2022高考数学（理）一轮通用版讲义：8.1.1系统题型-空间几何体的表面积、体积

1、PAGE26第2课时系统题型空间几何体的表面积、体积一、学前明考情考什么、怎么考eqavs4al真题尝试avs4al考查三视图的判断2022全国卷中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是解析：选A由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选Aavs4al考查与球有关的组合体问题2022全国卷设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9eqr3，则三棱锥DABC体积的最大值为A12eqr3B

2、18eqr3C24eqr3D54eqr3解析：选B由等边ABC的面积为9eqr3，可得eqfr3,4AB29eqr3，所以AB6，所以等边ABC的外接圆的半径为reqfr3,3AB2eqr3设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，则deqrR2r2eqr1612ABC高的最大值为246，所以三棱锥DABC体积的最大值为eqf1,39eqr3618eqr3avs4al考查圆锥的侧面积求法2022全国卷已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eqf7,8，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5eqr15，则该圆锥的侧面积为_解析：如图，SA与底面成45角，SAO为

3、等腰直角三角形设OAr，则SOr，SASBeqr2r在SAB中，cosASBeqf7,8，sinASBeqfr15,8，SSABeqf1,2SASBsinASBeqf1,2eqr2r2eqfr15,85eqr15，解得r2eqr10，SAeqr2r4eqr5，即母线长l4eqr5，S圆锥侧rl2eqr104eqr540eqr2答案：40eqr2eqavs4al把握考情常规角度1几何体的三视图重点考查由几何体三视图识别几何体2求几何体的体积重点考查规则几何体与组合体的体积的求解及由三视图得到的几何体的体积的求解3求几何体的表面积重点考查组合体的表面积的求解以选择题或填空题的形式考查，属于中档题目

4、创新角度常将球与多面体、旋转体结合，涉及最值问题交汇考查，也常与数学文化结合二、课堂研题型怎么办、提知能空间几何体的三视图eqavs4al典例感悟12022贵州黔东南州一模若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是解析：选D选项A的正视图、俯视图不符合要求，选项B的正视图、侧视图不符合要求，选项C的俯视图不符合要求，通过观察，选项D满足要求，故选D2将正方体截去三个三棱锥后，得到如图所示的几何体，侧视图的视线方向如图所示，则该几何体的侧视图为解析：选D如图，点A，B，C，E在右侧面的投影为正方形，CA在右侧面的投影为斜向下的正方形对角线，DE在右侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为

5、不可见轮廓线故选D3把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，形成的三棱锥CABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为f1,2fr2,2f1,4fr2,4解析：选C取BD的中点E，连接CE，AE，则CEDB平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，CE平面ABD，CEAE，CEA的形状是三棱锥CABD的侧视图DABDCB90，且BDeqr2，CEAEeqfr2,2CEA的面积Seqf1,2eqfr2,2eqfr2,2eqf1,4故选Ceqavs4al方法技巧有关三视图问题的解题方法1由几何体的直观图画三视图需注意的事项注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察

6、方向；注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征2由几何体的部分视图画出剩余视图的方法先根据已知的部分视图推测直观图的可能形式，然后推测其剩余视图的可能情形，若为选择题，也可以逐项检验3由几何体三视图还原其直观图时应注意的问题要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图空间几何体的表面积与体积考法一空间几何体的表面积问题例112022合肥质检已知圆锥的高为3，底面半径为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为A5Beqr5C9D322022甘肃兰州部分校联考某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A9e

7、qr5B92eqr5C10eqr5D102eqr5解析1圆锥的底面半径r4，高h3，圆锥的母线l5，圆锥的侧面积Srl20，设球的半径为R，则4R220，Reqr5，故选B2由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半故该几何体的表面积S1242eqr22129eqr5答案1B2A方法技巧求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的

8、表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积考法二空间几何体的体积问题例212022河北第二次质检九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是A50B75CD22022全国卷已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_解析1由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥所得的，且直三棱柱

9、的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5如图，图中几何体ABCC1MN为剩余部分，因为AM2，B1C1平面MNB1A1，所以剩余部分的体积VV三棱柱V四棱锥eqf1,2555eqf1,3355，故选D2在RtSAB中，SASB，SSABeqf1,2SA28，解得SA，底面半径为r，高为h，在RtSAO中，SAO30，所以r2eqr3，h2，所以圆锥的体积为eqf1,3r2heqf1,32eqr3228答案1D28方法技巧求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体若所给定的几何

