初中数学华东师大八年级上册第章勾股定理-直角三角形三边的关系

1.掌握勾股定理,会用拼图法验证勾股定理.2.能应用勾股定理解决实际问题.如图，强大的台风使得一根旗杆在距地面10m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部24m处，旗杆折断之前有多高？想一想，需要求哪些线段的长度，这些长度确定吗？ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2（1）观察图1-1

正方形A中含有

个小方格，即A的面积是

个单位面积.

正方形B的面积是

个单位面积.

正方形C的面积是

个单位面积.99918你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流.做一做ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2把正方形C分割成若干个直角边为整数的三角形来求（单位面积）方法1ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2（单位面积）正方形C可以看成边长为6的正方形面积的一半方法2ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2（2）在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？（3）你能发现图1-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1-2呢？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积议一议ABC图1-3ABC图1-4你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流.做一做

A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1-3图1-4169254913（1）观察图1-3、图1-4，并填写下表：ABC图1-3ABC图1-4想办法把正方形C分割成若干个直角边为整数的三角形来求

（单位面积）ABC图1-3ABC图1-4（2）右图中正方形A,B，C的面积之间有什么关系？SA+SB=SC两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积结论：ABC图1-3ABC图1-4（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流.（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（2）中的规律对这个直角三角形仍然成立吗？议一议

中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.

据《周髀算经》记载，西周战国时期（约公元1千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.345∟勾股弦人们还发现在直角三角形中，勾是6，股是8，勾是5，股是12，弦一定是13，

是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个结论.

我国把它称为勾股定理.62=36,82=64,62+82=102102=100等.

52=25,122=144,52+122=132132=169弦一定是10；勾股定理（gou-gutheorem)如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc勾股弦在西方又称毕达哥拉斯定理！导入引例中旗杆折断之前有多高？24

m10

mABC【解析】如图AC2+BC2=AB2得AB2=102+242=262得AB=26m,旗杆高是AC+AB=10+26=36(m).【例题】3260A225B811.求下列图中字母所代表的正方形的面积【解析】(1)A=32+60=92(2)B=225-81=144【跟踪训练】2.求出下列直角三角形中未知边的长度.513x86x【解析】(1)x2=62+82=102

x=10(2)x2=132-52=122x=123.求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积.【解析】设另一条直角边长是x厘米.由勾股定理得:152+x2=172而x2=172-152=289–225=64∴x=±8（负值舍去）∴另一直角边长为8厘米直角三角形的面积是:(平方厘米)abcabcbacabc用两种方法表示大正方形的面积:abcbcbcbcaaa对比两种表示方法,你得到勾股定理了吗?我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的试一试【例】我方侦察员小王在距离东西方向公路400米处发现一辆敌方汽车在公路上疾行.他赶紧拿出了测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？10秒400米500米CAB分析：根据题意可以画出如图的示意图，其中A点表示小王所在位置，由于小王距公路400米，因此∠C是直角，那么可以用勾股定理解决.【例题】cab用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.a2=5(1×1)=5

b2=8(1×1)=8c2=9(1×1)=9议一议1.一个直角三角形周长为60,一直角边与斜边之比为4:5,则此三角形三边分别为__________【解析】设一条直角边是4x，则斜边为5x，据勾股定理得另一条直角边是(5x)2-(4x)2=9x2=(3x)23x+4x+5x=60得x=5则三边长是25，20，15.【跟踪训练】答案：25，20，152.如图,求半圆面积(结果保留).66ABC【解析】(1)BC2=AB2+AC2=36+36=72S半圆=（BC÷2）2=BC2÷4=91.（台州·中考）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是()CABP

A．2.5B．3C．4D．5【答案】A

2.（临沂·中考）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点C,E在同一条直线上，连结BD,则BD的长为（）A.

B.C.

D.【答案】D3.（义乌·中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是

．(写出一组即可)【答案】3，4，5（答案不惟一，满足题意的均可）4.（温州·中考）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图的勾股图中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于

．答案:5.（丹东·中考）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边