2013高考全国2卷数学理科试题详解

2013年一般高等学校招生全国一致考试数学（全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．－1）2＜4，∈R｝，＝{－1，0,1,2,3}1．(2013课标全国Ⅱ，理1）已知会集＝｛|（，则∩＝（)．MxxxNMNA．{0,1,2｝B．｛－1,0，1，2｝C．｛－1，0,2,3}D．｛0,1,2，3}2．（2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z满足(1－i）z＝2i，则z＝（)．A．－1＋iB．－1－IC．1＋iD．1－i3．（2013课标全国Ⅱ，理3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn。已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝（)．1111A．3B．3C．9D．94．（2013课标全国Ⅱ，理4)已知，为异面直线,⊥平面α，n⊥平面β。直线l满足l⊥，⊥，mnmmlnα,lβ,则（)．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β订交，且交线垂直于lD．α与β订交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5）已知（1＋ax）(1＋x)5的张开式中x2的系数为5，则a＝(）．A．－4B．－3C．－2D．－16．(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图，若是输入的N＝10，那么输出的S＝(）．1+1112310A．1+1112!3!10!B．1+111C．23111+111D．2!3!11!7．(2013课标全国Ⅱ，理7）一个周围体的极点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是（1，0,1)，(1,1，0），(0,1，1)，（0，0，0），画该周围体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面，则获取的正视图可以为()．8．（2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36,b＝log510，c＝log714，则（）．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞cx1,9．(2013课标全国Ⅱ，理9）已知a＞0，x，y满足拘束条件xy3,若z＝2x＋y的最小值为1，则yax3.a＝（）．11A．4B．2C．1D．22013全国新课标卷2理科数学第1页10．(2013课标全国Ⅱ，理10）已知函数f(x）＝x3＋ax2＋bx＋c，以下结论中错误的选项是（)．A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f（x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞,x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′(x0）＝011．（2013课标全国Ⅱ，理11）设抛物线：y2＝2（＞0）的焦点为,点在C上，||＝5，若以MFCpxpFMMF为直径的圆过点（0,2)，则C的方程为()．A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A（－1,0),B（1，0），C(0,1),直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC切割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(）．12,112,11,1A．（0，1）B．22C．23D．32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必定做答。第22题~第24题为选考题，考生依照要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每题5分．13．(2013课标全国Ⅱ，理13）已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则AEBD＝__________.14．(2013课标全国Ⅱ，理14）从n个正整数1，2，,n中任意取出两个不同样的数，若取出的两数之和等于5的概率为1,则n＝__________。1415（．2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若tanπ1,则sinθ＋cosθ＝__________。16．(2013课标全国Ⅱ，理4216)等差数列｛a}的前n项和为S，已知S＝0，S＝25，则nS的最小值nn1015n为__________．三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．（2013课标全国Ⅱ，理17）（本小题满分12分）△ABC的内角A,B，C的对边分别为a,b，c，已知abcosC＋csinB.（1)求B；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．2013全国新课标卷2理科数学第2页18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC－ABC中，D,E分别是AB，BB的1111中点,1＝＝＝22(1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D－A1C－E的正弦值．19．(2013课标全国Ⅱ,理19）(本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t损失300元．依照历史资料,获取销售季度内市场需求量的频率分布直方图，以下列图．