10、体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解三视图形式若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解eqavs4al集训冲关avs4al考法一某几何体三视图如图所示，则此几何体的表面积为A416B2eqr2216C48D2eqr228解析：选B由三视图知，该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为eqr2、高为1的圆柱的组合体，其表面积S表5222eqr212eqr22222eqr22avs4al考法二平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为eqr2，则此球的体积为r6B4eqr3C4eqr6D6eqr3

11、解析：选B设球的半径为R，由球的截面性质得Reqrr2212eqr3，所以球的体积Veqf4,3R34eqr3与球有关的切接问题与球有关的组合体问题常涉及内切和外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体时，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体时，正方体的各个顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与其他旋转体组合时，通常作它们的轴截面解题；球与多面体组合时，通常过多面体的一条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图进行解题考法一与球有关的内切问题例112022嘉兴模拟若圆锥的内切球与外接球的球

12、心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_2若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eqfS1,S2_解析1过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面ABC及其内切圆O1和外接圆O2，且两圆同圆心，即ABC的内心与外心重合，易得ABC为正三角形，由题意知O1的半径r1，ABC的边长为2eqr3，圆锥的底面半径为eqr3，高为3，Veqf1,3eqr32332设正四面体的棱长为a，则正四面体表面积为S14eqfr3,4a2eqr3a2，其内切球半径为正四面体高的eqf1,4，即reqf1,4eqfr6,3aeqfr6,12a，因此内切球表面积为S24r2eqfa2,6，则eqfS1,S2e

13、qfr3a2,f,6a2eqf6r3,答案132eqf6r3,方法技巧处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作考法二与球有关的外接问题例22022昆明适应性检测一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为A25B50C100D200解析由三视图知，该四棱柱为长方体，长方体的体对角线为球的直径，设球的半径为R，则2Reqr324252，解得Reqf5r2,2，所以该球的表面积S4R250，故选B答案B例32022衡水中学模拟四棱锥eqf1,2AA16，所以球O的半径

14、ROAeqrblcrcavs4alco1f5,2262eqf13,23eqavs4al考法二已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB2，SASBSC2，则三棱锥SABC的外接球的球心到平面ABC的距离是Aeqfr3,3B1Ceqr3Deqf3r3,2解析：选A三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SASBSC2，S在底面ABC内的射影为AB的中点，设AB的中点为H，连接SH，CH，SH平面ABC，SH上任意一点到A，B，C的距离相等，易知SHeqr3，CH1，RtSHC中HSC30在面SHC内作SC的垂直平分线MO，交SH于点O，交SC于点M，则O为三棱锥SA

15、BC的外接球的球心SC2，SM1，又OSM30，SOeqf2r3,3，OHeqfr3,3，球心O到平面ABC的距离为eqfr3,3，故选A课时跟踪检测A级保分题准做快做达标1如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为解析：选D由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱故选D22022长春质监九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1，那么该刍甍的体积为A4B5C6D12解析：选B如图，由三视图可还原得到几何体ABCD

16、EF，过E，F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN，可将原几何体切割成三棱柱EHGFNM，四棱锥EADHG和四棱锥FMBCN，易知三棱柱的体积为eqf1,23123，两个四棱锥的体积相同，都为eqf1,31311，则该刍甍的体积为31132022辽宁五校协作体模考一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A36B48C64D72解析：选B由几何体的三视图可得几何体，如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为eqf1,2344eqf1,234448，故选B42022武汉调研一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A28B242eqr5C204e

17、qr5D202eqr5解析：选B如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIEDCMH，则该几何体的表面积S225eqblcrcavs4alco1f1,2122212eqr5242eqr5故选B52022全国卷在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为A8B6eqr2C8eqr2D8eqr3解析：选C如图，连接AC1，BC1，ACAB平面BB1C1C，AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，AC1B30又ABBC2，在RtABC1中，AC1eqf2,sin304在RtACC1中

