数字电子技术基础-数字逻辑基础

1数字逻辑基础1.1数字电路简介1.2数制和码制1.3基本逻辑运算1.4逻辑函数的基本定理及常用公式1.5逻辑函数及其表示方法1.6逻辑函数的化简方法1.1数字电路简介1.1.1数字电路的特点在电子技术中，常见的电信号分为两类：1.模拟信号和数字信号(1)模拟信号模拟信号的特点：其量值的大小随时间连续变化。t(2)数字信号数字信号的特点：其量值随时间是离散的、突变的。t2.模拟电路和数字电路处理模拟信号的电路。(1)模拟电路处理数字信号的电路。(2)数字电路3.数字电子电路特点(1)抗干扰能力强在模拟电路中，主要研究的是输入、输出之间的数量关系。干扰往往只影响脉冲的幅度，但只要这种干扰局限在一定的范围内，就会对脉冲的有无和个数几乎不产生影响，因此数字电路的抗干扰能力较强。在数字电路中，是根据脉冲的有无、个数、脉宽和频率进行工作的，研究的是输入、输出之间的逻辑关系。(2)功耗低在数字电路中的三极管等放大元件一般工作于开关状态，即交替工作于饱和与截止状态，其功耗较低，所以目前各种数字部件，基本都已集成化。在模拟电路中的三极管等放大元件工作于放大状态，三极管的功耗较大。(3)电路结构简单，通用性强。数字电路传递、处理的是二值信息，即高、低电平，因此，凡是具有高、低电平的电路都可以作为数字电路中的基本单元电路，由这种单元电路又可以构成复杂的数字系统。因此，数字电路结构简单，通用性强，设计使用方便。另外，数字电路中的高低电平值往往是一个在一定范围内的数值，所以对电路元件参数的精度要求不高，允许有较大的分散性。(4)保密性好，对于数字信号可以采用各种算法进行加密处理，故对信息资源的保密性好。(5)有可能通过编程改变芯片的逻辑功能。(6)可完成数字运算和逻辑运算。(7)容易采用计算机辅助设计。3.数字电路研究的对象、方法与测试技术(1)研究的对象数字电路研究的对象是输入与输出的逻辑关系，即电路的逻辑功能。(2)数字电路研究方法数字电路研究的主要方法是逻辑分析和逻辑设计的方法。计算机软件：硬件描述语言，例如ABEL语言、VHD语言。(3)数字电路的测试技术数字电路在正确设计和安装后，必须经过严格的测试方可使用，测试时必须具备的仪器：数字电压表、电子示波器、逻辑分析仪等。4.

数字电路的应用目前，数字电路的已广泛应用在电子技术、数控技术、数字通信技术、数字仪表、遥控遥测技术、雷达技术、民用电子电路及国民经济的各个部门。1.1.2数字电路的发展和分类1、发展历程电子管半导体分立器件集成电路从60年代开始，数字集成器件以双极型工艺制成了小规模逻辑器件，随后发展到中规模；70年代末，微处理器的出现，使数字集成电路的性能产生了质的飞跃。近年来，可编程逻辑器件(PID)特别是现场可编程门阵列(FPGA)的飞速发展，使数字电子技术开创了新局面，不仅规模大，而且将硬件与软件相结合，使器件的功能更加完善，使用也更加灵活。逻辑门电路是基本的逻辑单元电路，最早问世的是TTL逻辑门电路，随着CMOS集成工艺的发展，CMOS器件有取代TTL主导地位的趋势。(2)集成电路按集成度可分为：2、分类(1)按电路的组成特点分为：小规模(SSI)

中规模(MSI)大规模(LSI)

超大规模(VLSI)集成电路分立元件电路(3)按使用的基础器件可分为：双极型集成电路单极型集成电路1.2数制和码制数字设备及计算机中存在的两种运算：1.逻辑运算算术运算是对数据进行加工。逻辑运算实际上是实现某种控制功能。2.算术运算1.2.1几种常见的数制数制是进位计数制的简称。目前计数通常是采用进位计数制。进位计数制也叫位置计数制。把数划分为不同的数位，当某一数位累计到一定数量之后，该位又从零开始，同时向高位进位。进位计数制的计数方法：(3)被广泛采用。进位计数制的特点：(1)同一个数码在不同的数位上所表示的数值是不同的。(2)可以用少量的数码表示较大的数。关于进位计数制的几个名词：(1)进位基数在一个数位上，规定使用的数码符号的总数，叫该进位计数制的进位基数，简称为“基”。进位基数又称为进位模数，记作R。例如十进制，每个数位规定使用的数码符号为0，1，2，…，9，共10个，故其进位基数R=10。若某个数位上的数码为ai，n为整数位，m为小数位，则进位计数制表示的式子为某个数位上数码为1时所表征的数值，称为该数位的权值，简称“权”。(2)数位的权值以小数点为起点，自右向左依次为0，1，2，…，n-1,自左向右依次为-1，-2,…，-m。n是整数部分的位数，m是小数部分的位数。各个数位的权值均可表示成Ri的形式。其中R是进位基数，i

表示相对小数点的位置。

i的确定方法：某个数位上的数码ai所表示的数值等于数码ai与该位的权值Ri的乘积。即ai

Ri。上式又可以写成如下多项式的形式：上式称为R进制数的多项式表示法，又叫按权展开式。1.十进制(Decimal)(1)十进制的特点b.基数R=10，即遵循“逢十进一”的计数规则。c.

