2021-2022学年天津市高二（上）学业能力调研数学试卷（12月份）（附答案详解）

202L2022学年天津市静海一中高二(±)学业能力调研数学试卷(12月份).在等差数列位工中，若=5,则S[3的值等于()A.8 B.10 C.13 D.26.已知等差数列｛a"的前”项和为方，若。3=2,且S4=S7,则下列说法中正确的是()A.｛aQ为递增数列B.当且仅当n=5时，S”有最大值C.不等式2>0的解集为｛n6/V*|n<10｝D.不等式an>0的解集为无限集.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的2是较小的两份之和，问最小一份为()TOC\o"1-5"\h\zA.- B.- C.- D.-3 3 6 6.如图，尸1、尸2是双曲线c塔一、=l(a>0,b>0)的左、 4右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A、B两点.若A是HF? \» /中点且8018七，则该双曲线的渐近线方程为() /y=±2V3xy=±2>/2x / \y=±V3xy=±V2x.已知Fi，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以尸2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N,若过Fi的直线四后是圆尸2的切线，则椭圆的离心率为.已知圆C的圆心与点P(-2,l)关于直线y=x+l对称.直线3x+4y-ll=0与圆C相交于A,B两点，且|AB|=6,则圆C的方程为.2 2 2 2.若双曲线C：2-标=19>0/>0)与双曲线。:？一卷=1有相同的渐近线，且C经过点(2,6),则C的实轴长为..若等差数列｛aj与等差数列｛%｝的前”项和分别为当和7n，且乎=誓?，则In371-1血=.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点、,M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且14Ml=JI7,\AF\=3,则此抛物线的标准方程为.

.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线/交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|4F|=3,则此抛物线的方程为..已知棱长为1的正方体ABCC-EFGH,若点P在正方体内部且满足而=：荏+^AD+1荏，则点P到AB的距离为,正方体ABC。-EFGH,Q是平面ABCD内一动点，若E0与EC所成角为全则动点。的轨迹方程..已知关于x,y的方程(4—m)x2+(16—m)y2=m2—20m+64表示双曲线，求焦点坐标..已知0),B(m,0)(m>0),若圆C：x2+y2+6x-8y+21=0上存在点P,使得|P4|2+\PB\2=4m2,则m的范围 ..(1)在数列｛即｝中，%=2,yjan+1=y[a^+VI,求数列｛a”｝的通项公式；(2)若数列｛an｝是正项数列，且>/就+Va^+…=n2+3n(nEN*),求数列｛册｝的通项公式；(3)在数列｛a"中，的=8,。4=2，且满足an+2-2an+i+an=0(neN*),求数列｛即｝的通项公式；设S”=|出|+|a2|4 1-|On|,求Sn..在如图所示的多面体中，EA_L平面ABC,DBJ_平面ABC,AC1BC,且4c=BC=BD=2AE=2,M是A8的中点.(1)求证：CMJ.EM；(2)求平面EMC与平面BCD所夹角的余弦值：(3)在棱OC上是否存在一点N,使得直线MN与平面EMC所成的角是60。,若存在，求|CN|的长；若不存在，请说明理由..已知在非零数列｛%｝中，%=1.an-an_!=-janan_!(n>2,ne/V♦),数列｛b｝的前n项和S.=3n2+8n.(1)证明：数列«■｝为等差数列；(2)求数列｛b｝的通项公式；(3)若数列&｝满足d=高+小，求数列&｝的前n项和加.已知椭圆C：5+《=l(a>b>0),&(—1,0),尸2。。)分别为椭圆C的左，右焦点，M为C上任意一点，Samf/z的最大值为L(1)求椭圆C的方程；(2)不过点尸2的直线/：y=kx+m(mHO)交椭圆C于A,B两点.(i)若/= 且S“o8=*，求机的值；(ii)若x轴上任意一点到直线AF2与BF2的距离相等，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标..