18、，CC1eqrACoal2,1AC2eqr4222222eqr2，V长方体ABBCCC1222eqr28eqr262022达州模拟如图，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后的三视图均为图所示，且平面A1BC1截得小球的截面面积为eqf2,3，则该小球的体积为f,6f4,3f32,3f8r2,3解析：选B设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1截正方体，得边长为2eqr2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为A1BC1三边的中点，则所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积如图，设A1BC1的内切圆的圆心为O，A1C1的中点为M，则由图得OA1M30，A1

19、Meqr2a，A1BC1的内切圆的半径OMeqr2atan30eqfr6,3a则所求的截面圆的面积是eqfr6,3aeqfr6,3aeqf2,3a2eqf2,3，解得a球eqf4,313eqf4,3故选B72022黄山模拟如图，直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_解析：根据题意可知，该几何体的上半部分为圆锥底面半径为1，高为1，下半部分为圆柱底面半径为1，高为1，如图所示，则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和，即表面积为1eqr121221212eqr23答案：eqr238202

20、2广州一测已知三棱锥PABC的底面ABC是等腰三角形，ABAC，PA底面ABC，PAAB1，则这个三棱锥内切球的半径为_解析：如图所示，依题意可得SABCeqf1,211eqf1,2，SPABeqf1,211eqf1,2，SPACeqf1,211eqf1,2，SPBCeqf1,2eqr2eqr2sin60eqfr3,2设这个三棱锥内切球的半径为r，则有VPABCeqf1,3SABCPAeqf1,3SPABSPACSABCSPBCr，得到eqf1,3eqf1,21eqf1,3eqblcrcavs4alco1f1,2f1,2f1,2fr3,2r，解得reqf3r3,6答案：eqf3r3,69202

21、2沈阳模拟棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1，则该四面体的棱长为_解析：将棱长均相等的四面体ABCD补成正方体，设正方体的棱长为a，则正四面体ABCD的棱长为eqr2a，正方体的体对角线长为eqr3a，由eqr3a2aeqf2r3,3，则eqr2aeqf2r6,3答案：eqf2r6,310一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eqr3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形1求该几何体的体积V；2求该几何体的表面积S解：1由三视图可知，该几何体是一个平行六面体如图，其底面是边长为1的正方形，高为eqr3所以V11eqr3eqr32由

22、三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形S2111eqr31262eqr311一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为eqr15，求这个三棱锥的体积解：正三棱锥SABC如图所示，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高连接AH并延长交BC于点E，则E为BC的中点，且AEBCABC是边长为6的正三角形，AEeqfr3,263eqr3，AHeqf2,3AE2eqr3在ABC中，SABCeqf1,2BCAEeqf1,263eqr39eqr3在RtSHA中，SAeqr15，AH2eqr3，SHeqr

23、SA2AH2eqr1512eqr3，V正三棱锥eqf1,3SABCSHeqf1,39eqr3eqr3912如图，一个圆锥的底面半径为2，高为4，在其中有一个高为的内接圆柱1求圆柱的侧面积；2当为何值时，圆柱的侧面积最大？解：1如图，设内接圆柱底面半径为圆柱侧2reqfr,2eqf4,4，reqf1,24代入，S圆柱侧2eqf1,2424042S圆柱侧24224，2时，S圆柱侧最大4B级难度题适情自主选做12022衡水一模某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是f31,6f31,8f481,64f31r31,48

24、解析：选C由三视图可知，几何体是一个六棱锥PABCDEF，其底面ABCDEF是边长为1的正六边形，侧面PAF是底边上的高为2的等腰三角形，且侧面PAF，半径为R，O到底面的距离为h底面正六边形外接圆半径为1，1h22h2eqblcrcavs4alco1fr3,22，解得heqf15,16，R21h2eqf481,256，六棱锥PABCDEF的外接球的表面积为4eqf481,256eqf481,64故选C2已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB120，当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱锥OABC的体积为fr3,2f2r3,3f2,3f1,3解析：选B设球O的半径为R，因为SAOCSBOCeqf1,2R2sinAOCsinBOC，所以当AOCBOC90时，SAOCSBOC取得最大值，此时OAOC，OBOC，又OBOAO，OA平面AOB，OB平面AOB，所以OC平面AOB，由题意知R2，所以V三棱锥OABCV三棱锥COABeqf1,3OCeqf1,2OAOBsinAOBeqf1,6R3sinAOBeq