以圆为载体的几何综合探究问题-2022年中考数学压轴题（原卷）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题21以圆为载体的几何综合探究问题

1．（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．2．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．（1）若m＝3．①求证：∠OAD＝60°；②求的值；（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．3．（2021·广西来宾·中考真题）如图，已知，是的直径，，与的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．（1）求证：是的切线；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值．4．（2021·湖南株洲·中考真题）如图所示，是的直径，点、是上不同的两点，直线交线段于点，交过点的直线于点，若，且．（1）求证：直线是的切线；（2）连接、、、，若．①求证：；②过点作，交线段于点，点为线段的中点，若，求线段的长度．5．（2021·四川宜宾·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．1．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于点F，连接BD，BC，CF，(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)求证：△BOD∽△EOB；(3)设△BOD的面积为S1，△BCF的面积为S2，若tan∠ODB＝，求的值．

2．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．(1)求证：直线DF是⊙O的切线；(2)若BC＝8，求CF•AC的值；(3)若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为_____．3．（2021·广东龙门·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．(1)求证：BC是圆O的切线；(2)求证：AD2＝AF•AB；(3)若BE＝16，sinB，求AD的长．4．（2021·广东罗湖·一模）已知⊙O的直径AB＝6，点C是⊙O上一个动点，D是弦AC的中点，连接BD．(1)如图1，过点C作⊙O的切线交直径AB的延长线于点E，且tanE＝；①BE＝；②求证：∠CDB＝45°；(2)如图2，F是弧AB的中点，且C、F分别位于直径AB的两侧，连接DF、BF．在点C运动过程中，当△BDF是等腰三角形时，求AC的长．5．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）（1）如图①，在△ABC中，，AB=4，AC=3，若AD平分∠BAC交于点，那么点到的距离为．（2）如图②，四边形内接于，为直径，点B是半圆的三等分点（弧弧），连接，若平分，且，求四边形的面积．（3）如图③，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，其中一块圆形场地圆O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD满足∠ABC=60°，AB=AD，且AD+DC=10（其中），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．6．（2021·广东·惠州一中一模）如图，内接于，，为直径，与相交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，连接．（1）求证：与相切：（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若的半径为4，，求的长．7．（2021·福建泉州·模拟预测）如图1，在直角坐标系中，直线与、轴分别交于点、两点，的角平分线交轴于点．点为直线上一点，以为直径的经过点，且与轴交于另一点．（1）求证：轴是的切线；（2）请求的半径，并直接写出点的坐标；（3）如图2，若点为上的一点，连接，且满足，请求出的长？8．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知四边形内接于，．（1）如图1，求证：点到两边的距离相等；（2）如图2，已知与相交于点，为的直径．①求证：；②若，，求的长．9．（2021·江苏·南通市新桥中学一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形ω，如果在图形ω上存在点P、Q（P、Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么称点A与点B是图形ω的一对“倍点”．已知⊙O的半径为1，点B(3，0)．（1）①点B到⊙O的最大值是，最小值是；②在点A(5，0)，D(0，10)这两个点中，与点B是⊙O的一对“倍点”的是；（2）在直线y＝x+b上存在点A与点B是⊙O的一对“倍点”，求b的取值范围；（3）已知直线y＝x+b，与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN（含端点M、N）上所有的点与点B都是⊙O的一对“倍点”，请直接写出b的取值范围．10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG．（1）求证：CD2＝DG•DA；（2）如图1，若CF＝2EF，求证：点D是BC中点；（3）如图2，若GC＝2，GE＝2，求GD．11．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校一模）如图，已知为直径，点为弧的中点，为弦，过点作的垂线，垂足为．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于，交于，过作的垂线交于，交于点，连接，若，（），求的度数．12．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，是的直径，是上的一点，连接，，是上的一点，过点作的垂线，与线段交于点，点在线段的延长线上，且满足．（1）求直线与的公共点个数，并说明理由；（2）当点恰为中点时，若的半径为，，求线段的长．13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”，如图1，在中，点是边上的一点，连接，若，则称点是中边的“好点”．（1）如图1，在中，，若点是边的“好点”，且，则线段的长是__________；（2）若一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，若点是中边的“好点”，求的值；（3）如图2，的外接圆是圆，点在边上，连接并延长，交于点，若点是中边的“好点”，，的半径为，且，求的值．14．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝．（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；（2）设D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．15．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点．连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：；（3）若，，求的值．16．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）已知AB、AC是⊙O的两条弦，OA为半径，∠OAB＝∠OAC．（1）如图（1），求证：AB＝AC；（2）如图（2），延长AO交⊙O于点D，点E是BC延长线上的一点，EF切⊙O于点F，连DF交BC于点G，求证：EF＝EG；（3）如图（3），在（2）的条件下，设DF交AC于点H，若DF∥AB，tanE＝，CH＝，求DG长．17．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）已知，在中，，平分交于点，点为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接，连接交于点．（1）求证：为的切线．（2）求证：（3）若，，求的长度．18．（2021·吉林省第二实验学校二模）如图，中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，到点停止．同时点从点出发，沿的线路向点运动，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，到停止，以为边向右或右下方构造等边，设的运动时间为秒，解答下列问题：（1）填空：__________，__________．（2）当在上，落在边上时，求的值．（3）连结．①当在边上，与的一边垂直时，求的边长．②当在边上且不与点重合时，判断的方向是否变化，若不变化，说明理由．19．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，且点A是弧CD的中点，点F在弧AB上，连接CF、BF．（1）求证：∠C+∠F+∠B＝90°（2）点G在弧BD上，连接CG与直径AB交于点H，连接DG，且DG＝CH．求证：AE＝EH；（3）在（2）的条件下，点K为弧FD的中点，连接FK、BK，FK＝5，过点C作CQ∥FK，交⊙O于点Q，交BK、BF于点M、N，MN＝3，OE＝EH，KM﹣4＝CN，连接FQ，求FQ的长．20．（2018·河南·模拟预测）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．21．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）问题发现（1）如图1，已知⊙O的半径为3，．为⊙O上一动点，则的最大值为；问题探究（2）如图2，在中，设，，，为的中点，连接．求证：；小明同学思考时，先过点作于，请你试着帮助小明完成剩下的过程．问题解决（3）如图3，为平面内一定点，且满足，，现在要建一个面积尽可能大的矩形景区，使得，请问是否存在这样一个满足要求的矩形？若存在，请求出这个矩形的最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）22．（2021·江苏·苏州湾实验初级中学一模）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点从点方向出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为秒，以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连接、．（1）当点与点重合时，求的值；（2）若是等腰三角形，求的值；（3）若与线段只有一个公共点，求的取值范围．23．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）已知AB、CD均为的直径，连接AC，AD，已知．（1）如图1，求证：；（2）如图2，点E在弧BC上，连接AE、DE，过点A作AE的垂线交于点F，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF交AD于