国小统计教材-机率初步概念之设计理念与实际

《國立嘉義師範學院86學年度數學教育研討會論文之5》PAGE1第PAGE8頁國小統計教材－機率初步概念之設計理念與實際蔡文煥國立新竹師範學院數理教育系摘要依據八十二年度國小課程標準，兒童從遊戲中瞭解機率的初步概念，且註解機率的初步概念包含如下：（1）部分與全體的關係（2）大數法則，也就是大量的試驗結果，趨近於某一數。並舉例：世界人口，男女人數趨於平衡，各約佔總人口人數的1/2。本文將從文獻上探討機率在小學中教學之可行性，及如何進行教學，並對新課程機率教學活動設計自我反省。本文共分為五部份進行探討：（一）機率之數學意義，（二）兒童之機率概念之發展，（三）機率之教學探討，（四）新課程之機率教材之設計，暨（五）機率課程設計之省思與建議。

一、前言國小新教材包含統計和機率。由於統計教材設計之理念和實際已在低、中年級之數學教育研討會中已詳細介紹過（譚寧君，83；朱建正，85）。故本文僅就機率部份加以探討。本文共分為五部分：（一）機率之意義，（二）兒童機率概念發展，（三）機率教學之探討，（四）新課程機率之課程設計，暨（五）機率課程設計之省思與認識。二、機率意義當人類在觀察或預測某一現象時，會產生兩類情形，第一類情形是在某些相同條件下，其事件發生（或試驗）的結果是可以預測的，其結果隱含因果關係且具有決定性者。然而有些現象，雖然在某些相同的條件下，其事件發生（或試驗）的結果並不能事先加以確定，是為非決定性者。機率便是一種指標，其用來測量這種非決定性事件可能發生的程度有多大。依據文獻上的討論，機率的意義大概可分為四種（Shaughnessy,1992;Konold,1991;Hawkins&Kapapia,1984）：古典機率（或稱理論機率），試驗機率（Empricialprobability）（或稱次數機率），主觀或直覺機率（SubjectiveandIntuitiveprobability），暨形式機率（Formalprobability）。古典機率是假設在隨機設計的試驗中每一基本事件發生的機會均等（equallylikely），數學家稱此為均勻機率分配。經驗機率是指隨機結果的長期行為，數學上，其包含極限和收歛的理論。主觀機率是二十世紀所產生的名稱，其在測量信仰的程度（degreeofbelief）。它似乎可能依賴貝爾定理（BayesTheorem）而將主觀機率數學化，意即依賴可獲得的資訊作為機率修正的理論。形式機率是利用數學法則（如公理）來定義機率。形式機率超過小學範圍故在此不加以討論。雖然Kapadia(1988)宣稱主觀機率優於其它兩者。但是Shaughnessy(1992)強調教機率的重點是將一些觀點模式化（amodelingpointofview）在不同的問題型態和不同的工作任務（tasks）能用不同的機率模式去解決。某些機率實驗可能以均勻機率空間加以模式化，而某些可能用經驗機率的觀點較佳。有時候，經驗機率亦能解決主觀機率和古典機率的衝突。正如Kuhn(1962)所言，假如我們遭遇新的挑戰，我們最近的模式證明不適當，那麼一種新的有關思考機率的典範將必須演化。因此兒童在學習以上的多種模式機率是適機的問題，而不是要不要的問題。以下將探討兒童在機率概率的發展，再來考慮學習時機的適切性。三、機率概念之處理發展Piaget等（Piaget&Inhelder,1951,1975）。依據其發展理論來探討兒童之機率概念之發展階段。其宣稱機率發展共分為三階段。一般而言，第一階段是在七歲以下，此時兒童無法區分事件之必然性和可能性，更沒證據顯示其具有不確定的概念。依據皮亞傑之看法，在第一階段的小孩在一個隨機的混合事件中將嘗試去尋找次序性。例如假如事件A和B，如事件A出現的次數較多，下一次兒童將預測B，其理由是“B常被跳過”。Piaget和Inhelder亦注意到某些兒童常以所觀察的多量作為預測判斷而完全忽略了群體的比值。例如一個箱子有三個黑球和一個白球；另一個箱子有六個黑球和二個白球，當問他們從每個箱子拿出一個球是否拿到一個黑球的機會一樣，兒童經常會說從有六個黑球的箱子拿到黑球的機會較大，因為它有六個黑球。此時期兒童亦不具有操作可逆性的特徵。你從袋中抽一個白球，放回去再抽第二球時，兒童會覺得不一樣，其理由是因為白球已被抽過了，第二次應會抽到其它的球，因此兒童沒有隨機的概念。同樣地，此時期的兒童不具有集合包含關係，因此亦無法將一事件看做所有可能發生事件的一部份。第二階段，是七歲到十四歲的兒童，此時兒童已能認清事件之必然性和可能性，但尚沒有有系統的方式去產生一系列的機率，在這個階段一個兒童假設性地並沒有擁有組合技巧或去產生一個機率實驗的一個抽象模式之數學成熟度。第三階段，十四歲以上，兒童開始發展組合分析的才能，並且瞭解相對次數之極限（大數法則）之機率。依Piaget的觀點，比值的概念在機率概念的發展中，似乎是極重要。Green(1987,1988)為了探討兒童在皮亞傑機率發展階段，曾在英國探究3000名十一歲到十六歲的學生。Green發現大部份十六歲的學生尚未發展到形式操作期階段。