已知椭圆C：《+，=l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为*(1)求椭圆C的程；(2)设椭圆C的左焦点为F,右顶点为G,过点G的直线与y轴正半轴交于点S,与椭圆交于点H,且HF1x轴，过点S的另一直线与椭圆交于M,N两点，若Sasmg=6Sashn，求直线MN的方程.(3)圆锥曲线问题的关键一步是条件的翻译，所以请同学们不用解答，翻译下面的条件，转化为数学表达式：①若直线冬一5=1(。>0*>0)与双曲线交于4、8两点，与其渐近线交于C、两点，求证：AC=BD.②椭圆的9+y2=1左顶点为。，上顶点为B,点A的坐标为(1,0),过点。的直线L与椭圆在第一象限交于点P,与直线AB交于点。设L的斜率为K,若黑=3\[2sinz.ADQ,求直线K的值.③椭圆的9+y2=1左顶点为4过点A作直线与椭圆C交于另一点B.若直线/交y轴于点C,且0C=8C,求直线/的斜率.答案和解析.【答案】C【解析】解：因为等差数列｛an｝,的++07+。8+。9=5a7=5,所以。7=1，则Sc=13(即广3)=13a7=13.故选：C.结合等差数列的性质先求出巧,然后结合等差数列的求和公式即可求解.本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，属于基础题..【答案】C【解析】解：设等差数列｛册｝的公差为"，由S4=S7，得@5+。6+。7=。，即即=根据+2d=2,解得.%+5d=0'肝传根据所以a九=y-1(n-1)=-1n+4,Sn=7(T+4-|n)=+gn，由dVO可得｛an｝是递减数列，选项A错误；令册=一|几+4>0,解得nV6,由于n£N+，所以OWn45,不等式即>0的解集为｛nWN+|nW5｝,是有限集，选项。错误；又即=0，则当且仅当九=5或九=6时，Sn有最大值，选项8错误；令5„=—1九2+甘■九>o,得n?—llnVO,由于九EN+，所以n€N+，且n410,选项C正确.故选：C.设等差数列｛册｝的公差为"，由$4=$7，得。5+。6+。7=0，即即=0，根据｛胃=：可求得11 3之，所以与=/_沁_1)=*n+4,Sn=］皆+4-|n)=_”+声,ld=~3从而可对选项逐一判断.本题主要考查数列的单调性，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题..【答案】A【解析】【分析】本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果.设五个人所分得的面包为Q-2d,a-dfa,Q+d,a4-2d,(d>0)；则由五个人的面包和为100,得a的值；由较大的三份之和的;是较小的两份之和，得d的值；从而得最小的1份Q—2d的值.【解答】解：设五个人所分得的面包为Q—2d,a—d,a,a+d,a+2d,(其中d>0)；则，(q-2d)+(a-d)4-a4-(a+d)4-(a+2d)=5a=100,・•・a=20；由;(a+q+d+q+2d)=a-2d+q-d,得3a+3d=7(2a-3d)；・•・24d=Ila,, 55所以，最小的1份为a—2d=20—6 3故选：A..【答案】A【解析】解：设|4尸2|=3则|4B|=3根据双曲线的定义，得MF/一|小引=\BF2\-\BF1\=2a,即|4Fi|=2a+t,|BF/=2t-2a,因为AF/F2是以B为直角的RtA,所以|笃尸2|2=国6|2+|8尸2|2,BP4c2=(2t-2a)2+4t2,...@AABFi中,|AF/2=|4B|2+|B0|2,即(2a+t)2=t2+(2t—2a)2,...②由②得t=3a,所以c=ga,所以b=Vc2-a2=2>/3a.所以2=2V3,a所以双曲线的渐近线方程为y=±2V3x.故选：A.设|川引=3得|4B|=3根据双曲线的定义求出MF/、利用直角三角形的勾股定理和双曲线的定义列方程求出八〃和c、b,即可求出双曲线的渐近线方程.本题考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，是中档题..【答案】V3-1【解析】【分析】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.由题意可得：MF】J.MF2，IMF2I=c,IMFJ=2a-c,^2\=2c,利用勾股定理可得c2+(2a-c)2=牝2,即可得出.【解答】

