高考数学压轴大题解析几何

高考数学压轴大题分析几何高考数学压轴大题分析几何高考数学压轴大题分析几何高考数学压轴大题-剖析几何2x2与直线订交于两个不同样的点A、B.1.设双曲线C：1(0):1yalxy2a（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：5（II）设直线l与y轴的交点为P，且.

PAPB求a的值.12解：（I）由C与t订交于两个不同样的点，故知方程组有两个不同样的实数解.消去y并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.①双曲线的离心率（II）设(,),(,),(0,1)Ax1yBxyP122由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，2.已知F(1,0),(1,0)为椭圆C的两焦点，P为C上任意一点，且向量PF1与向量PF2的1F21夹角余弦的最小值为.3(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过F的直线l与椭圆C交于M、N两点，求OMN（O为原点）的面积的最大值及相1应的直线l的方程.解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a,∴PF1PF22aF1F22c2=(PF1PF222)PF12PF1PF2PF2424a4=12PFPF12又PF1PF22PF1PF2∴2PF1PFa2即cos24a22a41122a132∴a32y2x∴椭圆方程为132(Ⅱ)由题意可知NM不可以能过原点,则可设直线NM的方程为:x1my设(,)Mx1yN(x2,y2)111SSSOFyy=12yyOMNFOMFON11112222ymy2即(2m3)440.由韦达定理得:2

2∴12y1y(yy)4yy212=216m2(2m3)21622m3248(m1)=22(2m3)2令tm1,则t148t482∴1yy=.221(2t1)4t4

t1又令f(t)4t,易知f(t)在[1,+∞）上是增函数,t所以当t1,即m0时f(t)有最小值5.∴162y1y有最大值23∴23S的面积有最大值OMN3.直线l的方程为x1.3.椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=23uuuruuurB两点，且满足：CA=BC(2)．，过点C(1，0)的直线l交椭圆于A、(Ⅰ)若为常数，试用直线l的斜率k(k≠0)表示三角形OAB的面积．(Ⅱ)若为常数，当三角形OAB的面积获取最大值时，求椭圆E的方程．(Ⅲ)若变化，且=k2＋1，试问：实数和直线l的斜率kkR分别为何值时，椭圆E的短半轴长获取最大值？并求出此时的椭圆方程．22xy解：设椭圆方程为221ab(a＞b＞0)，c2由e==a3及a2=b2c2得a2=3b2，故椭圆方程为x2＋3y2=3b2．①uuur(Ⅰ)∵直线l：y=k(x＋1)交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，并且CA∴(x11，y1)=(1x2，y2)，uuur=BC(≥2，)即x1(x1)12yy12②把y=k(x1)代入椭圆方程，得(3k21)x26k2x3k23b2=0，2(3b21)b2＞0（*），

且k∴x1x2=26k23k1，③x1x2=223k3b23k1，④∴S=OAB12|y1y2|=12|1||·y2|=|1|2·|k||·x21|．联立②、③得x21=22(1)(3k1)，∴S=OAB11|k|·23k1(k≠0．)(Ⅱ)SOAB=11|k|·23k1=11·13|k|1|k|≤111·23(≥2．)当且仅当3|k|=1|k|，即k=33时，SOAB获取最大值，此时x1x2=1．又∵x11=(x21)，∴x1=1，x2=112=，代入④得3b212(1)25，k,b的值吻合(*)．此时3b故此时椭圆的方程为x2＋3y2=212(1)(≥2．)(Ⅲ)由②、③联立得：x1=22(1)(3k1)1，x2=22(1)(3k1)1，将x1，x2代入④，得23b=422(1)(3k1)1．由k2=1得23b=42(1)(32)1=431222(1)(1)(32)＋1．易知，当2时，3b2是的减函数，2故当2时，3b获取最大值3．所以，当2，k=±1(吻合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，23y2=3．此时椭圆方程为x4.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OAOB与a(3,1)共线.（I）求椭圆的离心率；uuuuruuuruuur（II）设M为椭圆上任意一点，且OMOAOB(,R)，证明22为定值.22xy解：（I）设椭圆方程为1(0),(,0),abFc22ab22xy则直线AB的方程为,1yc代入.x22ab2bxacxacab2222222化简得(a)20.令A(x1,y1),B(x2,y2),222222acacab则xx,xx.12122222abab由OAOB(x1x2,y1y2),a(3,1),OAOB与a共线，得（II）证明：由（I）知M(x,y)在椭圆上，22xy23b23y23b22a，所以椭圆1x.可化为22ab222222即(3)(3)2(3)3.2xyxyxxyyb①112212123232212由（I）知x1xc,acbc.,2222又22222222x13y3b,x3y3b又，代入①得1.122故22为定值，定值为1.5.已知椭圆2x221y的左焦点为F，O为坐标原点.（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直均分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.解：（I）Q22,21,1,(1,0),:2.abcFlxQ圆过点O、F，圆心M在直线1x上。2设1M(,t),则圆半径2由OMr,得1322( )t,22解得t2.所求圆的方程为1922(x)(y2).24（II）设直线AB的方程为yk(x1)(k0),代入2x221,y整理得2222(12k)x4kx2k20.Q直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则24kxx1222k1,1AB的垂直均分线NG的方程为yy0(xx0).k令y0,得1点G横坐标的取值范围为(,0).222(0)6.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线ypxp上的两个动点,O是坐标原点,uuuruuruuuuruuuruuuruuur向量OA,OB满足OAOBOAOB.设圆C的方程为(I)证明线段AB是圆C的直径;25(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。5uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur22(I)证明1:QOAOBOAOB,(OAOB)(OAOB)uuuruuur整理得:OAOB0uuuruuur设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MAMB0即(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0整理得:22xy(xx)x(yy)y01212故线段AB是圆C的直径uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur22证明2:QOAOBOAOB,(OAOB)(OAOB)uuuruuur整理得:OAOB0x1x2y1y20⋯⋯..(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则yyyy即21xxxx211(xx,xx)12去分母得:(xx)(xx)(yy)(yy)01212点(x,y),(x,y),(x,y)(x,y)满足上方程,张开并将(1)代入得:11122122故线段AB是圆C的直径uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur22证明3:QOAOBOAOB,(OAOB)(OAOB)uuuruuur整理得:OAOB0xxyy⋯⋯(1)12120以线段AB为直径的圆的方程为张开并将(1)代入得:22xy(xx)x(yy)y0故线段AB是圆C的直径1212(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则又因x1x2y1y20x1x2y1y222yy12yy1242p222所以圆心的轨迹方程为ypxp设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则p当y=p时,d有最小值5,由题设得p5255p2.解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则又因x1x2y1y20x1x2y1y222yy12yy1242p222所以圆心的轨迹方程为ypxp25设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为5,则m2由于x-2y+2=0与222ypxp无公共点,25222所以当x-2y-2=0与ypxp仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为522222022将(2)代入(3)得ypypp4p4(2p2p)0解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则又因x1x2y1y20x1x2y1y222yy12yy1242p当py1y22p时,d有最小值5,由题设得p5255p2.11、（如图）设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个极点，直线y与AB订交于点D，与椭圆订交于E、F两点．kx(k0)uuuruuur（1）若ED6DF，求k的值；yB