各位的权值为10i。a.每位有10个不同的数码0、1、2、…、9。=3102+3101+

3100+310-1+310-2(333.33)D按权展开式权

权

权权权位置计数法十进制数用下标“D”表示，也可省略。例如：(2)十进制的表示十进制数人们最熟悉，但机器实现起来困难。因为构成计数电路的基本思路是把电路的状态与数码对应起来，而十进制的十个数码，必须由十个不同的而且能严格区分的电路状态与之对应，这样将在技术上带来许多困难，而且也不经济，因此在计数电路中一般不直接采用十进制。2.二进制(Binary)(1)二进制的特点b.基数R=2，即遵循“逢二进一”的计数规则。c.各位的权值为2i。a.

每位有2个不同的数码0、1。(2)二进制的表示二进制数用下标“B”表示。例如：

a.二进制的数字装置简单可靠，所用元件少。由于二进制只有两个数码0和1，因此，它的每一位数可用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示，如BJT的饱和与截止，继电器接点的闭合和断开，灯泡的亮和不亮等。只要规定其中一种状态为1，另一状态为0，就可以表示二进制数。因而二进制是数字系统唯一认识的代码。(3)二进制的特点c.二进制数的位数多，书写太长。

b.二进制的基本运算规则简单，运算操作方便。d.使用不方便。因为人们习惯十进制数，而机器只能认识二进制数。因此在运算时，原始数据多用人们习惯的十进制，在送入机器时，必须将十进制数转换成数字系统能接受的二进制数。而在运算结束后，再将二进制数转换为十进制数。3.八进制(Octal)(1)八进制的特点a.每位有8个不同的数码0、1、2、…、7。b.基数R=8，即遵循“逢八进一”的计数规则。c.各位的权值为8i。(2)八进制的表示(752.34)O=7×82+5×81+2×80+3×8-1+4×8-2八进制数用下标“O”表示。例如4.十六进制(Hexadecimal)(1)十六进制的特点b.基数R=16，即遵循“逢六进一”的计数规则。c.

各位的权值为16i。a.

每位有16个不同的数码0、1、2、…、9、A、B、C、D、E、F。(2)十六进制的表示(BD2.3C)H=B×162+D×161+2×160+3×16-1+C×16-2

十六进制数用下标“H”表示，例如：=11×162+13×161+2×160+3×16-1+12×16-2常用数制对照表十进制（D）二进制（B）八进制（O）00000010001120010230011340100450101560110670111781000109100111101010121110111312110014131101151411101615111117十六进制（H）0123456789ABCDEF1.2.2数制间的转换转换前后整数部分和小数部分必须分别相等!转换原则:转换的方法:具体步骤是：首先把非十进制数写成按权展开的多项式，然后按十进制数的计数规则求其和。所得结果就是其所对应的十进制数。1.多项式法多项式法适用于将非十进制数转换成十进制数。[例](1)整数部分的转换（采用除基取余法）2.基数乘除法基数乘除法适合把一个十进制数转换为其它非十进制的数。十进制数转换为其它进制的数，分为整数和小数部分。把十进制整数N转换成R进制数的步骤如下：

a.将N除以R，记下所得的商和余数。

b.将上一步所得的商再除以R，记下所得商和余数。c.重复做b，直到商为0。(4)将各个余数转换成R进制的数码，并按照和运算过程相反的顺序把各个余数排列起来，即为R进制的数。例如将十进制整数转换为二进制整数，则有:如果将上式两边同除以2，所得的商为说明如下：余数就是d0；同理，这个商又可以写成显然，若将上式两边再同时除以2，则所得余数是d1。重复上述过程，直到商为0，就可得二进制数的数码d0、d1、…、dn-1。[例]将(89)D转换为二进制数。44……1……d0892余数即(89)D＝(1011001)B

[解]222……0……d1222225……1……d32……1……d40……1……d611……0……d21……0……d5(2)小数部分的转换（乘基取整法）把十进制的纯小数M转换成R进制数的步骤如下：a.将M乘以R，记下整数部分。

b.将上一步乘积中的小数部分再乘以R，记下整数部分。c.重复做b，直到小数部分为0或者满足精度要求为止。d.将各步求得的整数转换成R进制的数码，并按照和运算过程相同的顺序排列起来，即为所求的R进制数。例如将十进制小数转换为二进制小数，则有：将上式两边同时乘以2，便得到令小数部分则上式可写成因此，2(D)m乘积的整数部分就是d-1。若将2(D)m乘积的小数部分Dm+1再乘以2，则有所得乘积的整数部分就是d-2。显然，重复上述过程，便可求出二进制小数的各位数码。[例1]将(0.64)D转换为二进制数，要求误差小于2-10。即(0.64)D＝(0.1010001111)B

0.640.56×21.120.280.68×21.360.84×21.680.92×21.840.96×21.920.48×20.960.24×20.480.12×20.24(取整)(乘基)×21.280.56×2…1d-1[解]…0d-2…1d-3…1d-10…1d-9…1d-8…1d-7…0d-6…0d-5…0d-4[例2](0.35)D=(?)O[解]0.35×8=2.8…………2最高位0.8×8=6.4…………60.4×8=3.2…………30.2×8=1.6…………1最低位(0.35)D=(0.2631…)O即[例3](11.375)D=(?)B(11)D=(1011)B

[解](0.375)D=(0.011)B(11.375)D=(1011.011)B故3.