解：如图所示，由题意可得：M&lMFz，\MF2\=c,IMFJ=2a-c,\FtF2\=2c9:.c2+(2a-c)2=4c2,化为c?+2cLe—2a2=o,即e2+2e—2=0,c€(04).解得e=V3-1.故答案为：V3—1..【答案】x2+(y+l)2=18【解析】解：设圆心坐标C(q/),根据圆心与尸关于直线y=x+l对称得到直线CP与y=%+1垂直，而丫=x+1的斜率为1,所以直线CP的斜率为一1即？=一1化简得a+b+1=0①，-2—a再根据CP的中点在直线y=x+1上得到等=等+1化简得a-b-1=0②联立①②得到a=0,b=-1,所以圆心的坐标为(0,-1)；圆心C到直线AB的距离d=部=3,加B|=3所以根据勾股定理得到半径产=32+笠誓=18,所以圆的方程为x2+O+1)2=18.故答案为：x2+(y+I)2=18要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为(a,b),根据圆心与P关于直线y=x+l对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和6即可；再求半径，根据垂径定理得到g48|、圆心到直线A8的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径.写出圆的方程即可.此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题.会根据圆心和半径写出圆的方程..【答案】2同【解析】解：由已知可得双曲线C的渐近线方程为：y=±^x,双曲线。的渐近线方程为：y=±^x,所以”手，又点(2,6)在双曲线C上，则若―卷=1,解得a=所以双曲线C的实轴长为2a=2V30,故答案为：2闻.由已知分别求出双曲线C,。的渐近线方程，进而可以求出a,人的关系式，再把已知点代入双曲线C,即可求出a,匕的值，从而可以求解.本题考查了双曲线的性质以及渐近线方程，考查了学生的运算能力，属于基础题.8•【答案】S44lS(ai+a15)【解析】解：由已知可得/嘉二亚品广祟需=青2故答案为：44利用公式詈=等工即可求解.bn«2n-l本题考查了等差数列的项与和的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题..【答案】x2=4y或/=8y【解析】解：由抛物线的顶点在原点，开口向上，尸为焦点，M为准线与y轴的交点,故可设抛物线的标准方程/=2py(p>0),设｛(沏/。)，由题意可得，v\AF\=3,y()+々=3,v\AM\=V17,：•诏+(yo+f)2=17,. 2MWc),•Aq-o»・••4为抛物线上一点，%o=2py0.即8=2p(3-g),解得p=2或p=4,二所求抛物线的标准方程为M=4y或/=8y.故答案为：x2-4y或/=8y.由已知条件，设出抛物线方程，求出仞的坐标，再结合抛物线性质和两点之间距离公式，求解p,即可得到抛物线方程.本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线方程的求法，属于中档题..【答案】y2=3x.【解析】解：设A(Xi，yJ，S(x2,y2)>作AM、BN垂直准线于点M、N,则|BN|=\BF\,又|BC|=2|8F|,得|BC|=2|BN|,Z.NCB=30",有|AC|=2\AM\=6,设|BF|=x,则2x+x+3=6=>x=l,而Xi+43,x2+^=l,由直线A8：y=k(x-»代入抛物线的方程可得，

=0,k2x2—(pk2+2p)x+-k2p=0,即有Xl%2=•••(3_以1一方=?np=m得y2=3x.故答案为：y2=3x.根据过抛物线p=2px(p>0)的焦点/的直线/交抛物线于点A、B,作AM、BN垂直准线于点M、N,根据18cl=2|8/|,且①尸|=3,和抛物线的定义，可得乙NCB=30°,设4&/1),8(%2/2)，出用=X,而X1+：=3,&+/1，且X62=9，(3-。)(1-々)=9=p=;,可求得P的值，即求得抛物线的方程.此题是个中档题.考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程.体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算..【答案】|x2+y2+1-4xy—4x—4y=0【解析】解：在正方体ABCC-EFGH中，建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0),B(l,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),E(0,0,1)，屈=久1,0,0)+10,l,0)+久0,0,1)=弓,统)，AB=(1,0,0),于是得而在志上的投影向量长度为I锣I则点P到AB的距离为d=］冲2-1鬻|2=品+泻Y=3，所以点P到4B的距离为;；因动点。在平面A8C。内，设Q(x,y,0),则衣=(x,y,-l),而前又EQ与EC所成角为m因此，的•就=质II殖cos%即有x+y+1=Jx2+y2+1X百X日,整理得/+y24-1—4xy—4x—4y=0,即动点。