高等数学D第6章定积分-课件

1、 定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分.思想方法.1 定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、第六章 定积分6.1 定积分的概念与性质6.2 定积分的几何意义 6.3 定积分的性质6.4 微积分基本公式6.5 定积分的换元积分法概与分部积分法6.6 无穷限广义积分 6.7 定积分的应用 2第六章 定积分6.1 定积分的概念与性质6.2 定积分6.1 定积分的概念两个典型的例子定积分的定义36.1 定积分的概念两个典型的例子定积分的定义31.曲边梯形的面积求由连续曲线一、两个典型的例子41

2、.曲边梯形的面积求由连续曲线一、两个典型的例子4用小矩形面积的和梯形面积（五个小矩形）（十个小矩形）基本思想显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边近似取代曲边梯形面积5用小矩形面积的和梯形面积（五个小矩形）（十个小矩形）基本思 采取下列四个步骤来求面积A.(1) 分割(2) 取近似长度为为高的小矩形面积近似代替,iADnixfAiiiL,2,1,)(=DDx有6 采取下列四个步骤来求面积A.(1) 分割(2) 取近(3) 求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值.(4) 求极限为了得到A的精确值,取极限,形的面积:分割无限加细,极限值就是曲边梯面积A就是一个和式的极限！7(3) 求和

3、这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值.2.求变速直线运动的路程思路把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值，设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.进一步如上例求极限.82.求变速直线运动的路程思路把整段时间分割成若干小段,每小段(1) 分割(3) 求和(4) 取极限路程的精确值(2) 取近似表示在时间区间内走过的路程.某时刻的速度路程s同样是一个和式的极限！在任取一点9(1) 分割(3) 求和(4) 取极限路程的精确值(2路程问题：面积问题：上两例共同点:1) 所求量均由一个函数和所在区

4、间所决定；以速度 做直线运动的物体在 的路程2) 方法一样(分割取近似求和取极限)；3) 结果形式一样(和式的极限).10路程问题：面积问题：上两例共同点:1) 所求量均由一个函数和在各小区间上任取在a,b中任意插入二、定积分的定义设函数f (x)在a,b上有界,1.定义若干个分点把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为一点作乘积并作和记如果不论对11在各小区间上任取在a,b中任意插入二、定积分的定义设函数被积函数被积表达式记为怎样的分法,也不论在小区间上点怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分.积分下限积分上限积分变量a,b积分区间1

5、2被积函数被积表达式记为怎样的分法,也不论在小区间上点怎样的取和上、下限, (1)定积分是一个数值,定积分数值只依赖于被积函数注而与积分变量的记号无关.(2)对定积分的补充规定:13和上、下限, (1)定积分是一个数值,定积分数值只依赖于被积结论1结论22. 可积函数类可积.且只有有限个间可积.当函数的定积分存在时,可积.断点,？哪些函数是可积的呢？14结论1结论22. 可积函数类可积.且只有有限个间可积.当函数解例 用定义计算小区间的长度取nin115解例 用定义计算小区间的长度取nin11516166.2 定积分的几何意义 在问题1中，曲边梯形的面积为（1）如果函数在上连续，且0，在几何上

6、就表示由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积.那么176.2 定积分的几何意义 在问题1中，曲边梯形的面积为（1在（2）如果上连续且，则由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积为：这就是说，当时，等于曲边梯形的面积的相反数.xyy=f (x)o定积分18在（2）如果上连续且，则由曲线与直线所围成的曲边梯形的面在上连续，且有时取正值，则有（3）如果有时取负值,19在上连续，且有时取正值，则有（3）如果有时取负值,19例解oxy20例解oxy206.3 定积分的性质在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小性质1性质2(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1和性质2称为线性性质.

7、216.3 定积分的性质在下面的性质中, 假定定积分都存在,性质3 定积分的可加性对于任意三个数总有. a o c b xy=f (x) A2A1y a o b c xy=f (x) A2A1y在左图中：在右图中：所以22性质3 定积分的可加性对于任意三个数总有. a 性质4性质5如果在则推论如果在则证于是23性质4性质5如果在则推论如果在则证于是23解令于是比较积分值和的大小.例24解令于是比较积分值和的大小.例24证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6 估值不等式分别是函数最大值及最小值.则25证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6 估值不等式分解估计积分例26解估计积分例26

8、解估计积分例27解估计积分例27证由闭区间上连续函数的介值定理:性质7(定积分中值定理）如果函数在闭区间连续,则在积分区间至少存在一点 使下式成立:积分中值公式至少存在一点 使即28证由闭区间上连续函数的介值定理:性质7(定积分中值定理）如果积分中值公式的几何解释至少存在一点 在区间使得以区间为底边,以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积.29积分中值公式的几何解释至少存在一点 在区间使得以区间为底边,定理用途 注性质7(定积分中值定理）如果函数在闭区间连续,则在积分区间至少存在一点 使下式成立:连续函数的平均值公式如何去掉积分号来表示积分值.通常称30定理用途 注性质

