2021年湖南省郴州市资兴宇字学校高二数学理期末试卷含解析

2021年湖南省郴州市资兴宇字学校高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（

）A.

B.C.AB与CD所成的角为 D.AB与CD相交参考答案：C略2.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆的半径，则椭圆的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,可得，长轴长等于圆，即的半径，a=2，则b=1，所求椭圆方程为：.

3.当在上变化时，导函数的符号变化如下表：1（1，4）4－0+0－则函数的图象的大致形状为（）

参考答案：C

4.若，且，则角是（

）.第一象限

.第二象限

.第三象限

.第四象限参考答案：C5.某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大哩，原来这句话的等价命题是（）A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们就不幸福参考答案：D【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】该题考查的是逆否命题的定义，也就是在选项中找到该命题逆否命题．由：“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品，结合逆否命题的定义，我们不难得到结论．【解答】解：“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品它的逆否命题为：如果这个没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的即“不拥有的人们就不幸福”故选D6.若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离为2，则k等于（）

A．1B.4C.6D.8参考答案：解析：双曲线标准方程为∴

∴双曲线的焦点到相应准线的距离∴由题设得

∴应选C.7.在直三棱柱A1B1C1—ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取范围为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A

解析：建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，，（）.所以，.因为，所以，由此推出.又，，从而有8.已知，是的导数，若的展开式中的系数大于的展开式中的系数，则的取值范围是(

)：A．或

B．

C．

D．或参考答案：A9.映射f：A→B，如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象，则称为“满射”.已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为（）A．24 B．6

C．36

D．72

参考答案：解析：C集合A中必须有两个元素和B中的一个元素对应，A中剩下的两个元素和B中的其余元素相对应，故应为10.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于()A. B. C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是等腰直角三角形,正视图是直角三角形,俯视图是直角梯形,则此几何体的体积为

参考答案：略12.“”，是“方程表示焦点在Y轴上的双曲线”的____________条件。(用充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也非必要填空)参考答案：必要不充分

略13.在同一平面直角坐标系中，直线x﹣2y=2变成直线2x′﹣y′=4的伸缩变换是

．参考答案：【考点】O7：伸缩变换．【分析】将直线x﹣2y=2变成直线2x′﹣y′=4即直线x′﹣y′=2，横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍，故有是．【解答】解：直线2x′﹣y′=4即直线x′﹣y′=2．将直线x﹣2y=2变成直线2x′﹣y′=4即直线x′﹣y′=2，故变换时横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍，即有伸缩变换是．故答案为：．14.已知，且，则c的值为________．参考答案：15.数列的通项公式为，则等于_______.参考答案：-20016.大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取2次，则摸取的2个球均为白色球的概率是_______.参考答案：17.设椭圆E：+=1（a>b），A、B是长轴的端点，C为短轴的一个端点，F1、F2是焦点，记∠ACB=α，∠F1CF2=β，若α=2β，则椭圆E的离心率e应当满足的方程是

。参考答案：2e3–2e2–2e+1=0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.建造一个容积为24m3，深为2m，宽为3m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m3，池壁的造价为80元/m3，求水池的总造价．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】求出水池的长，可得底面积与侧面积，利用池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，即可求水池的总造价．【解答】解：分别设长、宽、高为am，bm，hm；水池的总造价为y元，则V=abh=24，h=2，b=3，∴a=4m，∴S底=4×3=12m2，S侧=2×（3+4）×2=28m2，∴y=120×12+80×28=3680元．答：水池的总造价为3680元．19.（本题满分16分）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内．（１）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（３）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？参考答案：（1）（种）（2）（种）（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：种∴满足条件的放法数为：1+10+20=31（种）20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率一次为k1、k2，满足4k=k1+k2．（i）当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii）求△OPQ面积的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，利用待定系数法能求出椭圆方程．（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、斜率性质，结合已知条件推导出当k变化时，m2是定值．②利用椭圆弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，∴椭圆方程为+=1，把点（，）代入，得k2=1，∴椭圆方程为+y2=1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，∴4k=k1+k2==，∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得m2=，验证△＞0成立．∴当k变化时，m2是定值．②S△OPQ=|x1﹣x2|?|m|=，令=t＞1，得S△OPQ==＜1，∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查实数值是否为实数的判断与证明，考查三角形面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、斜率性质的合理运用．21.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（1）求椭圆的方程；（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，，求当内切圆的面积最大时内切圆圆心的坐标；（3）若直线：与椭圆交于、两点，证明直线与的交点在直线上．参考答案：（1）设椭圆方程为，将、、代入椭圆E的方程，得，解得，．∴椭圆的方程． 故内切圆圆心的坐标为．

（3）解法一：将直线代入椭圆的方程并整理得．设直线与椭圆的交点，．由韦达定理得，．直线的方程为，它与