第九章梁的变形

第九章梁的变形9.1弯曲变形的概念9.2挠曲线的近似微分方程9.3计算弯曲变形的叠加法9.4梁的刚度条件及应用9.1弯曲变形的概念为研究弯曲变形，首先讨论如何度量和描述弯曲变形的问题。设有一梁，受载荷作用后其轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线（见下图9.1）。在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平面曲线。梁弯曲后的轴线称为挠曲线。在小变形的条件下，忽略梁梁截面在轴向的位移，则在梁的变形过程中，梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为挠度；相对于原截面转过的角位移θ，称为转角，这两个基本量决定了梁在弯曲变形后梁轴线的形状，即挠曲线。挠曲线是一条连续光滑平面曲线，其方程是下一页返回9.1弯曲变形的概念挠度v—截面形心在坐标y方向上的位移，其正负号与y坐标轴正负相符；转角θ—横截面绕中性轴转过的角度，其正负号，逆时针为正，顺时针为负，在小变形情况下，有可见梁的挠度v与转角θ之间存在一定关系，即梁任一横截面的转角θ等于该截面处挠度v对x的一阶导数。返回上一页9.2挠曲线的近似微分方程上式中，弯矩和曲率半径是常量；对于跨度远大于截面高度的梁而言，在横力弯曲的情况下，可忽略剪力的影响，但其中的弯矩和曲率半径是x的函数，即对平面曲线，有关系式下一页返回9.2挠曲线的近似微分方程式(9-2)称为梁的挠曲线微分方程。因为工程实际中的梁一般是小变形，所以v‘<<1，则考虑到弯矩M的符号与挠曲线凸向之间的关系（见下图9.2），M与v''的符号相同，挠曲线的近似微分方程为返回上一页9.3计算弯曲变形的叠加法在梁的变形是小变形且材料服从胡克定律情况下，梁上各个载荷分别产生的变形满足挠曲线微分方程（线性方程），即其中i表示某个载荷，Mi表示该载荷所产生的弯矩，vi表示该载荷所产生梁的变形，将各个载荷的挠曲线微分方程相加，得下一页返回9.3计算弯曲变形的叠加法其中M表示各个载荷共同作用时所产生的弯矩，如果此时梁的变形是v，则比较上面二式，得两边对x求导，得下一页返回上一页9.3计算弯曲变形的叠加法所以，在几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的此物理量的总和（代数和或矢量和）。这就是叠加原理。返回上一页9.4梁的刚度条件及应用一、梁的刚度条件指梁的最大挠度和最大转角不能超过许可值，即以上二式称为弯曲构件的刚度条件。下一页返回9.4梁的刚度条件及应用二、刚度的合理设计对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同要求，将最大挠度和转角限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件。许用挠度和许用转角对不同的构件有不同的规定，可从有关的设计规范中查得。常见轴的弯曲许用挠度和许用转角值（见表9-2）。下一页返回上一页9.4梁的刚度条件及应用三、提高梁的弯曲刚度的措施由梁的挠曲线近似微分方程可见，梁的弯曲变形与弯矩M（x）及抗弯刚度有关，而影响梁弯矩的因素又包括载荷、支承情况及梁的有关长度。因此，为提高梁的刚度，可采用如下一些措施：1.选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I；2.调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支座；或使集中力分散成分布力；3.减小梁的跨度；增加支承约束；其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁的挠度和转角的。返回上一页表9-2常见轴的弯曲许用挠度和

许用转角值对挠度的限制轴的类型许用挠度[f]一般传动轴刚度要求较高的轴（0.0003～0.0005）l0.0002l对转角的限制轴的类型许用挠度转角[θ]/rad滑动轴承深沟球轴承向心球面轴承圆柱滚子轴承圆锥滚子轴承安装齿轮的轴0.0