的轨迹方程是/+y2+1-4xy-4x-4y=0.故答案为：-；/+y2+]_4xy—4x-4y=0.6根据给定的正方体建立空间直角坐标系，利用点到直线距离公式计算点P到48的距离；借助空间向量数量运算求出轨迹方程.本题主要考查动点的轨迹方程，点到直线的距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题..【答案】(±2百,0)【解析】解：关于x,y的方程(4—m)x2+(16-m)y2=m2-20m+64表示双曲线，"2 y.2可得77 1"1—=1'16-m 4-m所以(4-m)(16-m)<0,解得4<m<16.c=J|4-m-16+ =V12=273,所以焦点坐标(±2百,0).故答案为：(±2G,0).利用二次曲线表示双曲线，列出不等式，求解即可.本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题..【答案】[3,7]【解析】解：圆C：x2+y2+6x-8y+21=0,即(x+3尸+(y—4产=2：其圆心为(-3,4),半径r=2,设A8的中点为M,又由点A(-m,0),F(m,0),\AB\=2\m\,：.\PA\2+\PB\2=4m2=\AB\2,二P的轨迹是以AB为直径的圆O：x2+y2=m2,若圆C：》2+丫2+6%-8丫+21=0上存在一点/>,使得伊川2+仍8|2=4机2,则圆c与圆M有公共点，又由|OC|=V32+4Z=5,即有|m|-245<|m|+2,解得：3W|m|W7,又m>0.a3<m<7,〃?的范围[3,7].故答案为：[3,7].由已知得圆C的圆心坐标以及半径，由|PAE+|尸网2=4巾2=|4团2,可得p的轨迹以AB为直径的圆M，原问题可以转化为圆C与圆。有公共点，由两圆圆心距离与半径的关系列式求解.本题考查宜线与圆的位置关系，将问题转化为圆与圆的位置关系是关键，考查计算能力，

是中档题..【答案】解：(1)“n+l= +鱼,•**yj^n+1-dQn=V2,乂=V2,・・・｛阮｝是以首项为近，公差为近的等差数列，:.yfa^=V24-(n-l)xV2=V2n:，an=2n2；(2)vV^i+\l^2+…+=n24-3n,*• +•••+)斯-1=(7i—l)?+3(7i—1),(n>2),两式相减可得:J^=2n+2,(n>2),又n=1时，y[a[=4也满足上式，•・y[a^=2n+2,(n6N*),•・an=4(n+l)2；(3)・・・an+2-2an+1+Qn=0，(n6N*),•**an+2—Qn+1=an+l~~anf(九WN*),・•.数列｛an｝为等差数列，又公差4=竽詈=1=-2,且%=8,4—1 3***cin=8+(n—1)x(—2)=10—2几,令册=10-2n>0, 1<n<5,又Sn=l^il+同+…+1*，・••①当几<5时，Sn=a】+a2H Fan=酎。；2n)】“=9n-n2,②当71>5时，Sn=+…+。5—(。6+a7+…+M)=2(Q]+O,2+…+05)-91+a2+…+Qn)=2x20—n(9—n)=n2-9n4-40,.„_(9n-n2,(n<5)ntn2—9n+40,(n>5)【解析】(1)根据等差数列的定义与通项公式即可求解；(2)根据前〃项和作差即可求解；(3)根据等差数列的定义及通项公式，可求出数列｛a、｝的通项，再分析等差数列的通项的符号，接着分类讨论求S”，最后综合即可得解.本题考查等差数列的定义与通项公式，根据前〃项和作差求通项，分类讨论思想，属中档题.15.【答案】(1)证明：因为AC=BC,M是AB的中点，则CM1AB,

又EA_L平面ABC,CMu平面ABC,贝ijCM1EA,因为ABnE4=A,AB,E4u平面4EM,所以CM，平面AEM,因为EMu平面AEM,故CM1EM；(2)解：以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则M(0,0,0),C(0,V2,0),B(V2,0,0),D(V2,0,2),E(-Vz,0,1),所以配=(-V2,0,l),MC=(0,V2,0),BD=(0,0,2),BC=(-V2,V2,0),设平面EMC的法向量为沅=(x,y,z),T.需=；^展7=。，令"i,则z=也m•MC=y/2y=0故沅=(1,0,a)，设平面BOC的法向量为元=(a,b,c),7.黑:Ga+他=0,令。=1，则b=l，所以|cos所以|cos<n,m>|=|n||m| y/2Xy/3 6故平面EMC与平面BC。所夹角的余弦值为手；6(3)解：假设在棱OC上存在一点N,使得直线MN与平面EMC所成的角是60。