9、7(定积分中值定理）如果函数在闭区间连续,则比如以速度 做直线运动的物体在曲边梯形的平均高度的路程为则在这段时间内的平均速度为可以看作31比如以速度 做直线运动的物体在曲边例 平均气温表示某地点一昼夜中任意时刻t的气温，那么平均气温是多少？如果每一小时测量一次气温,所有测得的温度值相加除如果半小时测量一次，以24,可以得到一昼夜每小时的平均气温. 气温是连续变化的，气温自动记录仪记录的是一条连续变化的曲线气温曲线（连续曲线）下的面积除以区间长度24，即就是一昼夜的平均气温.如果用这样得到的平均气温代表性更好，32例 平均气温表示某地点一昼夜中任意时刻t的气温，那么平均气温例变速直线运动中路程为

10、另一方面这段路程可表示为设某物体作直线运动,已知速度的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔一、问题的提出其中6.4 微积分基本公式33例变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为设某物体作直线启示问题这种方法有没有一般性呢？计算定积分 的方法：求v(t)的一个原函数s(t)， s(t)的增量就是定积分34启示问题这种方法有没有一般性呢？计算定积分 根据定积分的几何意义，二、积分上限函数及其导数曲边梯形的面积为在a,b上取点x,形成的小曲边梯形面积为关于定积分的几点说明：（定积分）35根据定积分的几何意义，二、积分上限函数及其导数曲边梯形的面积 注一定要分清函数的（3）如果

11、上限 x 在区间a,b上任意变动,则对于每一个取定的x值,所以它在a,b上定义了一个函数,与自变量x积分变量t.称为积分上限函数.有一个对应值,定积分36 注一定要分清函数的（3）如果上限 x 在区间a,b上任证定理6.1 因为其导数为37证定理6.1 因为其导数为37 积分中值定理故38 积分中值定理故38 定理6.1指出:积分联结为一个有机的整体连续函数一定有原函数.(2) 积分运算和微分运算的关系,它把微分和所以称它是微积分学基本定理. 微积分,(1) 连续函数f(x)取变上限的定积分再求导，还原为函数f(x)本身.就是f(x)的一个原函数，这就证明了93页(定理5.1）的原函数存在定理

12、：39 定理6.1指出:积分联结为一个有机的整体连续函数一定有原函例 解练习40例 解练习40例 解一般的41例 解一般的41例 解42例 解42例 求极限 这是 型不定式,分析应用洛必达法则解43例 求极限 这是 型不定式,分析应用洛必达法则解4练习解这是 型不定式,分析应用洛必达法则44练习解这是 型不定式,分析应用洛必达法则44定理6.2（牛顿-莱布尼茨公式）证牛顿(英)16421727 莱布尼茨(德)16461716如果是连续函数的一个原函数,则都是f(x)在a,b因为上的原函数,故有C是待定常数,即有三、牛顿莱布尼茨公式)(aFC-=45定理6.2（牛顿-莱布尼茨公式）证牛顿(英)1

13、642172牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式微积分基本公式特别,注仍成立.46牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式微积分基微积分基本公式表明求定积分问题转化为求一个原函数的问题，一个连续函数在区间a, b上的定积分等于它的任意一个原函数在区间a, b上的增量.基本公式将定积分和不定积分联系在一起.即求不定积分问题.47微积分基本公式表明求定积分问题转化为求一个原函数的问题，一个例 计算 因为解是x2 的一个原函数所以例 48例 计算 因为解是x2 的一个原函数所以例 例例49例例49例50例50例 计算解：.51例 计算解：.51 上一节的牛莱公式将定积分的计算

14、的形式,而不定积分可用换元法和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了.归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分常可使得计算更简单.一般计算定积分，可以采取以下步骤：先计算相应的不定积分，得到一个原函数，再计算原函数在积分区间上的增量.6.5定积分的换元与分部积分法52 上一节的牛莱公式将定积分的计算的形式,而不定积分可用换元定理6.3则有定积分换元公式假设函数1、定积分的换元法函数满足条件:(1) (2) 单调且具有连续导数,;)(,)(ba=bjaj)(txj=53定理6.3则有定积分换元公式假设函数1、定积分的换元法函数满注由于积分限做了相应的故积出来的原

15、函数不必回代;将原变量x换为新变量t时，x的积分限也必须(1)换元公式仍成立;(3)在定积分换元公式中,改变,(2)变为t 的积分限.(4) 变量代换的选择原则与不定积分的换元法相同.54注由于积分限做了相应的故积出来的原函数不必回代;将原变量x换例 解原式这是半径为a的四分之一的圆的面积.55例 解原式这是半径为a的四分之一的圆的面积.55例 计算解：则当时，当时，.()；，令56例 计算解：则当时，当时，.()；，令56例 解因为原式=57例 解因为原式=57(1)被积函数如果带有绝对值,去绝对值时 一定要注意取值.注 (2)可以不写出换元函数，注意如果不写出新的变量 t ,定积分的上、下