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数;2）依照直方图估计利润T很多于57000元的概率；3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（比方:若需求量X∈[100，110),则取X＝105,且X＝105的概率等于需求量落入[100,110）的频率)，求T的数学希望．2013全国新课标卷2理科数学第3页20．（2013课标全国Ⅱ,理20）(本小题满分12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆：x2y2（＞22=1abab＞0)右焦点的直线xy30交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1。（1)求M的方程；2(2）C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值．21．（2013课标全国Ⅱ，理21)（本小题满分12分)已知函数f（x）＝ex－ln（x＋m)．（1）设x＝0是f(x)的极值点，求m，并谈论f（x)的单调性;（2）当m≤2时,证明f(x）＞0.2013全国新课标卷2理科数学第4页请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，若是多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(2013课标全国Ⅱ,理22）(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AEDC·AF,B,E，F，C四点共圆．(1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；若DB＝BE＝EA，求过B,E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．(2013课标全国Ⅱ，理23）（本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程x2cost,t＝α与t＝2α(0＜α＜2π），已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数）上,对应参数分别为y2sint为的中点．MPQ（1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹可否过坐标原点．2013全国新课标卷2理科数学第5页24．(2013课标全国Ⅱ，理24）(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设a,b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤1；3（2）a2b2c21。bca2013全国新课标卷2理科数学第6页2013年一般高等学校招生全国一致考试数学（全国新课标卷II）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1．答案：A剖析:解不等式(x－1）2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x｜－1＜x＜3｝．而N＝{－1，0，1，2，3｝,因此M∩N＝｛0,1，2}，应选A。2．答案：A剖析：z=2i2i1i＝22i＝－1＋i。1i1i1i23．答案：C剖析:设数列{a}的公比为q，若q＝1,则由a＝9,得a＝9，此时S＝27，而a＋10a＝99,不满足题意，n51321因此q≠1。a1(1q3)＝a·q＋10a,3111q∴1q3＝q＋10，整理得q2＝9.1q∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝1.4．9答案：D剖析：因为m⊥α,l⊥m，lα，因此l∥α。同理可得l∥β。又因为,为异面直线,因此α与β订交，且l平行于它们的交线．应选D。mn5．答案:D剖析：因为（1＋x）5的二项张开式的通项为C5rxr(0≤r≤5，r∈Z），则含x2的项为C52x2＋ax·C15x＝（10＋5a）x2，因此10＋5a＝5,a＝－1。6．答案：B剖析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时,T＝1，S＝1；当k＝2时，T1，S=1+1；22当k＝3时，T21，S1+121；323当k＝4时，T21，S1+12121；；342334当k＝10时，1，111TS1+，k增加1变为11,满足kNS234102!3!10!以B正确．7．答案:A剖析：以下列图，该周围体在空间直角坐标系O－xyz的图像为以下列图：2013全国新课标卷2理科数学第7页则它在平面zOx上的投影即正视图为，应选A.8．答案：D剖析:依照公式变形，lg61lg2lg10lg2lg14lg2a，b1，c1，因为lg7＞lg5＞lg3lg3lg5lg5lg7lg7lg3，因此9．答案：B

lg2lg2lg2lg7lg5，即c＜b＜a。应选D。lg3x1,剖析：由题意作出所表示的地域如图阴影部分所示，xy3作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为（1，－1），结合题意知直线y＝a(x－3)过点（1，－1)，代入得11a,因此a.2210．答案：C剖析：∵x0是f(x）的极小值点,则y＝f(x)的图像大体以以下列图所示，则在（－∞，x0）上不只一，故C不正确．11．答案：C剖析:设点M的坐标为(x0，y0）,由抛物线的定义,得|MF｜＝x0＋p＝5，p2则x05－2又点F的坐标为p,0，因此以MF为直径的圆的方程为（x－x0）xp＋(y－y0）y＝0。2200y02002由y2＝px0，得162pp,解之得p＝2，或p＝8.2因此C的方程为y2＝4或y2＝16。应选C。xx2013全国新课标卷2理科数学第8页12．答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必定做答。第22题～第题为选考题，考生依照要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．