Sk=k2ak可得=k2ak,ak=.当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=(k+1)2ak+1+ak+1

6、=(k+1)2ak+1ak+1=,Sk+1=Sk+ak+1=+=.当n=k+1时,猜测也是正确的.由知,对一切n(nN*)都有Sn=.方法归纳推理与类比推理的应用1.归纳推理的一般步骤2.类比推理的一般步骤 方法技巧例(1)(2018湖北孝感模拟,7)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V=r3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8r3,则其四维测度W=()A.2r4B.3r4C.4r4D.6r4(2)德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形,单位分数是分子为1,分母为正整数的分数,根据前6行的规律,第7行的第3个数是.解析(1)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2,(r2)=2r,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V=r3,=4r2,四维空间中,“超球”的三维测