更而發現學生對樹枝圖和乘法原則均不甚瞭解，幾乎50%會選六個黑球和二個白球的箱子，其認為選到的黑球機會比三個黑球之機會大。大部份的學生幾乎沒有隨機概念。因此Green給了三點建議：（a）比值概念在機率概念理解上是相當重要；(b)學生當在瞭解且使用機率一般語言，諸如“至少”，“確定”，“可能”，或“不可能”時，顯示觀念模糊且很弱；(c)只有在學校中藉由廣泛，有系統的教學課程才可能減少一些錯誤的想法。在美國NAEP(theNationalAssessmentofEducationProgress)(Carpenter,Corbit,Kepner,Lindquist,andRey;1981)中有幾道題在測驗美國兒童之機率概念。Carpenter等亦發現學生在原始情境中似乎具有某些機率的直觀概念且隨著年齡在增長，只是學生不知道如何用數學來描述他們的直覺。理由是他們可能沒有被教導如何去建立一個機率模式，藉此去描述他們的機率直覺觀念。對Fischbein(1984)而言，一種直觀是一種認知的信仰。直觀對信仰者而言是立即的，整體的，且很明顯的。Fischbein曾將直觀分為原始直觀和二階直觀。原始直觀是指教學尚未介入之前所具有的觀念信仰；二階直觀是經過被建構我們所接受且能應用的認知信仰，其是在一種特殊文化團體內經驗或教學的結果。對Fischbein而言，這種直觀是可調適的，因此可受到有系統的教學所影響。因此，Fischbein不同於Piaget在於教學可促使兒童由具體操作期提昇至形式操作期。總而言之，依據皮亞傑之說法，似乎小學很難發展機率之大數法則概念，但Fischbein卻認為可教。以下將由一些教學研究來探討機率單元能不能在小學中實施教學。四、機率在小學教學之可行性探討大部份可行性之研究均指出小學上半段，和中學的兒童在教學之前均已擁有某些機率的初級觀念，並且可在此年齡階段施以機率之教學，以下將一些研究羅列如下：作者樣本結果Jones(1974)一～三年級診斷研究兒童會受到顏色影響操作對兒童思考機率造成干擾White(1974)Mckinley(1960)Shulte(1968)中小學學生經過一個機率單元之教學後，機率之概念有顯著增加。機率之成就和計算能加，語言，一般數學成就成正相關，但和態度無關。Fischbein等(1970）小學之教學，基於皮亞傑的比例問題增進學生對結果之預測九~十歲之進步最大Fischbein&Gazit(1984)教12機率單元學院生實驗組比控制組之教學效果要好Moyer(1974)實驗組學到許多機率概念，但在計算技巧，推理能力，或態度上沒有顯著性差異從以上之教學研究可知，在小學中、高年級便可施以機率概念之教學之可能性，依據Shaughnessy之看法，機率教學須安排有系統的密集課程，他曾對學院生施以12週的機率教學，顯然學生能很成功的克服機率迷失概念，但尚有一部份學生仍然未改變其原始的信仰。他認為信仰和概念是慢慢改變的。值得一提的是他認為能成功地克服迷失概念是歸之於其教學模式，其步驟為：首先學生對實驗結果做一猜測，接下來須去執行一個具有結構的工作任務，收集並組織他們的資料，然後學生須基於這些資料去回答唯一的問題，並且在經過比對他們的實驗結果和他們最初的猜測時，迷失概念很明顯地和實驗證據產生衝突。最後師生須建立一個機率模式藉此來說明所蒐集的實驗資料。此時學生須比較三方面所獲得的資訊：他們最初的猜測，實驗實證的結果，和由機率模式所預測的結果。透過這樣的整體教學，學生之直觀概念和他們實驗的觀查慢慢由所建立的機率模式所調和。Delmas和Bart(1987)的報告中亦提到如迫使學生很明顯地比較他們的預測和實驗結果則能幫助他們去利用所教過的實驗機率模式。另外Konold(1991)藉用物理教育之教學技巧來教機率概念如下：學生被鼓勵去進行1.檢驗他們的信仰是否和其它人的信仰一致。2.檢驗他們的信仰的內在一致性。3.檢驗自己的信仰和實證的觀查是否吻合。事實上此教學過程可以跟Shaughnessy之教學模式結合。雖然此兩教學模式均用於學院生的教學，但筆者認為亦可用作為小學機率教學模式之參考。五、新課程機率之教材設計民國六十四年之公佈的課程標準在統計與圖表部份中將能獲得概率（機率）的初步認識，放在第六學年度（64年課程標準，P140）。而民國八十二年新修訂的國民小學課程標準中統計圖表部份六年級亦列有從遊戲中瞭解機率的初步概念並加以註解，意即機率的初步概念包含兩部份：1.部分與全體的關係2.大數法測，也就是大量的試驗結果，趨近於某一數。例：世界人口，男女人數趨於平衡，各約占總人口人數的1/2。（82年國民小學課程標準，P131）。64年課程標準和82年課程標準之不同地方，64年課程標準列的是概率，而82年課程標準列的是從遊戲中瞭解機率的初步概念且指定為大數法則。筆者在編寫此單元時，對於機率的初步概念為瞭解大數法則，即上述所談的經驗機率，不予置評，但需在短短幾節課而且是第一次上的機率單元教學要學生去瞭解極限概念的大數法則深感困惑。