答案：2剖析:以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，以下列图，则点A的坐标为（0,0）,点B的坐标为（2,0)，点D的坐标为(0，2），点E的坐标为(1，2），则AE＝（1,2），BD＝（－2,2)，因此AEBD2。14．答案：8剖析：从1，2，,中任取两个不同样的数共有2种取法，两数之和为5nCn的有(1,4），(2，3)2种，因此21，即241，解得n＝8.Cn214nn1nn114215．答案：105剖析：由tanπ1tan1，得tanθ＝1，即sinθ＝1cosθ.41tan233将其代入sin2θ＋cos2θ＝1,得10cos21.9因为θ为第二象限角，因此cosθ＝310，sinθ＝10，sinθ＋cosθ＝10。16．答案:－4910105剖析：设数列｛a}的首项为a,公差为d，则S＝10a1＋109＝10a＋45d＝0,①dn110211514S15＝15a1＝15a1＋d＝25。②2d105联立①②12,,得a＝－3,d3因此Sn＝3nn(n1)21n210n.2333令f（n)＝nS，则f(n)13102220n333令f′（）＝0,得＝0或n203当n202020n∈N＋，时，f′（n)＞0，0<n<时，f′（n)＜0，因此当n时，f(n）取最小值，而333则f(6)＝－48,f(7)＝－49，因此当n＝7时，f（n)取最小值－49。三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1)由已知及正弦定理得sin＝sincos＋sinsin．①ABCCB又A＝π－（B＋C),故sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈（0，π）得sinB＝cosB，2013全国新课标卷2理科数学第9页又∈（0，π),因此Bπ4(2)△ABC的面积S12acsinBac。24由已知及余弦定理得22π4＝a＋c－2accos。44又a2＋c2≥2，故ac，当且仅当＝c时，等号建立．22因此△面积的最大值为2+1.ABC18．解:(1）连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.因为DF?平面A1CD，BC1平面A1CD，因此BC1∥平面A1CD。（2）由AC＝CB＝2AB得，AC⊥BC2以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立以下列图的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2,则D（1，1，0），E(0,2,1),A1(2,0，2），CD＝（1,1，0），CE＝（0,2，1)，CA1＝（2，0,2）．设n＝(x1,y1，z1)是平面A1CD的法向量,nCD0,x1y10,则即nCA10,2x12z10.可取n＝（1,－1,－1）．同理,设m是平面A1CE的法向量,mCE0,－2)．则可取m＝(2,1,mCA10,从而cos〈n,m>＝n·m3，|n||m|3故sin〈n，m〉＝6.3即二面角D－A1C－E的正弦值为6.319．解：（1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300（130－X)＝800X－39000，当X∈［130，150]时,T＝500×130＝65000.800X39000,100X130,因此T65000,130X150.（2）由(1）知利润T很多于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈［120,150］的频率为0.7，因此下一个销售季度内的利润T很多于57000元的概率的估计值为0.7.(3）依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20。30.4因此ET＝45000×0.1＋53000×0。2＋61000×0.3＋65000×0。4＝59400。20．2013全国新课标卷2理科数学第10页解：(1）设A（x1，y1），B(x2，y2)，P（x0，y0)，则x12y12x22y22y2y1=1,a2b2=1,a2b2=1，x2x1由此可得b2x2x1y2y1=1。a2y2y1x2x1因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y01，因此a2＝2b2.x02又由题意知，M的右焦点为（3,0），故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.因此M的方程为x2y2=1.3y30,(2）由x2y21,63x43,x0,3解得或y3y3.,3因此|AB｜＝46。3由题意可设直线CD的方程为53，y＝xnn33设C（x3，y3)，D(x4，y4）．yxn,由x2y2得32＋4＋22－6＝0.1xnxn63于是x3,4＝2n29n2.31，因为直线的斜率为CD因此｜CD|＝2|x4x3|49n2.3由已知，四边形ACBD的面积S1|CD||AB|869n2。29当n＝0时，S获取最大值，最大值为86。3因此四边形ACBD面积的最大值为86。321．解：（1)f′(x)＝ex1.m由x＝0是f(x）的极值点得f′(0）＝0，因此m＝1。2013全国新课标卷2理科数学第11页于是f(x）＝ex－ln(x＋1），定义域为(－1，＋∞）,f′（x）＝ex1.1在(－1，＋∞）单调递加x1函数f′(x）＝ex,且f′（0)＝0.x1因此当x∈（－1,0）时，f′(x）＜0；当x∈（0，＋∞)时,f′(x）＞0.因此f（x）在（－1,0)单调递减，在（0，＋∞)单调递加．当m≤2,x∈(－m，＋∞）时,ln(x＋m）≤ln(x＋2）,故只需证明当m＝2时，f（x）＞0。当m＝2时，函数f′(x)＝ex1在(－2，＋∞)单调递加．x2又f′(－1)＜0，f′(0）＞0,故f′(）＝0在(－2，＋∞）有唯一实根x0，且x0∈（－1,0)．x当x∈(－2，x0）时，f′（x)＜0；当x∈(x0,＋∞)时，f′（x）＞0，从而当x＝x0时，f(x)获取最小值．由f′（x0）＝0得ex0＝1，ln（x0＋2）＝－x0，x02故f（x)≥f(x0）＝1＋x0＝x012x0x02＞0.2综上,当m≤