FD

xO

A（2）求四边形AEBF面积的最大值．2x11．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为421y，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)．2分如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，y且x，x满足方程1222(14k)x4，BDFxO

A故2xx21214k．①Euuuruuur由ED6DF知1510x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x277714k2；由D在AB上知x02kx02，得0x212k．所以21012k714k22，化简得24k25k60，解得2k或33k．6分8（Ⅱ）解法一：依照点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为2x2kx22(12k14k)11h1255(14)k，2x2kx22(12k14k)22h2255(14)k．9分又2AB215，所以四边形AEBF的面积为1SAB(hh)12214(12k)g5g25(14)2k2(12k)214k2214k4k214k≤22，当2k1，即当1k时，上式取等号．所以S的最大值为22．12分2解法二：由题设，BO1，AO2．设y1kx1，y2kx2，由①得x20，y2y10，故四边形AEBF的面积为SS△S△x22y29分BEFAEF2(x2y)2222x24y24x2y222≤22，2(x4y)22当x22y2时，上式取等号．所以S的最大值为22．12分22xy12、已知椭圆E:1a32a3的离心率1e.直线xt（t0）与曲线E交于不同样的2两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C．(1)求椭圆E的方程；(2)若圆C与y轴订交于不同样的两点A,B，求ABC的面积的最大值.22xy12、（1）解：∵椭圆E:1a32a3的离心率1e,∴2231aa2.⋯⋯2分22xy解得a2.∴椭圆E的方程为431．⋯⋯4分（2）解法1：依题意，圆心为C(t,0)(0t2)．xt,由x2y2得1,4322123t123t2y.∴圆C的半径为r．⋯⋯6分24∵圆C与y轴订交于不同样的两点A,B，且圆心C到y轴的距离dt，∴02123tt，即20221t．7222123t22∴弦长|AB|2rd2t127t．⋯⋯8分412∴ABC的面积Stt⋯⋯9分1272377.⋯⋯12分当且仅当27t127t，即42t时，等号成立.737∴ABC的面积的最大值为7．⋯⋯14分解法2：依题意，圆心为C(t,0)(0t2)．xt,由22xy得1,4322123t123t2y.∴圆C的半径为r．⋯⋯6分42222123t∴圆C的方程为(xt)y．4∵圆C与y轴订交于不同样的两点A,B，且圆心C到y轴的距离dt，∴02123tt，即20221t．7在圆C的方程222123t(xt)y中，令x0，得42127ty，22∴弦长|AB|127t．⋯⋯8分12∴ABC的面积Stt⋯⋯9分1272377.⋯⋯12分当且仅当27t127t，即42t时，等号成立.∴ABC的面积的最大值为7377．22xy15、已知椭圆：122ab（ab0）的上极点为P(0,1)，过的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的极点A、C在椭圆上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为1．⑴求椭圆的方程；⑵当直线BD过点(1,0)时，求直线AC的方程；⑶（本．问．只．作．参．考．，．不．计．入．总．分．）当ABC时，求菱形ABCD面积的最大值．322cy15、解：⑴依题意，b1⋯⋯1分，解1⋯⋯2分，得22ab22b2b|y|⋯⋯3分，所以1aa，2x2a2⋯⋯4分，椭圆的方程为1⋯⋯5分。y4⑵直线BD：y1(x1)x1⋯⋯7分，设AC：yxb⋯⋯8分，由方程组y2x4xyb2125x2得2(1)0bxb452bb22⋯⋯9分，当(1)50(2b)44x1x4b2时⋯⋯10分，(,)Ax1y、C(x2,y2)的中点坐