依據皮亞傑之發展觀點，兒童須在十四歲以上才能瞭解相對次數之極限觀點，兒童須在十四歲以上才能瞭解相對次數之極限機率概念。雖然，Fishbein認為可透過有系統之教學而能提升皮亞傑之發展階段，但尚缺乏實證研究來支持國小兒童能瞭解實驗機率之概念。因此在設計此機率教材時，筆者把機率之初步概念分為二個階段為：第一階段是透過兒童個人經驗來判斷未發生事件發生可能性大小的粗略概念。如：事件一定會發生，會發生且可能性很大，會發生和不會發生的可能性差不多，會發生但發生的可能性很小，一定不會發生。以上各種情形必須根據兒童往昔已發生過的經驗而對未來相同事件發生可能性加以預測。例如：可問學生下列問題，而學生依據往昔經驗而加以回答。1.說說看「明天太陽會從東邊出來」這種情形可能發生嗎？你怎麼知道的呢？2.說說看「後天太陽會從北方落下」這種情形可能發生嗎？你怎麼知道的呢？3.說說看「不小心把瓷碗從桌上掉到水泥地上，碗會破」這種情形可能發生嗎？這種情形發生的可能性大，還是不發生的可能性大？4.說說看「下一次統一發票開獎時，爸媽會中頭獎」這種情形可能發生嗎？你怎麼知道的呢？這種情形發生的可能性大？大一點點？還是大很多？以上各種問題，可藉由兒童對此事件以往發生的經驗作為此事件未來發生之可能性程度之判準。第二階段是對未發生事件之發生程度之預測，但學生沒有足夠的經驗時，必需和事件相同的條件下去製造一些經驗，然後藉此收集資料並分析資料，而後根據這些資料所分析的結果去判斷當此事件未來發生時的可能性大小。而這裡跟大數法則唯一大不同的地方是，不需要去決定此事件發生程度是一個定值，而只要落在某個範圍就可以了。例如：一個箱子裝有七個白球和三個黑球。從箱子中任意抽出一球，抽到白球的可能性較大或抽到黑球的可能性較大呢？第二階段的教學為先猜測抽到那種球可能性大（直觀），然後進行抽球試驗，以白球抽到的次數和黑球的次數相比較之下，去判斷抽到白球的可能性較大或抽到黑球之可能性較大。另外一個題目是箱子中有七個球，黑球和白球，由每組抽30次球。依據白球和黑球抽到的次數比去判斷白球和黑球的個數各幾個。六、新課程機率教材設計之省思首先比較現行課程和新課程設計之差別如下：（1）現行課程內容包含實驗機率和古典機率；而新課程只探討機率之初步概念，包含實驗機率和主觀機率之初步概念但尚未進入機率模式之建立。（2）現行課程共花240分鐘來教機率單元，且在十二冊最後一單元；而新課程包含認識百分數，讀圓形圖和長條百分圖及機率合起來共200分鐘且放在第十一冊。（3）現行課程直接進入機率模式之教學；新課程由兒童之日常生活經驗慢慢導入事件發生程度之量化。由此可知現行課程較重視機率模式之建立而忽略了兒童原有機率初步概念之建立。新課程較重視兒童之機率初步概念之建立，但在機率之模式之形成尚不足夠。由於時間因素故無法按Shanghessy之教學模式來進行。筆者相信讓兒童去比較最初的猜測，實驗實證的結果，和由機率模式所預測的結果等三方面資料，對兒童機率概念的發展是很重要的。新課程之設計之機率模式之重點是先由主觀機率模式之建立而後遂漸進入實驗機率模式。主觀機率仍建立在對某事件發生之信仰程度，而此程度仍隨著其以往或現在（試驗所得）對事件發生之經驗頻率而提高其對此事件在未來發生可能性之信仰程度。在100次試驗或經驗中某事件發生1次或發生10次其對此事件下次（或未來發生）之可能性之信仰程度必定截然不同。因而兒童必須建立在預測一事件之未來發生可能性是依據此事件已發生之頻率之高低而決定其可能性的程度，並非以此事件之發生一次來判斷。但是此主觀機率模式之建立由於時間之限制，在新課程設計並沒有好好發展，因此也連帶影響到兒童對未來事件發生之可能性的判準與瞭解。另一項新課程設計之反省是，課程並沒有將兒童之對事件之發生之原始概念（或迷失概念）引入課程設計，如從三個黑球和一個白球的箱子中和從六個黑球和二個白球的箱子中各抽出一個球，則那個箱子抽到黑球的可能性較大。如此一來便能產生認知衝突的教學，並透過主觀機率模式之檢驗結果而加以修正。但是國內對兒童機率直觀概念或迷失概念的研究文獻似乎不多，林登茂（78年）曾對國小教材－大數法則之教學研究提到實驗機率之比值之迷失，但目前為止尚很少對國小兒童之機率直觀（迷失）概念作有系統之研究。故在新課程設計時無法引入，仍是一大缺失。許多研究顯示機率初步概念之教學可提早至國小中低年級來進行，NCTM（1989）之課程標準已建議在K-4中進行有關機會或可能性的教學，是否在我國國小課程亦可考慮提早在四年級便進行初步機率主觀念之建立，而在高年級時再導入經驗機率之模式。參考文獻Carpenter,T.P.,Corbitt,M.K.,Kepner,H.S.,Lindquist,M.M.,&Reys,R.E.(1981).Whatarethechancesofyourstudentsknowingprobability?TheMathematicsTeacher,74.342-344.Cobb,P.(1989).Adouble-edgedsword.