,设N(x,y,z)且而=kDC(0<fc<1),则(x—V2,y,z—2)=k(—V2,V2,-2).解得N(或-y[2k,y[2k,2-2k),所以丽=(或一 企k,2-2k),因为直线MN与平面EMC所成的角是60。，则如<^->1=舄累篇翳翟后=-6。。=当解得k=%所以在棱OC上存在一点M使得直线MN与平面EMC所成的角是60。，点N为棱OC的中点，且|CN|=||CD|=V2.【解析】(1)利用线面垂直的性质可得CM1EA,又CM1AB,即可证明CM，平面AEM,从而证明结论；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EMC与平面BCD的法向量，由向量的夹角公式求解即可；(3)设N(x,y,z)且而=k比(0WkWl),求出点N的坐标，得到丽的坐标，利用线面角的公式，求出％的值，即可得到答案.本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理的应用，二面角的求解以及线面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.16.【答案】(1)证明：在非零数列｛a.｝中，%=1,即一an_i=-]anan-i(n>2,nGN*),则二一—-= 可得三一一-=；(n>2),^n-1 2 (LnQn-12又Ql=1,A-=1,%可得数列｛2｝是以1为首项，以3为公差的等差数列；(2)解：•.,数列｛bn｝的前n项和%=3n2+8n，・•・瓦=11,当九>2时，bn=Sn-Sn_1=3n2+8n—3(n—l)2—8(n—1)=6n+5.瓦=11适合上式，:.bn=6n+5；(3)解：由(1)可知，^-=^-+(n—l)d=l+(n—l)x^=~~9又由(2)知，％=6n+5,2•••cn=—Fbn=几+1+6n+5=7n+6,可知数列｛0｝是等差数列，则Tn=弯也=6)=笔丝【解析】(1)把0〃_dn-i=—舞Qn_i两边同时除以Q/n-i，可得 -=(n>2),2 anan-i2即可证明数列｛嵩｝是以1为首项，以1为公差的等差数列；(2)由数列｛bn｝的前"项和S”=3〃2+8n,得瓦=11,当nN2时，由bn=S“-Sn-i求数列｛九｝的通项公式；(3)解由(1)可求上，由(2)知%=6n+5,代入7=义+%，整理后可知数列｛0｝是等an an差数列，再由等差数列的求和公式求数列｛%｝的前〃项和乙.本题考查等差数列的通项公式与前〃项和，考查运算求解能力，是中档题.{C=1l-2cb=l,可得b=l,a=42,a—y/b2+c2所以椭圆的方程为：y+y2=1;（2）（。设A（xi，%）,B（x2,y2）,联立［二二^：771 整理可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0,+2/=24=16k2rH2-4（i+2k2）（27n2-2）>0,可得加2<1+212,当忆2=点可得血2<2,

Xi+x2-4km1+2/cXi+x2-4km1+2/c2%1%2=2m2-2

l+2k2所以|4B|=y/l+k2-V(Xi+x2)2-4x^2=y/l+k2•J；黑,-4, =l+2k2o到直线/的距离&=悬，^AUb21 1 2 l+2fc2x/T+fc2v l+2k2|mpV2-m2\/2—2-=T可得|m|,V2—m2=1,整理可得—2m2+1=0,解得m?=1,可得m=±1,所以tn的值为±1；(ii)证明：由若x轴上任意一点到直线4尸2与NF2的距离相等，可得怎24+^^=°，即人+*_=0,41-1x2-l即为(*2-1)+为(无1-1)=0，由(i)可得(k#i+m)(x2-1)+(kx24-巾)(石-1)=0,整理可得：2kxiM+(m—k)(》i+x2)-2m=0,即2k-2m2-l+(m-k)•—2m=0,l+2k2 ' 'l+2k2可得?n=—2k,所以直线l的方程为y=kx—2k=k(x—2),可证得直线/恒过定点(2,0).【解析】(1)由焦点坐标及AMaF2面积的最大值和a,b,c之间的关系，可得a,b的值，进而求出椭圆的方程；(2)(。联立直线/与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，求出弦长|48|及。到直线/的距离d的中，代入三角形的面积公式，再由人的值，可得相的值；(ii)由题意可得直线4F2,BF2的斜率恒为相反数，求出斜率之和，将两根之和及两根之积代入可得相与4的关系，代入直线/的方程，可证得直线恒过定点.本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的证法，三角形面积公式的应用，属于中档题.18.【答案】解：(1)因为椭圆。