基数为2i

的进制间的转换八进制数和十六进制数的基数分别为8=23，16=24，所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进制数相当一位十六进制数。(1)二进制数转换成八进制数(或十六进制数)的方法：a.整数部分和小数部分可以同时进行转换。b.以二进制数的小数点为起点，分别向左、向右，每三位(或四位)分一组。二进制数转换成八进制数(或十六进制数)的方法：

c.把每一组二进制数转换成八进制(或十六进制)数，并保持原排序。对于小数部分，最低位一组不足三位(或四位)时，必须在有效位右边补0，使其足位；对于整数部分，最高位一组不足位时，可在有效位的左边补0。在计算机应用系统中，二进制主要用于机器内部的数据处理，八进制和十六进制主要用于书写程序，十进制主要用于运算最终结果的输出。[例1]将(110110111000110.1011000101)B转换成十六进制数。

0110110111000110.1011000101006DC6.B14即(110110111000110.1011000101)B=(6DC6.B14)H

[解]以小数点为界，每4位划分为1组，如下：

[例2]将(01101111010.1011)2转换成八进制数。八进制1572.54二进制001101111010

.101100所以(01101111010.1011)B=(1572.54)O

[解]以小数点为界，每3位划分为1组，如下：

[解]与八进制数375.46等值二进制数011111101.100110(2)八进制数(或十六进制数)转换为二进制数的方法可以采用与二进制数转换成八进制数(或十六进制数)的方法相反的步骤，即只要按原来顺序将每一位八进制数(或十六进制数)用相应的三位(或四位)二进制数代替即可。[例]分别求出(375.46)O、(678.A5)H的等值二进制数。所以011001111000.10100101与十六进制678.A5

等值二进制数(375.46)8=(011111101.100110)2(678.A5)16=(011001111000.10100101)2(3)八进制数转换为十六进制数，可通过二进制数作为过渡，重新分组后直接进行。[例]将(AF.16C)H转换为八进制数。十六进制A

F.

1

6

C八进制257.0554二进制10101111.00010110110004.数值转换时小数位的确定设α进制小数有k位，转换成β进制后维持相同的精度需要j位，这时应有：在十进制中可表示为：即两边取对数即所以[例]将0.4321转换为十六进制时，小数位应取几位？要求转换后的精度不低于原精度，j应取[解]由于原精度为0.14，j应满足即所以，将0.431转换为十六进制，小数位应取4位。数值数据的表示1.真值与机器数在数字设备中“+”、“-”号也要数值化。一般将数的最高位设为符号位“0”表示“+”“1”表示“-”+1010101-1011101真值机器数机器数——连同符号位在一起的数。常用的机器数有原码、反码和补码。+1010101-1011101真值机器数真值——机器数的数值。2.原码将数的真值形式中，正数符号用符号0表示，负数符号用符号1表示，叫做数的原码形式，简称原码。数+9–9真值(用8位数码表示)+0001001–0001001原码0000100110001001符号位+尾数部分(1)原码形式(2)原码的特点：a.易于辨认；b.进行数值运算时需要增加设备,如做减法运算时要用减法器。3.反码符号位+尾数部分(1)反码形式为了减少设备量，将减法变为加法，引进了反码和补码形式。(2)反码的性质正数：尾数部分与真值形式相同负数：尾数为真值数值部分逐位取反[X2]反=11111011X1=+4X2=-4[X1]反=000001004.补码正数：尾数部分与真值同，即[X]补=[X]正负数：尾数为真值数值部分按位取反加1。即[X]补=[X]反+

1符号位+尾数部分(1)补码形式(2)补码的性质[X2]补=11111011+1X1=+4X2=-4[X1]补=00000100=111111005.原码、反码和补码的算术运算[解](1)原码运算[例1]已知X=+1101，Y=+0110，原码、反码和补码计算Z=X–Y之值。[X]原=01101[Y]原=00110因为|X|>|Y|，故计算结果应与[X]原符号相同。01101–0011000111所以Z原=00111，其真值Z=+0111(2)反码运算反码运算的规则[X]原=01101[Y]原=00110Z反=[X-Y]反=[X]反+

[-Y]反+符号位进位01101+11001100110所以[X]反=01101[-Y]反=11001由于Z反=00111，其真值Z=+0111+

100111(3)补码运算补码运算的规则Z补=[X-Y]补=[X]补+

[-Y]补符号位进位自然丢失。01101+11001100110[X]补=00111[-Y]补=11010由于所以Z补=00111，其真值Z=+0111[解](1)原码运算[例2]已知X=+0110，Y=+1101，原码、反码和补码计算Z=X–Y之值。[X]原=00110[Y]原=01101因为|X|<|Y|，故计算结果应与[X]原符号相反。01101–00110所以Z原=10111，其真值Z=-011110111(2)反码运算00110+1001011000所以[X]反=00110[-Y]反=10010由于Z反=11000，其真值Z=-0111(3)补码运算00110+1001111001[X]补=00110[-Y]补=10011由于所以Z补=11001，其真值Z=-01111.2.3码制在以前战争中为了通讯的保密,都有电台密码,就是用几个数字的组合表示一个汉字或者单词;在数字系统中,是用某种数制中几个数字的组合表示另外一种数制的某个数。常用的编码1.自然二进制码按自然数顺序排列的二进制码。常用四位自然二进制码，表示十进制数0~15，各位的权值依次为23、22、21、20。代码(编码)：用一定位数的一组二进制数码按一定规则排列起来表示数字、符号等特定信息的数码。码制：形成这种代码所遵循的规则。2.二—十进制编码(BCD码)二—十进制编码是用四位二进制码的10种组合表示一位十进制数0~9，简称BCD码(BinaryCodedDecimal)。由于四位二进制码可以有16种组合，从16种组合中任选用10种组合，有而目前使用的编码还不到十种。十进制数8421码5421码2421码余3码BCDGray码012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100100011010010001001101010111100000000010010001101001011110011011110111100110100010101100111100010011010101111000000000100110010011001110101010011001000几种常用的BCD码