(ReviewofIntuitioninscienceandmathematics.)JournalforResearchinMathematicsEducation,20.213-218.DelMas,R.C.,&Bart,W.M.(1987,April).Theroleofanevaluationexerciseintheresolutionofmisconceptionsofprobability.PaperpresentedattheAnnualmeetingoftheAmericanEducationalResearchAssociation.Fischbein,E.(1987).Intuitioninscienceandmathematics.Dordrecht.TheNetherlands:Reidel.Fischbein,E.,&Gazit.A.(1984).Doestheteachingofprobabilityimproveprobabilisticintuitions.EducationalStudiesinMathematics.15.1-24.Fischbein,E.,Pampu.I.,&Manzat.I.(1970a).Comparisonofratiosandthechanceconceptinchildren.ChildDevelopment.41.3389.Green.D.R.(1979).Thechanceandprobabilityconceptsproject.TeachingStatistics,1(3).66-71.Green,D.R.(1987).Probabilityconcepots:Puttingresearchintopractice.TeachingStatistics,9(1),8-14.Green,D.R.(1988).Children’sunderstandingofrandomness:Reportofasurveyof1600childrenaged7-11years.InR.Davidson&J.Swift(Eds.).TheProceedingsoftheSecondInternationalConferenceonTeachingStatistics.Victoria,B.C.:UniversityofVictoria.Hqwkins.A.,&Kapadia,R.(1984).Children’sconceptionsofprobability:Apsychologicalandpedagogicalreview.EducationalStudiesinMathematics.15.349-377.Jones.G.A.(1974).Theperformanceoffirst,second,andthirdgradechildrenonfiveconceptsofprobabilityandtheeffectsofgrade,IQ.Andembodimentsontheirperformances.UnpublishedDoctoraldissertation.IndianaUniversity.Kapadia.R.(1988).DidacticalPhenomenologyofProbability.InR.Davidson&J.Swift(Eds.).TheProceedingsoftheSecondInternationalConferenceonTeachingStatistics.Victoria,B.C.:UniversityofVictoria.Konold,C.(1991)Understandingstudents’beliefsaboutprobabilityInE.vonGlasersfeld(Ed.),RadicalConstructivisminMathematicsEducation(pp.139-156).Holland:Kluwer.Mckinley,J.E.(1960).Relationshipbetweenselectedfactorsandachievementinaunitonprobabilityandstatisticsfortwelfthgradestudents.DissertationAbstracts,21,561.Moyer,R.E.(1974).Effectofaunitonprobabilityonninthgradegeneralmathematicsstudents’arithmeticcomputation,reasoningandattitudes.DissertationAbstractsInternational,35,4137A.NationalCouncilofTeachersofMathematics(1989).Curriculumandevaluationstandardsforschoolmathematics.Reston,VA:Author.Piaget,J.,&Inhelder,B.