16、限就不要变.58(1)被积函数如果带有绝对值,去绝对值时 一定要注意取值.注例 证由于则-+= a a a xxfxfxxf 0d)()(d)(59例 证由于则-+= a a a 可得: 由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有则则 -+= a a axxfxfxxf 0d)()(d)(由 -a o ay=f (x)yx -a o a x y=f(x)60可得: 由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得例 (1) =+=(2) =(3)61例 (1) =+=(2) =(3)61周期函数的定积分公式这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都

17、相等.例62周期函数的定积分公式这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期定积分的分部积分公式2、定积分的分部积分法设有连续的导数,则定理 6.4由不定积分的分部积分法及N-L公式可得上述公式.63定积分的分部积分公式2、定积分的分部积分法设有连续的导数,则例解64例解64例 求解65例 求解65例 求解注意循环形式66例 求解注意循环形式66解先用换元法.令不同的计算方法要灵活运用注练习67解先用换元法.令不同的计算方法要灵活运用注练习67还可利用定积分积分表中的定积分公式计算.n为正偶数n为大于1的正奇数=xxxxdcosdsin207207pp109求定积分的方法: 利用定义 , 几何意义

18、 , 牛莱公式,68还可利用定积分积分表中的定积分公式计算.n为正偶数n为大于1定积分积分区间有限被积函数有界积分区间无限被积函数无界推广定积分的极限广义积分6.6 无穷限的反常积分69定积分积分区间有限被积函数有界积分区间无限被积函数无界推广定引例:当tyo1x由于图形是开口的，所以不能直接用定积分计算其面积任取 t1,则在区间1,t上的曲边梯形的面积为曲边梯形面积的极限就理解为“开口曲边梯形”的面积70引例:当tyo1x由于图形是开口的，所以不能直任取 t1, 定义6.2 即这时也称广义积分如果上述极限不存在,称广义积分如果极限存在,则称这个极限值无穷限广义积分收敛;发散.上的在为),)(

19、+axf(简称广义积分)思考题：71 定义6.2 即这时也称广义积分如果上述极限不存在,称广义如果广义积分和都收敛,则称上述两广义积分之和为函数这时称广义积分上的广义积分,即收敛;记作发散.否则称广义积分,d)(+-xxf)(xf+-xxfd)(+-xxfd)(72如果广义积分和都收敛,则称上述两广义积分之和为函数这时称广义例 计算广义积分解通常把73例 计算广义积分解通常把73对广义积分可用如下的简记法使用N-L公式,bbxFxxf-=)(d)(74对广义积分可用如下的简记法使用N-L公式,bbxFxxf上例 广义积分75上例 广义积分75所以无论是否收敛，广义积分例 判断广义积分 的敛散性

20、 解发散.76所以无论是否收敛，广义积分例 判断广义积分 例 讨论广义积分当时，当时，因此，的敛散性收敛, 当时，发散.解时，当其值为77例 讨论广义积分当时，当时，因此，的敛散性收敛, 当时，发 定积分在几何学、物理学、经济学、生物学等领域有着广泛的应用，较为简单的是根据给定的导函数求原函数的问题，较为复杂的是通过分析才能得到被积式，然后利用定积分求得问题的解，其中主要的方法是“微元法”.6.7 定积分的应用 78 定积分在几何学、物理学、经济学、生物学等6.7 采取下列四个步骤来求面积A.(1) 分割(2) 取近似(3) 求和(4) 求极限回忆：曲边梯形的面积nixfAiiiL,2,1,)

21、(=DDx有1、微元法有了N-L公式后, 这个复杂的极限运算问题得到了解决.79 采取下列四个步骤来求面积A.(1) 分割(2) 取近究竟哪些量可用定积分来计算呢. 结合曲边梯形面积的计算?可知,用定积分计算的量应具有如下及定积分的定义许多部分区间,(即把a, b分成几个特点:(1) 所求量I 即与a, b有关;(2) I 在a, b上具有可加性.则I 相应地分成许多部分量,而I 等于所有部分量之和)(3)部分量 可以表示为80究竟哪些量可用定积分来计算呢. 结合曲边梯形面积的计算?可知对于能用定积分计算的应用问题，关键在于如何写出被积表达式.是所求量 I 的微分于是, 称为量 I 的微元或元

22、素.比如，在面积问题中，就称为面积元素.81对于能用定积分计算的应用问题，关键在于如何写出被积表达式.是微元法计算量I的步骤：(1) 根据实际问题选取坐标系和积分变量，比如x，并确定其范围a,b一、元素法(微元法).求出上取微元区间在,d,xxxba+)(2也是它的的近似值上部分量(d,IxxxD+即的微元,d)()xxf.d)(xxfID在 上对微元积分，得到结果6.7 定积分的应用82微元法计算量I的步骤：(1) 根据实际问题选取坐标系和积分变这个小区间上所对应的小曲边梯形面积面积元素得1. 曲边梯形面积的积分式也可以用元素法 建立如下.地等于长为f(x)、宽为dx 的小矩形面积,故有近似上任取一小区间在,ba,d,xxx+83这个小区间上所对应的小曲边梯形面积面积元素得1. 曲边梯形面求这两条曲线及直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应即小区间微元法：2、平面图形的面积84求这两条曲线及直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对例