若某种代码的每一位都有固定的“权值”，则称这种代码为有权码；否则，叫无权码。(1)有权码a8421BCD（NBCD）码用四位自然二进制码的16种组合中的前10种，来表示十进制数0~9，由高位到低位的权值为23、22、21、20，即为8、4、2、1，8421BCD由此得名。BCD码大致可分为有权码BCD和无权BCD。[例]（276.8）10=（？）NBCD276.8↓↓↓↓0010011101101000（276.8）10=（001001110110.1000）NBCD可见，5421BCD码的编码方案都不是惟一的，表中只列出了一种编码方案。b.5421BCD码5421BCD码，从高位到低位的权值分别为5、4、2、1。注：这种有权BCD码中，有的十进制数码存在两种加权方法。例如，5421BCD码中的数码5，既可以用1000表示，也可以用0101表示。注：2421BCD码和5421BCD码一样，编码方案也不是惟一的。c.2421BCD码2421BCD码，从高位到低位的权值分别为2、4、2、1。在四位二进制代码所表示的0000~1111全部16个代码中，8421BCD码占用了前10个，而2421BCD码则采用了前5和后5个代码，舍弃了中间6个代码。在十进制的加减运算中，常常需要求取十进制数字对9的补，即求取9与该数字的差。2421BCD码具有对9互补的特点，称为对9的自补代码。例如，3的2421码是0011，3对9的补是6，6的2421码是1100，0011和1100正是自身按位取反。只要对某一组代码各位取反就可以得到9的补码。（2）无权码这种码的每位没有固定的权，各组代码与十进制数之间的对应关系是人为规定的。余3码是一种较为常用的无权码。余3码是8421BCD码的每个码组加3(0011)形成的。余3码也是一种9的自补码。2.其它常用的代码(1)格雷(Gray)码格雷码的特点：a.

任意两组相邻代码之间只有一位不同。典型的Gray码见下表b.首尾两个数码即最小数和最大数之间也符合此特点，故它可称为循环码。c.

编码还具有反射性，因此又称其为反射码。十进制数二进制码Gray码B3B2B1B0G3G2G1G0012345678910111213141500000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000…一位反射对称轴…二位反射对称轴…三位反射对称轴…四位反射对称轴格雷码的单位距离特性可以降低其产生错误的概率，并且能提高其运行速度。例如，为完成十进制数7加1的运算，当采用四位自然二进制码时，计数器应由0111变为1000。由于计数器中各元件特性不可能完全相同，因而各位数码不可能同时发生变化，变化过程可能为0111→1111→1011→1001→1000。虽然最终结果是正确的，但在运算过程中出现了错码1111，1011，1001，这会造成数字系统的逻辑错误，而且使运算速度降低。若采用格雷码，由7变成8，只有一位发生变化，就不会出现上述错码，而且运算速度会明显提高。从自然二进制码最低位开始，相邻的两位相加，但不进位，其结果作为格雷码的最低位，依此类推，一直加到最高位，格雷码的最高位与二进制码的最高位相同。格雷码可以由相应的自然二进制码通过一定运算得到。运算规则为：[例](9)D=(1101)G

=(1001)B(2)奇偶校验码奇偶校验码是由信息位和校验位两部分组成的。奇偶校验码是一种可以检测一位错误的代码。校验位仅有一位，它可以放在信息位的前面，也可以放在信息位的后面。信息位可以是任何一种二进制代码。它代表着要传输的原始信息。奇偶校验码编码方式：

a.使每一个码组中信息位和校验位的“１”的个数之和为奇数，称为奇校验。

b.使每一个码组中信息位和校验位的“１”的个数之和为偶数，称为偶校验。

表1.2.4奇偶校验8421BCD奇偶校验码奇偶校验码常用于代码的传送过程中，对代码接收端的奇偶性进行检查，与发送端的奇偶性一致，则可认为接收到的代码正确，否则，接收到的一定是错误代码。奇偶校验码只能检测一位错码，但不能测定哪一位出错，也不能自行纠正错误。若代码中同时出现多位错误，则奇偶校验码无法检测。但是，由于多位同时出错的概率要比一位出错的概率小得多，并且奇偶校验码容易实现，因而该码被广泛采用。(3)字符码字符码种类很多，是专门用来处理数字、字母及各种符号的二进制代码。目前广泛使用字符码有博多码和ASCII码。

ASCII码(AmericanStandardCodeforInformationInterchange，美国信息交换标准代码)由七位二进制码组成，主要用于数字系统和计算机中。博多码是由五位二进制码组成，主要用于电传打字和数字通信中。ASCII码编码表ASCII码是用7位二进制数码来表示字符(128个)的。每个字符都是由代码的高3位b6b5b4和低4位b3b2b1b0一起确定的。例如，3的ASCII码为33H，A的ASCII码为41H等。(4)汉字编码显然，用单字节编码来表示汉字是远远不够的，国标GB2312-80规定每个汉字和图形符号用两个字节表示。在数字系统和计算机中，常用若干位二进制编码来表示一个汉字。一般将8位二进制数码称为一个字节。1.2.4算术运算和逻辑运算1.算术运算二进制数码表示数量信息的运算称为算术运算。数量信息在数字系统中，二进制数码0和1表示：逻辑信息二进制数码表示逻辑信息的运算称为逻辑运算。(1)加法运算运算规则：逢二进一。0+0=00+1=11+0=11+1=10(2)减法运算运算规则：0-0=01-0=11-1=00-1=1(向高位借1当2)(3)乘法运算运算规则：00=010=010=011=1(4)除法运算运算规则：01=011=12.逻辑变量(1)逻辑状态在一定条件下，事物的某种性质只表现为两种互不相容的状态，如开与关，是与非、真与假等。两种状态必出现且仅出现一种，一种状态是另一种状态的反状态。用符号0和1表示这两种状态，称为逻辑状态。0和1分别称为0状态和1状态。0状态一般表示逻辑条件的假或无效。1状态一般表示逻辑条件的真或有效。(2)逻辑变量仅有两种取值0和1的变量。0和1称为逻辑常量。3.逻辑运算逻辑运算与算术运算有着本质上的差别。4.正逻辑和负逻辑若将高电平规定为逻辑0，低电平规定为逻辑1，则为负逻辑。在数字系统中，各种信息都用一系列的高、低电平信号表示。若将高电平规定为逻辑1，低电平规定为逻辑0，则为正逻辑；注：对于同一电路，可用正逻辑表示，也可用负逻辑表示。选用的逻辑体制不同，电路的逻辑功能也将不同。在同一系统中，只能采用一种逻辑体制。若无特别说明，一般采用正逻辑。1.3基本逻辑运算逻辑代数(Logicalgebra)又叫布尔代数(Booleanalgebra)或开关代数。逻辑代数于1854年由英国数学家G.Boole首先提出的。1938年shannon开始用于开关电路的设计。到20世纪60年代，数字技术的发展，使布代数成为逻辑设计的基础，广泛地应用于数字电路的分析和设计中。逻辑变量用字母来表示，取值0和1。常称其为二值变量。输入逻辑变量——表示事件条件的变量。输出逻辑变量——表示事件结果的变量。设某一逻辑网络的输入变量为A1、A2、…、An，输出变量为L。当A1、A2、…、An的取值确定之后，L的值就惟一地被确定下来，则称L是A1、A2、…、An的逻辑函数。记为：逻辑函数L=f(A1、A2、…、An)1.3.1基本逻辑运算1.与运算(逻辑乘)当决定某事件的全部条件都具备时，事件才发生的因果关系，这种因果关系称之为逻辑与。(1)逻辑与电路SASB

L(2)与逻辑真值表真值表——由逻辑变量的所有可能取值组合及其对应的逻辑函数值所构成的表格。用A、B和L分别代表开关SA、SB和灯的逻辑状态。设定开关闭合和灯亮用1表示，开关断开和灯灭用0表示。SASB

LA

B00011011L0001与逻辑真值表(3)逻辑函数式（或逻辑表达式）L=A·B

A

B00011011L0001与逻辑真值表(4)与门符号实现与运算的逻辑器件称为与门。ABL(b)国际流行符号(a)国标符号ABL&与门逻辑符号2.或运算(逻辑加)

逻辑或——当决定某事件的全部条件中，任一条件具备，事件就发生的因果关系。(1)或逻辑电路SALSB

L=A＋B

(2)或逻辑真值表SALSB

A

B00011011L0111或逻辑真值表(4)或门符号(3)逻辑函数式（或逻辑表达式）(a)国标符号ABL≥1或门逻辑符号ABL(b)国际流行符号3.非运算(逻辑非)逻辑非——当条件具备时，事件不发生，条件不具备时，事件就发生的因果关系。非逻辑真值表A01L10SALR(1)逻辑非电路(2)非逻辑真值表(3)逻辑函数式（或逻辑表达式）(a)

国标符号AL1(b)

国际流行符号AL读作“A非”式中，A称为原变量，称为反变量。(4)非门符号非逻辑真值表A01L10非运算也称为求反运算。4.逻辑常量间的基本运算与或非0·0=00+0=00·1=00+1=11·0=01+0=11·1=11+1=11.3.2复合逻辑运算A

B00011011L1110b.真值表c.逻辑符号1.常用复合逻辑

(1)与非逻辑a.逻辑表达式(a)国标符号(b)国际流行符号表示非运算A

B00011011L1000b.真值表c.逻辑符号

(2)或非逻辑a.逻辑表达式(a)国标符号(b)国际流行符号(3)与或非逻辑A

B

C

D0000000100100011L1110010001010110011110001110110011010101111001101111011111100000b.真值表a.逻辑表达式c.逻辑符号(a)国标符号(b)国际流行符号(4)异或逻辑b.真值表a.逻辑表达式A

B00011011L0110若两个输入变量A、B的取值相异，则输出变量L为1；若A、B的取值相同，则L为0。c.逻辑功能d.逻辑符号(a)国标符号(b)国际流行符号(5)同或逻辑b.真值表a.逻辑表达式若两个输入变量A、B的取值相异，则输出变量F为0；若A、B的取值相同，则F为1。c.逻辑功能A

BA

B00011011L1001与异或逻辑功能相反A

B=d.逻辑符号(a)国标符号(b)国际流行符号A

B2.多变量的“异或”及“同或”逻辑

(1)多变量的异或逻辑由图(a)得由图(b)得

(2)多变量的同或逻辑由图(a)得由图(b)得⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

(3)多变量的异或及同或逻辑特性a.n个变量的“异或”逻辑，当输入变量的取值组合中，有奇数个1时，“异或”逻辑的输出值为1；反之，输出值为0。利用此特性，可作为奇偶校验码校验位的产生电路。b.偶数个变量的“同或”，等于这偶数个变量的“异或”之非。A⊙B⊙C⊙D=A⊙B=如c.奇数个变量的同或，等于这奇数个变量的异或。1.3.3逻辑运算的优先级别各种逻辑运算的优先级别，由高到低的排序如下：长非号是指非号下有多个(1个以上)变量的非号。A⊙B⊙C=如1.3.4逻辑运算的完备性但是，它们不是最好的完备集，因为用它们实现逻辑函数，必须同时使用三种不同的逻辑门，这对数字系统的制造、维修都不方便。“与”、“或”、“非”是逻辑代数中三种最基本的逻辑运算。任何逻辑函数都可以用这三种运算的组合来构成。即任何数字系统都可以用这三种逻辑门来实现。因此，称“与”、“或”、“非”是一个完备集合，简称完备集。人们希望用较少种类的门来完成更多的功能。分析表明由与非、或非、与或非这三种复合运算中的任何一种都能实现与、或、非的功能，即这三种复合运算各自都是完备集。因此，利用“与非门”、“或非门”、“与或非门”中的任何一种，都可以实现任何逻辑函数，这给数字系统的制造、维修带来了极大的方便。1.4逻辑函数的基本定理及常用公式1.4.1逻辑代数基本定理基本公式(2)自等律：A·1=AA+0=A(1)0-1律：A·0=0

A+1=1(3)重叠律：A·A=AA+A=A(4)互补律：A·A=0A+A=1(5)交换律：

A+B=B+AAB=BA(6)结合律：

(A+B)+C=A+(B+C)

(AB)C=A(BC)(7)分配律：

A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)(8)吸收律1(9)吸收律2(10)吸收律3(11)求反律(12)否否律(13)多余项定律又称为摩根(Morgan)定律(反演律)。求反律1.4.2逻辑代数的几条重要规则1.代入规则任何一个逻辑等式，如果将所有出现某一逻辑变量的位置都代之以一个逻辑函数，则等式仍成立。[例1]证明两变量的求反公式[证明]将等式两边的B用B+C代入便得到这样就得到三变量的摩根定律。同理可将摩根定律推广到n变量对于任何一个逻辑表达式L，如果将其中的“+”换成“·”，“·”换成“+”，“１”换成“0”，“0”换成“1”，并保持原先的逻辑优先级，变量不变，长非号(二个或二个以上变量的非号)不动，则可得原函数L的对偶式L'，且L和L'互为对偶式。2.对偶法则根据对偶法则知原式L成立，则其对偶式也一定成立。[例2]求下列函数的对偶式。(1)(2)(3)[解](1)(2)(3)3.反演规则对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的算符“·”换成“+”，“+”换成“·”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，并保持原先的逻辑优先级不变，长非号不动，则所得到的结果就是。称为原函数F的反函数，或称为补函数。的反函数。[例3]求函数[解1]利用摩根定律[解2]利用反演规则由得[例4]求的反函数。[解]1.5逻辑函数及其表示方法1.5.1逻辑函数逻辑函数的定义:当输入逻辑变量A、B、C…取值确定后，输出逻辑变量L的取值随之而定，把输入和输出逻辑变量间的这种对应关系称为逻辑函数(LogicFunction)，并写作：1.5.2逻辑函数的常用表示方法A

B00011011L01101.真值表这是一种用表格表示逻辑函数的方法。函数的真值表。特点：随着变量数目的增多，真值表的行数急剧增加，规模急剧增大。2.逻辑函数式异或逻辑函数的表达式逻辑函数式是由逻辑变量和与、或、非三种运算所构成的式子，这是一种用公式表示逻辑函数的方法。3.逻辑图逻辑图——用逻辑门组成的电路图。函数的逻辑图可见，同一逻辑函数的逻辑电路图不是惟一的。因为函数的逻辑图4.卡诺图5.硬件描述语言卡诺图是逻辑函数的一种图形表示方式。逻辑函数还可以用硬件描述语言来表示。1.5.3逻辑函数的卡诺图(1)最小项的定义1.最小项的定义、编号和性质设有n个逻辑变量，它们组成的与项中，每个变量或以原变量或以反变量形式出现且仅出现一次，此与项称之为n个变量的最小项。一个变量A有二个最小项：二个变量A、B有四个最小项：三变量A、B、C有八个(23)个最小项：n个变量应有2n个最小项。(2)最小项的编号最小项通常用mi表示。将最小项中原变量表示为1，反变量表示为0，当变量顺序确定后，用1和0按变量顺序排列形成一个二进制数，此二进制数对应的十进制数即为该最小项的下标i。最小项mi下标i的确定：为了区别不同变量数n的相同最小项符号，最小项可表示为：三变量的最小项及其编号使最小项为1的变量取值A

B

C对应的十进制数最小项编号最小项00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7(3)最小项的性质a.在输入变量的任何取值下，有且只有一个最小项的值为1;b.任何两个不同最小项之积恒为0，即即对于输入变量的各种逻辑取值，最小项的值为1的几率最小，最小项由此得名。d.具有逻辑相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个因子。c.对于变量的任何一组取值，全体最小项之和为1，即逻辑相邻性是指两个最小项除一个因子互为非外，其余因子相同。例如，两个最小项和ABC是逻辑相邻项。这两个最小项之和可以合并，并消去一个因子。e.n个变量有2n项最小项，且对于每一最小项，有n个最小项与之相邻。例如三个变量的最小项有相邻最小项在一个与或表达式中，如果所有与项均为最小项，则称这种表达式为最小项之和形式，或称为标准与或式、标准积之和式。例如一个三变量的最小项之和形式2.逻辑函数的最小项之和形式(1)定义(2)最小项表达式的简写式最小项之和形式是逻辑函数的一种标准形式，而且任何一个逻辑函数都只有唯一的最小项表达式。(3)由一般式获得最小项标准式a.代数法[例1]试将逻辑函数化为最小项表达式。对逻辑函数的一般式采用添项法，即反复应用公式X=X(Y+Y)代入缺少某变量(Y)的与项中，即可形成最小项之和形式。[解]b.真值表法将原逻辑函数真值表中使函数值为1的各个最小项相加，便可得出该函数的最小项表达式。[例2]试将逻辑函数化为最小项表达式。[解]列出逻辑函数的真值表。从真值表上找得到最小项表达式为函数的真值表3.卡诺图将n变量逻辑函数的全部最小项各用一个小方格表示，并使任何在逻辑上相邻的最小项在几何位置上也相邻，得到的这种方格图就叫n变量的卡诺图。0101AB(a)

二变量卡诺图ABC0001111001(b)三变量卡诺图ABCD00011110000111100132576131514891110(c)四变量卡诺图(d)五变量卡诺图卡诺图特点:a.图中小方格数为2n，其中n为变量数。ABCD00011110000111100132576131514891110b.图形两侧标注了变量取值，它们的数值大小就是相应方格所表示的最小项的编号。c.变量取值顺序按格雷码排列，使具有逻辑相邻性的最小项，在几何位置上也相邻。(1)几何(位置)相邻

a.小方格相连(有公共边)则相邻。ABCD00011110000111100132576131514891110m5与m1、m4、

m7、m13相邻。m0与m1、m4相邻。m0与m2重合c.循环相邻b.对折重合的小方格相邻。ABCD00011110000111100132576131514891110m0与m8重合m0、m4、

m12、m8、m10、m14、

m6、m2等都为循环相邻的最小项。m0、m1、m3、m2；m0、m1、

m5、m4；m0、m2、

m10、m8；对称轴对称轴从几何位置上可把卡诺图看成管环形封闭图形。ABCD00011110000111100132576131514891110可见，处于卡诺图上下及左右两端、四个顶角的最小项也都具有相邻性。两最小项中除一个变量互为非外，其余相同。(2)逻辑相邻

4.逻辑函数的卡诺图表示这样所得的方格图即为逻辑函数的卡诺图表示。逻辑函数的卡诺图表示的基本方法：(1)先把逻辑函数化成最小项之和的形式。(2)根据逻辑函数所包含的变量数画出相应的卡诺图。(3)然后对应于函数式中所包含的各最小项，在图中相应的小方格中填入1，其余小方格中填入0。10101

100[解](1)画出三变量的卡诺图(2)在卡诺图中将m0、m3、m4、m6处填1，其余填0(或不填)。[例3]试用卡诺图表示逻辑函数。ABC0100011110[例4]试用卡诺图表示逻辑函数ABCD00011110000111101

10101

100110101

1[解](1)画出四变量的卡诺图(2)在卡诺图中将m0、m1、m2、m5、m7、m8、m10、m11、m13、m15处填1，其余填0)。[例5]试用卡诺图表示逻辑函数(2)画出三变量的卡诺图，并将L表示在卡诺图中[解1](1)先把逻辑函数一般式化成最小项之和的形式ABC010110001100011110[解2]逻辑函数一般式直接填入卡诺图法在A=0,B=0,C=1对应的方格,即在m1对应位置填1。在A=1,B=1,C=0对应的方格,即在m6对应位置填1。BC:

在B=1,C=1对应的方格(不管A取值)，即在m3、m7在对应位置填1。对于函数1ABC0100011110111[例6]试用卡诺图表示逻辑函数：ABCD00011110000111101111在C=0,D=0所对应的方格中填1；AB：在A=1,B=1所对应的方格中填1；在A=0,C=1,D=0所对应的方格中填1；111111ABD：在A=1,B=1,D=1所对应的方格中填1；AC：在A=1,C=1所对应的方格中填1；11[解]直接填入11115.卡诺图的逻辑运算

(1)两个逻辑函数相与，表示两个函数在卡诺图上所占两个区域的公共区域。(2)两个逻辑函数相或，表示两个函数所覆盖的全部区域。(3)一个逻辑函数的非，就是求该函数所覆盖之外的区域。思考题：两个逻辑函数“异或”及“同或”的几何含义？[例7]已知逻辑函数，试求：(1)(2)(3)(4)[解](1)(2)(3)(4)1.5.4逻辑函数各种表示方法之间的转换1.由真值表求出函数式和逻辑图c.将这些与项或起来，就得到了逻辑函数式。(1)由真值表求出函数式a.把真值表中每一组使函数值为1的输入变量取值都对应一个与项。b.在这些与项中，若对应的变量取值为1，则写成原变量；若对应的变量取值为0，则写成反变量。ABCL00000101001110010111011101101011[例8]试求真值表所示逻辑函数的表达式。[解]先找出使函数L取值为1的变量组合，分别为001、010、100、110、111。由此可得L的逻辑函数式：A1B1C1&&1L(2)由函数式画出逻辑图函数式逻辑图2.由逻辑函数式求真值表把输入变量取值的所有可能组合分别代入逻辑函数式中进行计算，求出相应的函数值，然后把输入变量取值与函数值按对应关系列成表，这就是所求的真值表。[例7]求逻辑函数式L=(A⊕B)C+AB对应的真值表。逻辑函数式的真值表输出

输入

ABC

L

000001010011100101110111000101113.由逻辑图求逻辑函数式和真值表从输入到输出（或输出到输入）依次把逻辑图中的每个逻辑符号用相应的运算符号代替，即可求得逻辑函数式。[例9]试写出图示逻辑电路的逻辑函数式。A1B1C&&1LA1B1C&&1L逻辑函数式任何逻辑函数只有唯一的真值表和卡诺图与之对应。4.卡诺图与逻辑函数表达式之间的转换1.6逻辑函数的化简方法1.6.1化简的意义1.化简逻辑函数通常所遵循的原则(1)逻辑电路所用的门最少；(2)各个门的输入端要少；(3)逻辑电路所用的级数要少；(4)逻辑电路能可靠地工作。降低成本提高电路的工作速度和可靠性2.逻辑函数不同形式的转换(1)逻辑函数的表达形式a.与或表达式b.与非-与非表达式c.与或非表达式d.或与表达式e.或非-或非表达式可见，一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来表示。每一种函数对应一种逻辑电路，同样逻辑的功能，逻辑式不同则需要的硬件不同。究竟采用哪一种器件更好，要视具体条件而定。[例10]将函数与或表达式转换为其它形式。[解](1)与非-与非式将与或式两次取反，利用摩根定律可得(2)与或非式首先求出反函数然后对上式再取反一次即得与或非表达式(3)或与式将与或非式用摩根定律展开，即得或与表达式。(4)或非-或非式将或与表达式两次取反，用摩根定律展开一次得或非-或非表达式3.与或式逻辑函数的化简c.任何形式的表达式都不难展开为与-或表达式。(1)化简与或式逻辑函数的原因a.通常根据逻辑要求列出真值表，进而得到的逻辑函数往往是与-或表达式。b.逻辑代数基本定理和常用公式也多以与-或表达式给出，化简与-或表达式也比较方便，(2)最简与-或表达式a.一个与-或表达式中的与项个数最少。b.每个与项中的变量个数最少。1.6.2代数化简法1.并项法利用公式[例2]化简逻辑函数[解][例3]化简逻辑函数[解][例4]化简逻辑函数L=(AB+AB)+(CD+CD)=A+D2.吸收法[解]其中与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。利用公式[例5]化简逻辑函数[解][例6]化简逻辑函数3.应用多余项定律[例7]化简逻辑函数[解][例8]化简逻辑函数[解][例9]化简逻辑函数[解]4.配项法利用，将某个与项乘以，将其拆成两项，以便与其它项配合化简。[例10]化简逻辑函数[例11]试化简逻辑函数6.添项法在函数中加入零项因子，或利用加进的新项，进一步化简函数。[例12]化简逻辑函数1.6.3卡诺图化简法卡诺图化简逻辑函数，是1952年由维奇(W.Veitch)首先提出来的，1953年由美国工程师(Karnaugh)进行了更系统、更全面的阐述，故称为卡诺图。1.卡诺图化简逻辑函数的基本原理即凡两逻辑相邻的最小项，可以合并一项，保留相同的变量，消去互异的变量。0001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD四变量K图

两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量。ABD

ADA1

四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量。

八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量。几何相邻的2i（i=1、2、3…n）个小格可合并在一起构成一个“卡诺圈”，消去i个变量，而用含（n-i）个变量的积项标注该圈。

十六个相邻格圈在一起，结果mi=1。2.卡诺图化简函数规则3.卡诺图化简函数的步骤(1)将逻辑函数化为最小项之和的形式;(2)画出表示该逻辑函数的卡诺图;(3)按照合并规律合并最小项，画卡诺圈圈住全部“１”方格；要求卡诺圈的数量少、范围尽可能大，圈可重复包围，但每个卡诺圈内至少有一个“1”未被别的卡诺圈圈过，孤立(无相邻项)的最小项单独包围。按取同去异原则,每个圈写出一个乘积项。(4)最后将全部乘积项求和，即得最简与或表达式。[例13]求F=m4(1,3,4,5,10,11,12,13)的最简与或式。[解]①画出F的K(卡诺)图。②画K圈。根据化简原则，应选择最少的K圈和尽可能大的K圈覆盖所有的1格。③写出最简式。(1)用卡诺图表示该逻辑函数。[解][例14]化简ABCD000111100001111011111

11

11(2)画卡诺圈圈住全部“１”方格。ABCD00011110000111101111